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必修2013、6、3星期一四第一章三角函数复习课件 2


第一章 三角函数(复习)
一、任意角和弧度制 1、任意角的定义: 平面内一条射线绕端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形。 2、角的分类: 规定: 正角—按逆时针方向旋转形成的角 负角—按顺时针方向旋转形成的角 零角—一条射线没有作任何旋转形成的角 书P3页

3、象限角: 角的终边在第几象限,就说这个角是第几 象限的角。 4、坐标轴上的角: 5、终边相同的角的集合: y 所有与角 ? 终边相同的角,连同 角? 在内,都可以构成一个集合: ? ? o x S ? ? ? ? ? ? k? 360 , k ? Z

?

?

即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示 成角 ? 与整数个周角的和。 书P4页

一、角的基本概念
(1)与 ? 角终边相同的角的集合: {? | ?=2k?+?, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: (2k?<?<2k?+ ? , k?Z) 2 (2k?+ ? <?<2k?+?, k?Z) 第二象限角: 2 第三象限角: (2k?+?<?<2k?+ 3? , k?Z) 2 第四象限角:

1.几类特殊角的表示方法

(2k?+ 3? <?<2k?+2?, k?Z 或 2k?- ? <?<2k?, k?Z ) 2 2

②轴线角 x 轴的非负半轴: ?=k?360? ?)(k?Z); (2k x 轴的非正半轴: ?=k?360? +180? ?+?)(k?Z); (2k y 轴的非负半轴: ?=k?360? (2k?+ ? )(k?Z); +90? 2 y 轴的非正半轴: ?=k?360? +270? ?+ 3? ) 或 (2k 2 ?=k?360? (2k?-? )(k?Z); -90? 2 x 轴: ?=k?180? ?)(k?Z); (k 坐标轴: ?=k?90? k? )(k?Z). ( 2 y 轴: ?=k?180? (k?+ ? )(k?Z); +90? 2

例2、(1)、终边落在x轴上的角度集合:

{? | ? ? k? , k ? Z}
(2)、终边落在y轴上的角度集合:
{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

典型例题
例1.若α是第三象限的角,问α/2是哪个象限的 角?

各个象限的半角范围可以用下图记 忆,图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围;

例1(90年 , 上 海 ) α α 设α 角 是 第 二 象 限 且 满 | 足 cos |? ? cos , 2 2 α 则 角 属 于 C )A.第 - 象 限 B.第 二 象 限 ( ; ; 2 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 ; .
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.

6、1弧度的角: 长度等于半径长的弧所对的圆心 角叫做1弧度的角,用符号rad表示。

r r

其中 :1、l是以角? 作为圆心角时所对弧的长,r是半径; 2、正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是 一个负数,零角的弧度数是0; 2? r 3、圆心角? 为周角时,l ? 2? r,则? ? ? 2? r ?r 4、圆心角? 为半角时,l ? ? r,则? ? ?? r

l | ? |? r

书P6页

7、角度制与弧度制换算: 书P7页 ? ? 2? rad 360 ? 180 ? ? rad

1°=

?

180 180 ? ? ? 1rad ? ( ) ? 57.30 ? 57 18? ?

rad ? 0.01745rad

8、弧长、扇形面积公式:

1 1 2 l ? ? ? r S扇 ? l ? r ? ? ? r 2 2 ? 1 1 2 ? 2 S扇 ? S圆 ? ??r ? ? ? ?r ? l?r 2? 2? 2 2
书P8页

已知一个扇形的周长是4cm,面积为1cm2, 则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________ 2

二、三角函数 1.任意角的三角函数:
y

设 ? 是一个任意角,它的 P(x,y) ? x 终边与单位圆交于点P(x,y), 0 A(1,0) 那么: (1) y叫做? 的正弦,记作sin? ,即sin? =y; (2) x叫做? 的正弦,记作cos ? ,即cos? =x; (3) y/x叫做? 的正弦,记作tan? ,即tan? =y/x (x≠0). 书P12页

2.三角函数在各象限的符号
y y y

+
o

+
x

-

+
o
+

-

-

-

x

+ o + tan ?

x

sin ?
y
sin ? 为 ?

cos?
全为+ o x tan ? 为+ cos ? 为+

3、三角函数线:正弦线、余弦线、正切线。
y
P

? 的终边
T

? 的终边
P

y
A(1,0)

书P16页
x
T

o

M A(1,0)

x

M T

o

y
M

y
M A(1,0)

o
P

A(1,0)

x

o
P

x
T

? 的终边

MP为正弦线,OM为余 ? 的终边 弦线,AT为正切线。

三角函数线的作法: 第一步:作出角? 的终边,与单位圆交于点P; 第二步:过点P作x轴的垂线,设垂足为M, 则有向线段MP为正弦线,OM为余弦线; 第三步:过点A(1,0)作单位圆的切线,它 与角? 的终边或其反向延长线的交点设为 T,则有向线段AT为角 ? 的正切线。
注:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些 线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点; 余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以该线段 与x轴的交点为起点,其中点A为定点(1,0)。

y

sin x ? cos x
x O sin x ? cos x

y

sin x ? cos x ? 0 sin x ? cos x ? 0 O
x

例5 已知角的终边经过点 P(3a,?4a) (a ? 0)

求 sin ? ? 2cos ?值。

a?0

a?0

4 3 2 sin ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? ? 5 5 5 4 2 ? 3? sin ? ? 2 cos? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 5 5 ? 5?

