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3.3.3点到直线的距离


§3.3. 3 点到直线的距离

点到直线的距离
如图,P到直线l的距离,就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足. y

P

l

Q
o

x

思考:已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?

当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y
y=y1 o P (x0,y0)
Q (x0,y1)

y

(x1,y0)
Q

P(x0,y0) x x=x1

x

o

PQ = y0 - y1

PQ = x 0 - x1

练习1
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3 4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3

下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:

[思路一] 利用两点间距离公式:
y

P
l

Q
o

x

[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q P(x0,y0)

O

S

L:Ax+By+C=0

x

点到直线的距离:
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:

d?

| Ax0 ? By 0 ? C | A ?B
2 2

练习2
1、求点A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离.

2. 求点B(-5,7)到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离.

例题分析
?ABC 面积 例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的 y 解 : 如图, 设AB边上的高为 h, 则
S ?ABC 1 ? | AB | ?h 2

A

| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2

h O

AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为 y - 3 x ?1 ? 即x ? y ? 4 ? 0 1- 3 3 ?1
? h? | ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

B

x

5 ? 2

因此, S ?ABC

1 5 ? ?2 2 ? ?5 2 2

两条平行直线间的距离:
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P

l2
Q o 例7、求证:两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是 x

d?

C1 - C2 A2 ? B 2

练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______; 53
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.
2 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.
2 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

3、求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称 的直线方程.


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