当前位置:首页 >> 数学 >>

2016-2017东城高三第一学期期末数学试题及答案(理科)


东城区 2016-2017 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)

本试卷共 6 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
目要求的一项。 )

共 40 分)

一、选择

题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题

(1)已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} , B ? {x | 2 ? x ? 4} ,则 A ? B ? (A) {x |1 ? x ? 3} (C) {x | 2 ? x ? 3} (2)抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程是 (A) y ? ?1 (C) x ? ?1 (B) y ? ? (D) x ? ? (B) {x |1 ? x ? 4} (D) {x | 2 ? x ? 4}

1 2 1 2

(3) “ k ? 1 ”是“直线 kx ? y ? 3 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 9 相切”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为 (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
开始

S ? 0, k ? 0
S?S? S? 11 12

输出k

1 k



k ?k?2

结束

(5)已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则 (A) tan x ? tan y ? 0 (C) ln x ? ln y ? 0 (B) x sin x ? y sin y ? 0 (D) 2 ? 2 ? 0
x y

(6)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且在 [0, ??) 上是增函数,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集 为 (A) (??, ?1] (B) (??,1] (C) [?1, ??) (D) [1, ??)

(7)某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 (A)

2 3 4 3

2

(B)

(C) 2 (D)

1
正(主)视图

1

2
侧(左)视图

8 3

俯视图

( 8 )数列 {an } 表示第 n 天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第 n 天的日增长率

rn ? 0.6 ( rn ?

an?1 ? an ,n ? N* ).当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率 rn 会 an

发生变化. 下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律. 那 么,对这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的是

1200

数量(个)
理想

800 实际 400

0

5

10

15 时间(天)

日增长率 日增长率

0. 6 0. 4 0. 2 0

0. 6 0. 4 0. 2
5 1 1 5

0
时间(天)

5

(A) 0

(B) 1
0

1 5

时 (天)



0.6

日增长率 0.6

日增长率

0.4

0.4

0.2

0.2

0

5

10

15

0

5

10

15 时间(天)

(C)

时 (天)



(D)

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若复数 (2 ? i)(a ? 2i) 是纯虚数,则实数 a ?

共 110 分)



? x ? 2 ? 0, ? (10)若 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?
(11)若点 P(2, 0) 到双曲线



x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐近线的距离为1 ,则 a ? _______. a2
; 若 AD ? BC ,

? (12) 在△ ABC 中, 若 AB ? 2 ,AC ? 3 ,?A ? 60 , 则 BC ?

则 AD ? _______. (13)在△ ABC 所在平面内一点 P ,满足 AP ? 若 AD ? ? AC ,则 ? ? _______. ( 14 ) 关 于

??? ?

? 1 ???? 2 ??? AB ? AC ,延长 BP 交 AC 于点 D , 5 5

????

??? ?

x 的 方 程 g ( x) ? t (t ? R) 的 实 根 个 数 记 为 f (t ) . 若 g ( x) ? ln x , 则

? x, x ? 0 , f (t ) =_______ ; 若 g ( x) ? ? 2 ( a ? R) , 存 在 t 使 得 ?? x ? 2ax ? a, x ? 0,
f( t ? 2? ) f 成立,则 (t ) a 的取值范围是_________.

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 ) (15) (本小题 13 分) 已知 {an } 是等比数列,满足 a1 ? 3 ,a4 ? 24 ,数列 {an ? bn } 是首项为 4 ,公差为1 的 等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和.

(16) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) (| ? |?

? ) 部分图象如图所示. 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及图中 x0 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值.
y
2
1

? 2

o

x0

x

(17) (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PCD ? 平面 ABCD ,

BC ? 1 , AB ? 2 , PC ? PD ? 2 , E 为 PA 中点.
(Ⅰ)求证: PC ∥平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 M ,使得 BM ? AC ?若存在,求 明理由.

PM 的值;若不存在,说 PC
P

E D A B C

(18) (本小题 13 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax (a ? R ) . x ?1

(Ⅰ)若 f (0) 为 f ( x ) 的极小值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,求 a 的最大值.

