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执信中学2009-2010学年高一上学期期中考试数学试题1


高一级数学科期中 高一级数学科期中考试试卷 科期
50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 选择题 合题目要求的. 合题目要求的. 1.下列命题正确的是 ( ) A.很大的实数可以构成集合. B.集合 y | y = x ? 1 与集合 ( x, y ) | y = x ? 1 是同一个集合.
2 2

第一部分选择题(共

{

}

{

}

C.自然数集 N 中最小的数是 1 . 2.下列各式错误的是 错误 .. A. C. ( )

D.空集是任何集合的子集.

47 > 37 0.75?0.1 < 0.750.1

B. D.

log 0.5 4 > log 0.5 6 lg1.6 > lg1.4
( )

3.下列各组函数中,表示同一个函数的是 A. y = x ? 1 和 y =

x2 ?1 x +1

B. y = x 0 和 y = 1 D. f ( x) = ) C. ? 5
x

C. f ( x) = x 2 和 g ( x) = ( x + 1) 2 4.化简 [ 3 ( ?5) ] 4 的结果为 (
2 3

( x )2 x 和 g ( x) = x ( x )2

A.5
x

B. 5

D.-5 ) D.不能确定 )

5 . 设 f ( x) = 3 + 3 x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 + 3x ? 8 = 0在x ∈ (1, 2) 内 近 似 解 的 过 程 中 , 计 算 得 到

f (1) < 0, f (1.5) > 0, f (1.25) < 0, 则方程的根落在区间 ( A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2)

6.设集合 A = {x | 0 < log 2 x < 1}, B = {x | x < a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是 ( A. a ≥ 2
1 2

B. a ≤ 1

C. a ≥ 1 )
?2

D. a ≤ 2
1 3

7.下列幂函数中过点 (0,0) , (1,1) 的偶函数是( A. y = x B. y = x
4

C. y = x

D. y = x

x 8.已知函数 f ( x ) = ( x ? a )( x ? b ) (其中 a > b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) = a + b 的图

象是 (

)

y

y = f ( x)
·

b -1
A B C D

o

a· 1

x

9.如果一个函数 f (x ) 满足: (1)定义域为 R;

(2)任意 x1 , x2 ∈ R ,若 x1 + x2 = 0 ,则

f ( x1 ) + f ( x2 ) = 0 ; (3)任意 x ∈ R ,若 t > 0 , f ( x + t ) > f ( x ) 。
则 f (x ) 可以是( A. y = ? x ) B. y = 3
x

C. y = x

3

D. y = log 3 x

10. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y ( m 2 )与时间 t (月)的关系: y = a t ,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 恰好经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;其中正确的是 ( A.①② B . ①②③ C . ②③④ ) 4 2 1 0 12 3 8 y/m
2

t/月

D . ①②③④

第二部分非选择题 第二部分非选择题 (共 100 分)
小题, 把答案填在答卷的相应位置. 二.填空题:本大题共 6 小题 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 填空题: 11. log 2 82 × 2 2 = ____ ; 12. f ( x ) = 13.设 a = 0.3 , b = 2 , c = log 2 0.3
2 0.3

(

)

x+4 的定义域为_________________ x ?1

比较 a、b、c 大小关系_____

____(用“<”连接) 用 连接

14.函数 y = f ( x) 的图象与函数 y = log 3 x ( x > 0 )的图象关于直线 y = x 对称,则函数 f (x) 的解析 式为 15.函数 y = 5 ? 4 x ? x 2 的单调递增区间是

x ( x ∈ R ) 时,分别给出下面几个结论: 1+ x ①等式 f ( ? x ) = ? f ( x) 在 x ∈ R 时恒成立;②函数 f (x ) 的值域为(-1,1) ;
16.某同学在研究函数 f ( x) = ③若 x1 ≠ x 2 ,则一定有 f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ;④方程 f ( x ) = x 在 R 上有三个根. 其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解答题: 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本题满分 12 分)

? 1 ? 已知 A = ? x | < 2 x < 4 ? , B = { x | x ? 1 > 0} 2 ? ?
(1)求 A I B 和 A U B ; (2)若记符号 A ? B = { x | x ∈ A, 且 x ? B} , ①在图中把表示“集合 A ? B ”的部分用阴影涂黑;

A

B

17 题图

②求 A ? B 和 B ? A .