4、同角三角函数的基本关系

sin ? 当? ? k? ? (k ? Z )时,有 ? tan ? . 2 cos ? 同一个角 ? 的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角 ? 的正切。

sin ? ? cos ? ? 1.
2 2

书P19页

?

6.特殊角的三角函数值

?



0?

30? 45? 60? 90? 180? 270? 360?
?
6

弧 度

0 0

?
4
2 2 2 2

?
3
3 2

?
2

?

3? 2

2?

sin?

1 2
3 2 3 3

1
0
不存在

0

-1
0
不存在

0

cos?
tan ?

1
0

1 2

-1
0

1
0

1

3

四、主要题型
1 例1:已知 ? 是第三象限角,且cos ? ? ? ,求 3 ? 解: ?为第三象限角

tan 。 ?

1 2 2 2 ?sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 3 3
2

sin ? ? tan ? ? ?2 2 cos ?
应用:三角函数值的符号;同角三角函数的关系;

练习
2sin ? ? 3cos ? (1)已知 tan ? ? 3求 sin ? ? 4cos ?

1 (2)已知 tan ? ? 3求 2 sin ? ? cos 2 ?

( 已知 tan? ? 3求2 sin2 ? ? 3cos2 ? 3)

1 练习 (1) A 是三角形的内角, sinA+cosA= , cos2A 已知 且 则 2

等于


7 4

【答案】 -

7、三角函数的诱导公式
公式一:终边相同的角同一三角函数值相等 公式二:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) tan(? ? 2k? ) ? tan ?
公式三: 书P14页

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
公式四:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?
书P24页

公式五:
sin(

公式六:
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ?

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin ?

cos(

?
2

cos(

?
2

公式五和公式六可用下面的话来概括:

? ? ?的正弦(余弦)函数值,分别等于? 2 的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把? 看成 锐角时原函数值的符号。 书P26页

奇变偶不变,符号看象限

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数

用公式一
锐角的三角 用公式二或 0~2π的角 函数 四或五或六 的三角函数 可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”

练习
1,求值:

sin(?1740? ) ? cos(1470? ) ? cos(?660? ) ? sin 750? ? tan 405?

2.已知角? 终边上一点P(-4,3), cos( ? ? )sin ? -?) (2 求 的值 11? 9? cos( ? ? )sin( ? ? ) 2 2

?

8、三角函数的图像与性质 ⑴三角函数的定义域、值域
三角函数
sin ?

定义域 R R
{? | ? ?

值域 [-1,1] [-1,1]

cos?
tan ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

y ? sin x, x ?[0, 2? ]
最高点:
1-

y

(

?
2

,1)

(0,0)
-

与x轴的交点: (2? ,0) (? ,0)
?
2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

最低点: 3? ,?1) (
2

作图时 3? ? 的五个 (0,0) ( ,1) (? ,0) ( ,?1) (2? ,0) 2 2 关键点

y ? cos x, x ?[0, 2? ]
与x轴的交点: 最高点: -(0,1) ? 1 3?
y
-

(2? ,1)
5? 3 11? 6

(

2
?
2

,0 )
2? 3

(

2
4? 3

,0 )
3? 2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

5? 6

?

最低点: (? ,?1)

作图时 3? ? (0,1) ( ,0)(? ,?1) ( ,0) ( 2? ,1) 的五个 2 2 关键点

-

7? 6

2?

x

函数
y
1

y=sinx
y

y=cosx
1

图形 定义域 值域 最值

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

-1

x?R
x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 (k ? Z ) x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2
y ?[?1,1]

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ??
(k ? Z ) ? 2k? 时,ymin

? ?1

x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 (k ? Z ) 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性
奇函数

x?[?? ? 2k? , 2k? ]

x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数

增函数 (k ? Z ) 减函数

周期
对称性

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z
2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z

⑶正切函数的图像与性质

y ? tan x
定义域:x | x ? { 值域: R
?
2 ? k? , k ? Z }

y

y ? tan x

周期性: 正切函数是周期 函数,周期是 ? 奇偶性:奇函数 内是增函数 中心对称 对称性:

?

??
2

??

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

? ? 在 单调性: (? 2 ? k? , 2 ? k? ) k ? Z

书P44页

y=sinx
定义域
值域 奇偶性

y=cosx

y=tanx
? { x | x ? ? k? , k ? Z } 2

R
[-1,1]

R
[-1,1]

R 奇函数
增区间:

奇函数
增区间:

偶函数

单调性

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ?(k ? Z ) ? 2 2? ?

?2k? ? ? , 2k? ?(k ? Z )
减区间:

增区间:

减区间:
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ? 2 2? ?