(19) (本小题 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 离心率为 .A, B 是椭圆 C 上两 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (2,0) , 2 2 a b

点,且直线 OA, OB 的斜率之积为 ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 , O 为坐标原点. 4

(Ⅱ)若射线 OA 上的点 P 满足 | PO |? 3 | OA | ,且 PB 与椭圆交于点 Q ,求

| BP | 的值. | BQ |

(20) (本小题 13 分) 已知集合 An ? {( x1 , x2 ,L L , xn ) | xi ?{?1,1}(i ? 1, 2,L , n)} . x, y ? An ,

x ? ( x1,x2 , L , xn ) , y ? ( y1 , y2 ,L , yn ) ,其中 xi ,yi ?{?1,1} (i ? 1, 2,?, n) .
定义 x e y ? x1 y1 ? x2 y2 ? L ? xn yn .若 x e y ? 0 ,则称 x 与 y 正交. (Ⅰ)若 x ? (1,1,1,1) ,写出 A4 中与 x 正交的所有元素; (Ⅱ)令 B ? {x e y | x, y ? An} .若 m ? B ,证明: m ? n 为偶数; (Ⅲ)若 A ? An ,且 A 中任意两个元素均正交,分别求出 n ? 8,14 时, A 中最多可以有多 少个元素.

东城区 2016-2017 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)D (2)D (6)C (3)A (7)B (4)B (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?1 (12) 7 , (10) 6 (11) 3 (14)1, (1, ??)

3 21 7

(13)

1 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q . 由题意,得 q ?
3

a4 ? 8 ,q ? 2. a1
?????3 分

所以 an ? a1qn?1 ? 3 ? 2n?1 (n ? 1, 2,?) . 又数列 {an ? bn } 是首项为 4 ,公差为 1 的等差数列, 所以 an ? bn ? 4 ? (n ?1) ?1 . 从而 bn ? (n ? 3) ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? (n ? 3) ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) 数列 {n ? 3} 的前 n 项和为 数列 {3 ? 2
n ?1

?????6 分

n( n ? 7) . 2

?????9 分

} 的前 n 项和为

3(1 ? 2n ) ? 3 ? 2n ? 3 . 1? 2
n( n ? 7) ? 3 ? 2n ? 3 . 2

?????12 分

所以,数列 {bn } 的前 n 项和为 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 T ?

???13 分

2? ? ? ,T ? ? . 2

????2 分

因为点 (0,1) 在 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) 图象上, 所以 2sin(2 ? 0 ? ? )=1 . 又因为 | ? |?

? , 2

所以 ? ? 所以 x0 ?

? . 6 7 ?. 6 ? 6

????4 分

??????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ? (17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)设 AC 与 BD 的交点为 F ,连结 EF . 因为 ABCD 为矩形,所以 F 为 AC 的中点. 在△ PAC 中,由已知 E 为 PA 中点, 所以 EF ∥ PC . 又 EF ? 平面 BED ,

? ? ? ?? ,所以 ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

? ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 ; 6 2 6 ? ?? ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 .???13 分 6 6 2

PC ? 平面 BED ,
所以 PC ∥平面 BED . (Ⅱ)取 CD 中点 O ,连结 PO . 因为△ PCD 是等腰三角形, O 为 CD 的中点, 所以 PO ? CD . 又因为平面 PCD ? 平面 ABCD , ???????????5 分

z P M E O C y

PO ? 平面 PCD ,
所以 PO ? 平面 ABCD . 取 AB 中点 G ,连结 OG , 由题设知四边形 ABCD 为矩形, 所以 OF ? CD . 所以 PO ? OG .???????1 分 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

D A x F G B

则 A(1, ?1,0) , C (0,1, 0) , P(0, 0,1) , D(0, ?1, 0) ,

B(1,1, 0) , O(0,0,0) , G (1, 0, 0) . ??? ? ??? ? AC ? (?1, 2,0) , PC ? (0,1, ?1) .

