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名师高徒高二文科数学第12讲


第十二讲
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
数学(文)

导数(三)
适用年级 本讲时长
新高二

全国

90 分钟

运用导数解决函数综合问题

1、掌握运用导数研究函数综合问题的方法; 2、熟悉解决不等式恒成立问题的常用思路;

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教学重难点

1、分类讨论思想在函数综合问题中的运用; 2、不等式恒成立问题的常用思路分析;

教学过程
一、知识讲解
1、分类讨论思想结合导数在研究函数综合问题中的常见运用 (1)在解决函数的单调性、极值以及最值问题中,若求导后,令导函数等于零时,参数 的取值影响方程的根的个数,则需根据根的个数的不同情况对参数进行分类讨论.例如,若 对一个三次函数求导后,令导函数为零,得到一个系数中含有参数的一元二次方程,则需讨 论此一元二次方程根的判别式的符号。 (2)在解决函数的单调性、极值以及最值问题中,若求导后,令导函数等于零时,在定 义域内的根大于 1 个, 且至少有一个根含参数, 那么就需要对根与根的大小关系进行分类讨 论。例如,若在定义域内有两根为 x1、x2 ,则需分三种情况讨论: x1 > x 2 、 x1 ? x2 和 x1 < x 2 。 (3)在解决函数的单调性、极值以及最值问题中,若函数的定义域不为全体实数集 R , 则求导后,令导函数等于零时求得的根中,至少有一个根含参数,那么就需要对此根与定义 , ? ?) 域端点的大小关系进行分类讨论。例如,若函数定义域为 [1 ,且令导函数等于零时, 有一个含参数的根为 x1 ,则需分两种情况讨论: x1 >1 和 x1 ? 1 。

2、不等式恒成立问题的常见模型及思路
1

设函数 f ( x ) 定义域为 A , g ( x) 定义域为 B .下列模型均以 f ( x) ? g ( x) 成立为例,可 类推至任意不等号方向改变的模型。 ( 1 ) 模 型 一 : 若 对 任 意 x ? A ? B , 使 得 f ( x) ? g ( x) 恒 成 立 , 则 构 造 函 数 ,令 F ( x) ? 0 恒成立,即令 F ( x) min ? 0 。 F ( x) ? f ( x ) ? g ( x ( ) x ? A ? B) ( 2 ) 模 型 二 : 若 存 在 x ? A ? B , 使 得 f ( x) ? g ( x) 成 立 , 则 构 造 函 数 ,即令 F ( x) max ? 0 。 F ( x) ? f ( x ) ? g ( x ( ) x ? A ? B) ( 3 ) 模 型 三 : 若 对 任 意 x1 ? A, x2 ? B , 使 得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒 成 立 , 则 令 成立。 f ( x)m i n? g ( x) m a x ( 4 ) 模 型 四 : 若 对 任 意 x1 ? A , 存 在 x2 ? B , 使 得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立 , 则 令

f ( x) min ? g ( x) min 成立;同样的,若存在 x1 ? A ,对任意 x2 ? B ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 则令 f ( x) max ? g ( x) max 成立。
(5)模型五:若存在 x1 ? A, x2 ? B ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则令 f ( x) max ? g ( x) min 成立。 考点/易错点 1 在对含参函数的分类讨论中,对上述分类讨论中(2)和(3)分类情况混淆。 讨论模型(2)中分三种情况讨论,是因为当导函数为零时的两根相等时,原函数无极 值点,在定义域内单调;且两根大小关系对换时,原函数在定义域内单调区间发生变化.综 上,故需要分三种情况讨论。 讨论模型(3)中分两种情况讨论,是因为当导函数为零时的根等于区间端点时,不影 响原函数在定义域内的单调性, 即当此根处于定义域外和等于区间端点时, 原函数在定义域 内的单调情况相同; 当此根处于定义域内时, 原函数在定义域内的单调区间发生变化。 综上, 故此种模型只需分两种情况讨论。 考点/易错点 2 不等式恒成立中对模型三至模型五的分析不清晰。 对于此种 f ( x ) 和 g ( x) 自变量各自单 独取值的模型,可以采取对不等式两边分别考虑的办法来快速正确的判断如何构造函数模 型。如以模型四第一种情况为例,在此种情况中,不等号左边 f ( x ) 是对于自变量任意取值, 使不等号成立,那么就需要 f ( x) min 大于右边,不等号右边 g ( x) 是存在自变量取某个值, 使不等式成立, 那么就需要 g ( x) min 小于左边。 综上, 最终可建立模型为令 f ( x) min ? g ( x) min 成立。