? ?? ? ? k? ? , k? ? ?(k ? z ) 2 2? ?

?2k? , 2k? ? ? ?(k ? Z )
T ? 2?
2

周期性

T ? 2?

T ??
对称中心:

对称性

对称中心:(k? ,0)(k ? Z ) 对称中心: ? ? ? ,0)( k ? Z ) (k

对称轴: ? k? ? ? (k ? Z ) 对称轴: x ? k? (k ? Z ) x 2

(

k? ,0)( k ? Z ) 2

y

对称点:(k?,0) y=sinx

周期与对 称轴、对 称点的关 系

? k ∈Z 对称轴:x=k?+2

. ?/2 . ??/2 . ? 2? . -1 T/2
o y y=cosx
1

1



x

? 对称点:(k?+ ,0) 2



o -1


?/2

. . ??/2
? 2?

对称轴:x=k?

k ∈Z

x

T/2

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的周期是 T ? ? y ? A cos(? x ? ? )的周期是 T ? 2? 函数 ? ? 函数 y ? A tan(? x ? ? ) 的周期是 T ? ?

⑷三角函数求周期

2?

y=3sin(2x+?/6)的图像的一条对称轴方程是( B )

(A)x=0 (B)x= ?/6 (C)x=- ?/6 (D)x= ?/ 3 解:令X= 2x+?/6 则y=3sinX,由此可知y=3sinX的图像的 对称轴方程为X=k ? + ? /2 ,k? Z , ? 2x+?/6=k ? + ? /2 ,k? Z,解得x=k ? /2+ ?/6, k? Z
?y=3sin(2x+?/6)的图像的对称轴方程为: x=k ? /2+ ?/6, k? Z 令k=0得x= ?/6

1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法 法一:五点法 列表取值方法:是先对ωx+φ取 0,π/2,π,3π/2,2π 法二:图象变换法 (1)振幅变换(对A) (2)周期变换(对ω)

(3)相位变换(对φ)

三角函数图象变换
y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?)

y=sinx y=sinx

y=sin?x y=Asinx

y=sinx

y=Asin(?x+ ?)

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
向左?>0 (向右?<0)

y=sinx

y=sin(x+?)

平移|?|个单位

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin(?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ? x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

问题 : 怎样由 y ? sin x的图象得到 y ? A sin( ?x ? ? ) (其中A ? 0, ? ? 0)的图象 ?

答 : (1)先画出函数y ? sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左 (右)平移? 个单位长度, 得到函数 y ? sin( x ? ? )的图象;
(3)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 倍, 1

?

(纵坐标不变 )得到函数 y ? sin( ?x ? ? )的图象;

(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A倍, (横坐标不变 )这时的曲线就是函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2sin(2 x ? ) 3 的图象 ? ? (1)向左平移 ? 3 y ? sin( x ? )的图象 函数y ? sin x 3
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 y ? sin(2x + ? )的图象

?

纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍

3

横坐标不变

y ? 2sin(2x ? )的图象 3

?

8、振幅、周期、频率、相位、初相 书P54页 9、应用:根据图象求解析式。

y ? A sin(? x ? ? ) ? b 四个参数: A, ?, ?, b.
y
2 1
? ??

???

2

?2?? ??
2

?? ? ? 2

-1

? 2

?

?? 2

2?

?? 2

??

x

图像最高点与相邻最低点间x值相差周期的一半 ——可求? ? ? 2? T 1 1 b = (y max + y min ) A = (y max - y min ) 2 2

用“五点作图法”作出 y=A sin (?x + ?) 在长度为一个周期闭区间上的图象
(1)列表:

x
?x + ?

x x
1

0 0

? 2

2

?

x

3

x

4

x

y

3 ? 2

2?
0

5

A
x x
4
3

y

A

0

-A

(2) 描点:

x ( x1 ,0) ( x2 ,A) (x3 ,0) ( x4 ,- A) ( x5,0)
(3)连线:

1

xx
2

5

x

?A

求函数 y ? sin( 2 x ? ) 3 的单调递增区间: 变式: y ? sin( ? 2 x ? ? )
3

?

6、已知下图是函数
(1)求 ?、? 的值;

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

y
1 – O 1 –2

(2)求函数图象的对称轴方程. 2

11? 12

x

? ? ?? ? 2 ?? ? 0 ? ? ? 6 ? ? ? ⑴? ?? ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 11 6 ?? ?? ? ? ? ? ? 2? ? 6 ? ? 12 ?

(2)函数图象的对称轴方程为

2x ?

?

6

? k? ?

?

2

,即

x?

k? ? ? , (k ? Z ) 2 6

作业:1、抄写三角函数的诱导公式,正余弦、正切的两角和、两 角差 y 3

已 2、 知:sin

?+3cos?=0.求 :

(1)

3cos? - sin? 3cos? + sin?

.

7 ? 12

0

? 12

x

(2) 2sin2? - 3sin?cos?+2.
-3

3、如图:根据函数 y= A sin (?x + ?) (A>0 , ?>0) 图象求它的解析式,并求出其对称轴、对称中 心,单调减区间


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