设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???? ?n ? AC ? 0, ? x ? 2 y ? 0, ? 则 ? ??? ,即 ? ? ? y ? z ? 0. ? ?n ? PC ? 0,
令 z ? 1 ,则 y ? 1 , x ? 2 . 所以 n ? (2,1,1) . 平面 PCD 的法向量为 OG ? (1,0,0) . 设 n, OG 的夹角为 ? ,所以 cos ? ?

????

????

6 . 3

由图可知二面角 A ? PC ? D 为锐角,

6 .??????????10 分 3 ???? ? ??? ? (Ⅲ)设 M 是棱 PC 上一点,则存在 ? ? [0,1] 使得 PM ? ? PC . ???? ? ??? ? 因此点 M (0, ? ,1 ? ? ) , BM ? (?1, ? ?1,1 ? ?) , AC ? (?1,2,0) .
所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 由 BM ? AC ? 0 ,即 ? ? 因为 ? ? 此时,

? ???? ? ???

1 . 2

1 ? [0,1] ,所以在棱 PC 上存在点 M ,使得 BM ? AC . 2
??????????14 分

PM 1 ?? ? . PC 2

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) . 因为 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 所以 f '( x) ?

ax , x ?1

1 a ? . x ? 1 ( x ? 1) 2

因为 f (0) 为 f ( x ) 的极小值, 所以 f '(0) ? 0 ,即 所以 a ? 1 . 此时, f '( x) ?

1 a ? ?0. 0 ? 1 (0 ? 1)2

x . ( x ? 1) 2

当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增.

所以 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值, 所以 a ? 1 . ???????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, ??) 上为单调递增函数, 所以 f ( x) ? f (0) ? 0 , 所以 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立. 因此,当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax x ? ln( x ? 1) ? ?0, x ?1 x ?1

f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立.
当 a ? 1 时, f '( x) ?

1 a x ? (a ? 1) , ? ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

所以,当 x ? (0, a ? 1) 时, f '( x) ? 0 ,因为 f ( x ) 在 [0, a ? 1) 上单调递减, 所以 f (a ? 1) ? f (0) ? 0 . 所以当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 并非对 x ? (0, ??) 恒成立. 综上, a 的最大值为 1 . (19) (共 13 分) ???????????13 分

?a ? 2, ?c 1 ? 解: (Ⅰ)由题意得 ? ? , ?a 2 2 2 2 ? ?a ? b ? c .
解得 b ? 3 .

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) .

???????????5 分

因为点 P 在直线 AO 上且满足 | PO |? 3| OA | , 所以 P(3x1 ,3 y1 ) . 因为 B, Q, P 三点共线, 所以 BP ? ? BQ . 所以 (3x1 ? x2 ,3 y1 ? y2 ) ? ? ( x3 ? x2 , y3 ? y2 ) ,

??? ?

??? ?

?3x1 ? x2 ? ? ( x3 ? x2 ), ? ?3 y1 ? y2 ? ? ( y3 ? y2 ).

3 ? ?1 ? x3 ? x1 ? x, ? ? ? ? 2 解得 ? ? y ? 3 y ? ? ?1 y . 3 ? ? 1 ? 2 ?
因为点 Q 在椭圆 C 上,所以

x32 y32 ? ? 1. 4 3

所以

3 ? ?1 2 ( x1 ? x2 )

?

?

4


? ?

3 ? ?1 2 ( y1 ? y2 )

?

3

?1



9 x12 y12 ? ? 1 2 x2 2 y2 2 6(? ? 1) x1 x2 y1 y2 ( ? ) ? ( ) ( ? )? ( ? ) ? 1, ?2 4 3 ? 4 3 ?2 4 3

因为 A, B 在椭圆 C 上, 所以

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 . 4 3 4 3
3 , 4

因为直线 OA, OB 的斜率之积为 ?

所以

y1 y2 3 xx yy ? ? ? ,即 1 2 ? 1 2 ? 0 . x1 x2 4 4 3
9

所以

?