二、例题精析
【例题 1】
2

【题干】已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2a ?1) x ? a ln x ( a 为常数) ,试确定函数 f ( x) 的单调增 区间。 【答案】

( , ? ?) (i) 当 a ? 0 时, f ( x) 单调增区间为 。 1 1 ? a ? 0 时, f ( x) 单调增区间为 ?0, ( , ? ?) ? a?和 。 2 2 1 (0, ? ?) . (iii)当 a ? ? 时, f ( x) 单调增区间为 2
(ii)当 ? (iiii)当 a ? ?

1 2

1 ? 1? ( ? a, ? ?) 时, f ( x) 单调增区间为 ? 0, ? 和 。 2 ? 2?

【解析】 f ' ( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1) ? ( x ? a) ? ? x x x
1 , x2 ? ? a 。 2

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x1 ?

? ? ? 上的解集为 ? , (i) 当 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 在 ?0, ? ? ? ,即
1 ( , ? ?) f ( x) 单调增区间为 。 2 1 1 ? ? ? 上的解集为 (ii)当 0 ? ?a ? ,即 ? ? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 在 ?0, 2 2 1 1 (0, ? a) ? ( ,?? ) ( , ? ?) ? a?和 , 即 f ( x) 单调增区间为 ?0, 。 2 2 1 1 ? ? ? 恒成立, (iii)当 ? a ? ,即 a ? ? 时, f ' ( x) ? 0 在 ?0, 2 2

?1 ?2

? ?

(0, ? ?) 即 f ( x) 单调增区间为 。
(iiii)当 ? a ?

1 1 ? ? ? 上的解集为 ,即 a ? ? 时, f ' ( x) ? 0 在 ?0, 2 2

1 ? 1? ( ? a, ? ?) (0, ) ? ( ? a,?? ) , 即 f ( x) 单调增区间为 ? 0, ? 和 。 2 ? 2?

【例题 2】 【题干】已知函数 f ( x) ? x ? a, g ( x) ? ln x ,若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 【答案】 a ? 1 【解析】 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立。
3



设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ? ln x

1 x ?1 ? x x 令 F ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,列表如下: F ' ( x) ? 1 ?

x
F ' ( x) F ( x)

?0,1?


1
0 极小

?1,???
+ ↑ 由表可知, F ( x ) 在 x ? 1

取得最小值,即令 F (1) ? 0 即可。

F (1) ? 1 ? a ? ln1 ? 1 ? a ? 0 即a ?1
【例题 3】 【 题 干 】 已 知 函 数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? 0), g ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 4 , 若 对 任 意

x1、x2 ? (0, ? ?) ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为
【答案】 0 ? a ? e



(0, ? ?) 【解析】对任意 x1、x2 ? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,
即令 f ( x) min ? g ( x) max 成立。 又因为 g ( x) 为二次函数,对称轴方程为 x ? 2 ? (0,??) 故 g ( x) max ? g (2) ? 0 ,即令 f ( x) ? 0 恒成立即可。

f ' ( x) ? 1 ?

a x?a ? ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? a ,列表如下: x x

x
f ' ( x) f ( x)

?0, a ?


a
0 极小

?a,???
+ ↑ 由表可知, f ( x) 在 x ? a

取得最小值,即令 f (a) ? 0 即可。

f (a) ? a ? a ln a ? 0 ? a ln a ? a ? ln a ? 1 即a ? e 又因为 a ? 0 ,所以 a 的范围为 0 ? a ? e 。

三、课堂运用
【基础】 1. 已知函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax(a ? R) 在 (??, ??) 上单调递增 , 求实数 a 的
3 2

取值集合。
2 2.已知函数 f ( x) ? x ( x ? t ) ,实数 t 满足 t ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调区间。

【巩固】

4

1. 已知函数 f ? x ? ? ln x ? 为 .