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 为定义域为 R 的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = log 2 ( x + 1) (1) 当 x < 0 时,求 f (x) 的解析式; (2)作出函数 f ( x) 的图象,并指出其单调区间,以及在每一个单调区间上,它是增函数还是减函数, 并指出 f ( x) 的值域。 (不要求证明)

19. (本题满分 12 分)探究函数 f ( x ) = x +
2

16 ( x > 0) 的最小值,并确定取得最小值时 x 的值. 列表 x2
2.3 8.31 3 10.7 4 17 7 49.33 … …

如下, 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点,完成以下的问题. x y … 0.5 1 17 1.5 9.36
2

1.7 8.43

2 8

2.1 8.04

… 64.25

16 ( x > 0) 在区间(0,2)上递减,问: x2 16 2 (1)函数 f ( x ) = x + 2 ( x > 0) 在区间 上递增. x 当x = 时, y 最小 = .
已知:函数 f ( x ) = x + (2)证明:函数 f ( x) = x 2 +

16 ( x > 0) 在区间(0,2)递减; x2

(3)思考:函数 f ( x ) = x +
2

16 ( x < 0) 有最大值或最小值吗?如有,是多少?此时 x 为何值?(直 x2

接回答结果,不需证明)

20. (本题满分 10 分)设 f (x ) = 4 x ? 4ax + 3a + 4( a ∈ R ) ,若 f ( x) = 0 有两个均小于 2 的不同的
2

实数根,则此时关于 x 的不等式 ( a + 1) x ? ax + a ? 1 < 0 是否对一切实数 x 都成立?并说明理由。
2

21. (本题满分12分)在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势. 设某 服装开始时定价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的平稳销售;10 周 后当季节即将过去时,平均每周降价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系; (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为 Q = ?0.125(t ? 8) 2 + 12 ,

t ∈ [0,16], t ∈ N ,问该服装第几周每件销售利润最大?

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = log m (1)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明;

x?3 x+3

(2)若 f ( x ) 的定义域为[ α , β ]( β > α > 0 ),判断 f ( x ) 在定义域上的增减性,并加以证明; 是否存在?若存在,求出[ α , β ],若不存在,请说明理由. (3) 0 < m < 1 , f (x ) 的值域为[ log m m( β ? 1), log m m(α ? 1) ]的定义域区间[ α , β ]( β > α > 0 ) 若 使

高一级数学科期中试题答案
一、选择题:DCDBB ABACA 二、填空题:11、 8;
x

12、 [ ?4,1) U (1, +∞) ;

13、 c < a < b ;

14、 f ( x) = 3 ; 三、解答题 17. (1)A = {x ? 1 < x < 2}

15、 ( ?5, ?2) (写闭区间也正确) 16、①②③ ;

B = {x x > 1}

………………………2 分 ………………………6 分

A I B = (1, 2)
(2) ①



A U B = (?1, +∞)

A

B 17 题图

…………………8 分

② A-B= (?1,1]

; B ? A = [2, +∞)

…………………12 分

18. (1)当 x < 0 时, ? x > 0 , ∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f ( ? x ) = f ( x ) ∴ f ( x ) = f ( ? x ) = log 2 ( ? x + 1) (2)图略 ……………………5 分

………………………………… 9 分 …………………… 12 分

单增区间(0,+ ∞ ) ;单减区间(- ∞ ,0) ;值域 [0, +∞ ) 19.解:(1) ( 2,+∞) ; 当 x = 2时y 最小 = 4.

………………4 分

(2) 证明:设 x1 , x 2 是区间, (0,2)上的任意两个数,且 x1 < x 2 .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x12 + =

16 16 16 16 16 ? ( x2 2 + 2 ) = x12 ? x2 2 + 2 ? 2 = ( x12 ? x2 2 )(1 ? ) 2 x12 x2 x1 x2 (x1 x2)

( x12 ? x2 2 )( x12 x2 2 ? 16) 2 (x1 x2)

Q 0 < x1 < x2 < 2

∴ x12 ? x2 2 < 0

又Q x1 , x2 ∈ (0, 2) ∴ 0 < ( x1 x2 ) 2 < 16 ∴ ( x1 x2 )2 ? 16 < 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ∴ 函数在(0,2)上为减函数. ……………………9 分 16 (3)思考: y = x 2 + 2 x ∈ (?∞,0)时, x = ?2时, y最小 = 8 …………12 分 x

?? = 16a 2 ? 16(3a + 4) > 0 ? ?a 20.解:由题意得 ? < 2 ……………………3 分 ?2 ? f (2) = 16 ? 8a + 3a + 4 > 0 ? 得 a < ?1 ; ……………………5 分
若 ( a + 1) x 2 ? ax + a ? 1 < 0 对任意实数 x 都成立,则有: (1)若 a + 1 =0,即 a = ?1 ,则不等式化为 x + 2 > 0 不合题意……………………6 分 (2)若 a + 1 ≠ 0,则有 ?