2

?(

? ?1 2 ) ? 1 ,解得 ? ? 5 . ?
???????????14 分

所以

| BP | ?| ? |? 5 . | BQ |

(20) (共 13 分)

(1,1, ?1, ?1) , (?1,1, ?1,1) , (?1,1,1, ?1) , 解: (Ⅰ) A4 中所有与 x 正交的元素为 (?1, ?1,1,1) ,
(1, ?1, ?1,1) , (1, ?1,1, ?1) .
?????????3 分 (Ⅱ)对于 m ? B ,存在 x ? ( x1 , x2 ,L , xn ), xi ?{?1,1} ,

y ? ( y1, y2 ,L , yn ), yi ?{?1,1} ;
使得 x e y ? m . 令 ?i ? ?
n ?1, xi ? yi , , k ? ? ? i ;当 xi ? yi 时 xi yi ? 1 ,当 xi ? yi 时 xi yi ? ?1. i ?1 ?0, xi ? yi

那么 x e y ?

?x y
i ?1

n

i i

? k ? (n ? k ) ? 2k ? n .

所以 m ? n ? 2k 为偶数.?????????8 分 (Ⅲ)8 个,2 个

n ? 8 时,不妨设 x1 ? (1,1,1,1,1,1,1,1) , x2 ? (?1, ?1, ?1, ?1,1,1,1,1) .

1
在考虑 n ? 4 时,共有四种互相正交的情况即:

1

1

1

?1 1 ?1 1 ,分别与 x1 , x2 搭 ?1 ?1 1 1 1 ?1 ?1 1

配,可形成 8 种情况. 所以 n ? 8 时, A 中最多可以有 8 个元素.?????????10 分

n ? 14 时,
不妨设 y1 ? (1,1,?1) , y1 ? ( ?1, ?1,? , ?1,1,1, ?1) ,则 y1 与 y2 正交.

? ? ?
14 个

????? ? ? ?
7个 7个

令 a ? (a1 , a2 ,L , a14 ) , b ? (b1 , b2 ,L , b14 ) , c ? (c1 , c2 ,L , c14 ) 且它们互相正交. 设 a, b, c 相应位置数字都相同的共有 k 个,除去这 k 列外

a , b 相应位置数字都相同的共有 m 个,
b, c 相应位置数字都相同的共有 n 个.
则 a e b ? m ? k ? (14 ? m ? k ) ? 2m ? 2k ? 14 ? 0 . 所以 m ? k ? 7 ,同理 n ? k ? 7 . 可得 n ? m . 由于 a e c ? ?m ? m ? k ? (14 ? k ? 2m) ? 0 ,可得 2 m ? 7 , m ? 所以任意三个元素都不正交. 综上, n ? 14 时, A 中最多可以有 2 个元素. ???13 分

7 ? N* 矛盾. 2


相关文章:
2016年东城高三理科期末数学试题
2016东城高三理科期末数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三试题 ...东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测参考答案一、选择题共 8 小题...
2016-2017朝阳高三第一学期期末数学(理)试题及答案
2016-2017朝阳高三第一学期期末数学(理)试题及答案_高三数学_数学_高中教育_...北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期统一考试 高三年级数学试卷(理工类)(...
东城区2016-2017第一学期期末数学统练理科试题
东城区 2016-2017 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)试卷共 6 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答...
2016-2017年北京东城区高三第一学期期末试题及答案(理科)
2016-2017年北京东城区高三第一学期期末试题及答案(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。东城区 2016-2017 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科) ...
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末高三理科数学试...
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末高三理科数学试题答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学...
北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答...
北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答案(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(二) ...
2015-2016年北京东城高三上学期期末理科数学试题及答案
2015-2016 年北京东城高三上学期期末理科数学试题及答案 北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科) 2016.1 第一部分(选择题要求的...
东城区2016-2017理科一模试题与答案
东城区2016-2017理科一模试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市...北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习() 数学 (理科)学校__...
东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题...
东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题及答案_高三数学_数学_...北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科)作答...
...学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题及答案
北京市西城区2016-—-2017学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 20162017 学年度第一学期期末试卷 ...
更多相关标签: