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2016西安思源学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 西安思源学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? a , 若 A ? ? B , 则实数 a 的取值范围是( ) A. (?1

, ??) B. [3, ??) C. (3, ??) D. (??,3] ).

?

?

?

?

2. 已知点 P(tan ? ,cos ? ) 在第三象限, 则角 ? 的终边在( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

D. 第四象限 ).

3. 若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180? , 且 b ? 3 5 , 则 b 等于( A. (?3, 6) B. (3, ?6) C. (6, ?3) D. (?6,3)

? x ? y ? 5 ? 0, ? 4. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ) ? x ? 3, ?
A. ?3 B. 3 C. ?5 D. 5 )

5. 命题“ax2-2ax + 3 > 0 恒成立”是假命题, 则实数 a 的取值范围是( A. a< 0 或 a ≥3 B. a ? 0 或 a ≥3 C. a< 0 或 a>3 D. 0<a<3

6. 在Δ ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 已知 A=

c ?(
A. 1

) B. 2 C.

? , a ? 3 , b ? 1 ,则 3

3 -1

D. 3

7. 在等差数列 ?an ? 中, 若 a3 ? a8 ? a13 ? C , 则其前 n 项的和 Sn 的值等于 5C 的是( ) A. S15 B. S17 C. S7 D. S8

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8. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是( A. (20 ? 4 2)cm2 B. 21cm2 C. (24 ? 4 2)cm2 D. 24cm2 )

9. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 [0,1] , 则下列函数中 可能是偶函数的是( A. y ? ? f ( x) C. y ? f (? x) ).

B. y ? f (3x) D. y ? f ( x2 )

10. 如图所示是某池塘中浮萍的面积 y(m2 ) 与时间 t (月)的关系: y ? f (t ) ? at , 有以下 叙述: ① 这个指数函数的底数为 2; ② 第 5 个月时, 浮萍面积就会超过 30 m 2 ; ③ 浮萍从 4 m 2 蔓延到 12 m 2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每月增加的面积都相等; ⑤ 若浮萍蔓延到 2 m 2 , 3 m 2 , 6 m 2 所经过的时间分别是 t1 , t2 , t3 , 则 t1 ? t2 ? t3 .其中正确的是( A. ①② C. ②③④⑤ B. ①②③④ D. ①②⑤ )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. y ? x cos x 在 x ?

?
3

处的导数值是___________.

12. 设 f ( x) ? 2x ? x ? 4 , x0 是函数 f ( x) 的一个正数零点, 且 x0 ? (a, a ? 1) , 其中 a ? N , 则 a =.

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13. 要得到 y ? cos(2 x ?

?
4

) 的图象, 且使平移的距离最短, 则需将 y ? cos 2 x 的图象向

方向平移个单位即可得到. 14. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园, 甲到公园的距离与乙到公园的距离都是 2km . 如图表示甲从家出发到乙同学家为止经过的路程 y(km) 与时间 x(min) 的关系, 其中甲 在公园休息的时间是 10 min , 那么 y ? f ( x) 的表达式为. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ?

2 5 . 5

(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值;

(Ⅱ)若 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

16. (本题满分 12 分) 设等比数列 {an } 的公比为 q , 前 n 项和为 Sn , 若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列, 求 q 的值.

17. (本题满分 14 分) 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形,

BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD, E 为
PC 的中点, PA=AD=AB=1.

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(1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PDC 的体积 V.

18. (本题满分 14 分) 设某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数,已知 T (t ) ? at 3 ? bt 2 ? ct ? d (a ? 0) ,其中 温度的单位是℃,时间的单位是小时.中午 12:00 相应的 t=0,中午 12:00 以后相应 的 t 取正数,中午 12:00 以前相应的 t 取负数(如早上 8:00 相应的 t=-4,下午 16: 00 相应的 t=4).若测得该物体在早上 8:00 的温度为 8℃,中午 12:00 的温度为 60℃,下午 13:00 的温度为 58℃,且已知该物体的温度早上 8:00 与下午 16:00 有相 同的变化率. (1)求该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在上午 10:00 到下午 14:00 这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度 是多少?

19. (本题满分 14 分) 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体, 存在非零常数 T , 对任意 x ? R , 有

f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立.
(1) 函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ? 说明理由; (2) 设 f ( x) ? M , 且 T ? 2 , 已知当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? ln x , 求当 ?3 ? x ? ?2 时,

f ( x) 的解析式.

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20. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足条件: ① f (0) ? f (1) ; ② f ( x) 的最小值为 ? . (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , 且 Tn ? ? ?

1 8

?4? ?5?

f (n)

, 求数列 {an } 的通项公式;

(3) 在(2)的条件下, 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 试问数列 {bn } 中第几项的值最小? 求出这个最小值.

参考答案
一、选择题 BBAAA BAADD 二、填空题

11.

1 3 ? ? 2 6

12. 2

13. 右;

?
8

?1 ?15 x (0 ? x ? 30) ? ? 14. y ? ?2 (30 ? x ? 40) ?1 ? x ? 2(40 ? x ? 60) ?10 ?

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. 解:(Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? . ………………………………1 分

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? a ?b ?
3分 即

2 5 ,? 5

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , ……………………………… 5

2 ? 2 cos ?? ? ? ? ?

4 3 , ? cos ?? ? ? ? ? . ……………………………6 分 5 5

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , ………………………7 分

3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . …………………………………9 分 5 5

? sin ? ? ?