?a + 1 < 0
2 ?a ? 4(a + 1)(a ? 1) < 0

……………………8 分

得a < ?

2 3 , 3

…………………9 分

综上可知,只有在 a < ?

2 3 时, ( a + 1) x 2 ? ax + a ? 1 < 0 才对任意实数 x 都成立。 3
……………10 分

∴这时 ( a + 1) x 2 ? ax + a ? 1 < 0 不对任意实数 x 都成立

? 10 + 2t ? 21.解: (1) P = ? 20 ? 20 ? 2(t ? 10) ?
(2)Q L = P ? Q

(0 ≤ t ≤ 5, t ∈ N ) (5 < t ≤ 10, t ∈ N ) (11 ≤ t ≤ 16, t ∈ N )

……………3 分

……………4 分

? 0.125t 2 + 6 ? ∴ L = ? 0.125t 2 ? 2t + 16 ?0.125t 2 ? 4t + 36 ?
当 0 ≤ t ≤ 5 时, t = 5时 Lmax =

(0 ≤ t ≤ 5, t ∈ N ) (5 < t ≤ 10, t ∈ N ) (11 ≤ t ≤ 16, t ∈ N )

……………7 分

73 73 ; 当 5 < t ≤ 10 时, L < ; ……………10 分 8 8 57 当 11 ≤ t ≤ 16 时, t = 11 时 Lmax = 8 73 综上,当 t = 5时 Lmax = ……………11 分 8
答:该服装第五周销售利润 L 最大。 22.解:(1)由 ……………12 分

x ?3 > 0 得 f ( x) 的定义域为 (?∞, ?3) U (3, +∞) ,关于原点对称。 x+3 ?x ? 3 x+3 x ? 3 ?1 Q f (? x) = log m = log m = log m ( ) = ? f ( x) ?x + 3 x?3 x+3 ∴ f ( x) 为奇函数
………………………………3 分

(2) f (x ) 的定义域为[ α , β ]( β > α > 0 ), α , β ] ? (3,+∞) 。 x1 ,x 2 ∈ [ α , β ], x1 < x 2 , Q 则[ 设 则 且 x1 , x 2 > 3 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = log m

x1 ? 3 x ?3 ( x ? 3)( x 2 + 3) ? log m 2 = log m 1 x1 + 3 x2 + 3 ( x1 + 3)( x 2 ? 3)

Q ( x1 ? 3)( x 2 + 3) ? ( x1 + 3)( x 2 ? 3) = 6( x1 ? x 2 ) < 0 , ∴ ( x1 ? 3)( x 2 + 3) < ( x1 + 3)( x 2 ? 3) 即
( x1 ? 3)( x 2 + 3) ( x ? 3)( x 2 + 3) < 1 , ∴当 0 < m < 1 时,log m 1 > 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x 2 ) ;当 m > 1 ( x1 + 3)( x 2 ? 3) ( x1 + 3)( x 2 ? 3)
时, log m

( x1 ? 3)( x 2 + 3) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ,故当 0 < m < 1 时, f ( x) 为减函数; m > 1 时, ( x1 + 3)( x 2 ? 3)
………………………………7 分

f ( x) 为增函数。

(3)由(1)得,当 0 < m < 1 时, f ( x ) 在[ α , β ]为递减函数,∴若存在定义域[ α , β ]( β > α > 0 ),

α ?3 ? ?log m α + 3 = log m m(α ? 1) ? 使值域为[ log m m( β ? 1), log m m(α ? 1) ],则有 ? ?log m β ? 3 = log m m( β ? 1) ? β +3 ?


……………………9

?α ? 3 ?α + 3 = m(α ? 1) ? ∴? ? β ? 3 = m( β ? 1) ?β + 3 ?
解得当 0 < m <

∴ α , β 是方程

x?3 = m( x ? 1) 的两个解……………………10 分 x+3

?1 ? 2m ? 16m 2 ? 16m + 1 1 ? 2m + 16m 2 ? 16m + 1 ? 2? 3 时,[ α , β ]= ? , ?, 4 2m 2m ? ? ? ?
………………………12 分



2? 3 ≤ m < 1 时,方程组无解,即[ α , β ]不存在。 4


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