1 2 ax ? 2 x ? a ? 0 ? 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围 2
1? a ( a ? R ) .设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 x

2.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? 函数 h( x) 的单调区间。 3.已知函数 f ( x) ? ln x ? 取值范围。

2a , a ? R .若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的 x

4.已知函数 f ( x) ? (ax 2 ? x)e x ,其中e是自然数的底数,a ? R 。若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是 单调增函数,求 a 的取值范围。 【拔高】 1. 已 知 函 数 f ( x) ? l n x? x, 若 关 于 x 的 不 等 式 xf ( x) ? ?2 x ? ax ?12 对 一 切
2

x ? ? 0, ??? 恒成立,求实数 a 的取值范围。
,e? ,都有 g ( x) ≥ ? x2 ? (a ? 2) x 恒成立, 2.已知函数 g ( x) ? a ln x, a ? R .若对任意 x ? ?1
求 a 的取值范围. 3.已知 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 .对任意 x ? ?0,??? , 2 f ?x ? ? g ' ?x ? ? 2 恒 成立,求实数 a 的取值范围.
3 4.若不等式| ax ? ln x |≥1 对任意 x ? (0,1] 都成立,则实数 a 取值范围是



课程小结
(1)分类讨论思想在解决函数综合问题时的运用技巧,求导后根与根大小关系的讨论 和根与定义域端点大小关系讨论的区别。 (2)不等式恒成立问题的总结、题型及方法扩展。 (3)易错点的分析,找出易错根源,深化理解易错点。

课后作业
【基础】 1.若函数 f ( x) ? (m ? 3) x ? 9 x 在区间 ?? ?,???上是单调函数,求 m 的取值范围。
3

5

2.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? bx 2 ? (b ? ) x ( b 为常数) ,若存在 x ? [?3 , ? 1] 使得 f ?( x) ? 0 3 3 a( x ? 1) ( x ? 0, a ? R) .试求 f ( x) 的单调区间。 x a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x

成立,求 b 的取值范围; 3.函数 f ( x) ? ln x ?

4.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (1)求 F ( x) 的单调区间;

(2)若对所有的 x ? [e, ??) 都有 xf ( x) ? ax ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

【巩固】 1.若函数 f ( x) ? ln x ?

a 在 [1 ,e] 上的最小值为2,求 a 的值。 x

2.函数 f ( x) ? x ?

ln x ,不等式 f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ??) 上有解,求实数 b 的取值范围。 x

3.已知函数 f ( x) ? ? x ? 3 ? (k ? 1)ln x ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间.
2

4.已知函数 f ( x) ? x ? 2a cosk? ? ln x(k ? N , a ? 0) ,讨论函数 f ( x) 的单调性;
2 ?

5.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a1nx ,其中 a ? R .求函数 f ( x) 的单调增区间. 2

【拔高】
2 2 1. 已知函数 f ( x) ? x( x ? a) , g ( x) ? ? x ? (a ?1) x ? a (其中 a ? 0 ) ,问是否存在

a x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说 3
明理由.

| x ? m| 2.已知函数 f ( x) ? 2 和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?2m ? 8 .若对任意 x1 ? (??, 4] ,均存在 x2 ? [4, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

6

3. 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 , g ( x) ? ? x2 ? (a ?1) x ? a (其中 a ? 0 ) ,问是否存在

a x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说 3
明理由.

4. 已 知 函 数 g ( x) ?
f ( x) ? mx ?

1 (0,?), ? ln x 在 [1 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 , 且 ? ? x

m ?1 ? ln x ,m∈R. x

(1)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (2)设 h( x) ? 取值范围.
2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的 x

7

课后评价表: 一 出勤情况 准时( ) 迟到( ) 旷课( )

__________________________________________________________________ 二 课上表现情况 优( ) 良( ) 差( )

_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________

三 课后作业完成情况 全部完成( ) 部分完成( ) 未完成( )

_______________________________________________________________________________ ___________________________________

家长签字:_______________________

8


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