5 12 , ? cos ? ? , ……………………………………10 分 13 13 ? sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ? ? ? ? ? . …………………………………………………………12 分 5 13 5 ? 13 ? 65
16. 解: 若 q ? 1 , 则 (n ? 1)a1 ? (n ? 2)a1 ? 2na1 , ? a1 ? 0, ? 2n ? 3 ? 2n ,不合要 求; ………3 分 若 q ? 1, 则

a1 a a (1 ? q n?1 ) ? 1 (1 ? q n ? 2 ) ? 2 ? 1 (1 ? q n ) , ……………………6 分 1? q 1? q 1? q

?qn?1 ? qn?2 ? 2qn , ………………………………………9 分

?q2 ? q ? 2 ? 0, ?q ? ?2. 综上, q ? ?2 .……………………12 分
17. 证明:(1)取 PD 中点 Q, 连 EQ , AQ , 则

1 QE ? CD ? AB ……………………………………1 分 2

QE // CD ? ? CD // AB ? ? QE // AB …………………………………………2 分 QE ? AB ? ?

? 四边形ABEQ是平行四边形 ? BE // AQ ………………3 分

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? ? AQ ? 平面PAD ? ? BE // 平面PAD ………………………5 分 BE ? 平面PAD ? ? BE // AQ
(2)

PA ? 平面ABCD ? ? ? CD ? PA CD ? 平面ABCD ? CD ? AD

? ? ? ? CD ? 平面PAD ? ? AQ ? CD ? ? ? AQ ? 平面PAD ? AD ? PA=A ? ? ? ? PA=AD ? ? ? AQ ? PD ? ? Q为PD的中点? ?       CD ? PD=D ? ? ? ?

? AQ ? 平面PCD ? ? ? BE ? 平面PCD . ………………………………………10 分     BE // AQ ?

1 …………………………………11 分 解:(3) S?BDC= AD?DC= ?1? 2=
1 1 VB ? PDC=VP ? BDC= PA?S?BDC= . ………………………………14 分 3 3
18. 解:(1) 因为 T ? ? 3at 2 ? 2bt ? c , ………………………2分 而 T ? ? ?4? ? T ? ? 4? , 故 48a ? 8b ? c ? 48a ? 8b ? c , ………………………3分

1 2

1 2

?T ? 0 ? ? d ? 60 ? a ?1 ? ? ?T ? ?4 ? ? ?64a ? 16b ? 4c ? d ? 8 ? b ? 0 ? . …………………6 分 ?? ? ?T ?1? ? a ? b ? c ? d ? 58 ? c ? ?3 ? ?d ? 60 ? ?48a ? 8b ? c ? 48a ? 8b ? c
∴ T ?t ? ? t 3 ? 3t ? 60 (?12 ? t ? 12) . …………………………………7 分 (2) T ? ? 3t 2 ? 3 , 由 T ?(t ) ? 0得t ? ?1或t ? 1 ……………………9 分

当 t 在 [?2,2] 上变化时, T ?(t )与T (t ) 的变化情况如下表:

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x
T ?(t ) T (t )
58 -2 (-2,1) + 增函数 -1 0 极大值 62 (-1, 1) - 减函数 1 0 极小值 58 (1, 2) + 增函数 62 2

…………………………………12 分 由上表知当 t ? ?1或t ? 2时T (t )取到最大值 62 ,说明在上午 11:00 与下午 14: 00,该物体温度最高,最高温度是 62℃. …………………14 分 19. 解: (1) 假设函数 f ( x) ? x 属于集合 M , 则存在非零常数 T , 对任意 x ? R , 有

f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立,

……………………………………………3 分

即: x ? T ? Tx 成立. 令 x ? 0 , 则 T ? 0 , 与题矛盾. 故

f ( x) ? M . ………………………………6 分
(2) f ( x) ? M , 且 T ? 2 , 则对任意 x ? R , 有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) , ……………8 分 设 ?3 ? x ? ?2 , 则 1 ? x ? 4 ? 2 , f ( x) ? 当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? ln x , 故当 ?3 ? x ? ?2 时, f ( x) ?

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ………………11 分 2 4

1 [ x ? 4 ? ln( x ? 4)] . ……………………………14 分 4

? 1 ? ?a ? b ? 0 a? ? ? 1 2 1 ? ? 2 20. 解: (1) 由题知: ? a ? 0 , 解得 ? , 故 f ( x) ? x ? x . …………3 分 2 2 ?b ? ? 1 ? b2 1 ? ?? ? 2 ?? ? 8 ? 4a
(2) Tn ? a1a2 ? an ? ? ?

?4? ?5?

n2 ? n 2

, ………………………………………………5 分

?4? Tn?1 ? a1a2 ? an?1 ? ? ? ?5?

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2) ,

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? an ? Tn ? 4 ? ?? ? Tn ?1 ? 5 ?
n ?1

(n ? 2) , …………………………………7 分

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式. 所以 an ? ? ?

?4? ?5?

n ?1

(n ? N ? ) . …………………8 分

(3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 ? 5 f (an ) ? bn ? an , ………………………9 分 从而 10( an 2 ?

1 2

1 an ) ? bn ? an , 2

得 bn ? 5an 2 ? 6an ? 5(an ? ) 2 ?

3 5

9 . …………10 分 5

?4? 因为 an ? ? ? ?5?
当 an ? 当 an ? 又 a3 ?

n ?1

(n ? N ? ) 是 n 的减函数, 所以

3 , 即 n ? 3(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5
3 , 即 n ? 4(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . …………12 分 5

3 3 ? a4 ? , 所以 b3 ? b4 , 5 5
2

2 ?? 4 ? 2 ? 224 ?4? 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 ? 5 ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? . …………14 分 125 ?5? ?? 5 ? ? ? ?


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