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广东省高州市第一中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


2015-2016 学年度第二学期高一级月考 数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表: 甲 平均成绩 x 方差 s
2

乙 89 3.5

丙 89 2.1 )

>丁 85 5.6

86 2.1

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是( A .甲 A. ? 1 B.乙
? ?

C.丙

D.丁 ) D. ? 3

2. 若直线 ?x ? y ? a ? ? 平分圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? ,则 a 的值为( B. 1
2

C. 3

3. 在样本方差的计算公式 S = ( ) A. 容量,方差

1 [( x1 -20) 2 +(x2 -20) 2 +? +(x10 -20) 2 ] 中,数字 10 和 20 分别表示样本的 10
C. 容量,平均数 D. 标准差,平均数 )

B. 平均数,容量

4. 某产品共有三个“等级” ,分别为一等品、二等品和不合格品,从一箱产品中随机抽取 1 件进行检测, 设“抽到一等品”的概率为 0.65, “抽到二等品”的概率为 0.3,则“抽到不合格品”的概率为( A. 0.95 B. 0.7 C. 0.35 D. 0.05 ) 5. 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到站 A 的距离 PA <1 的概率为( A. 6

1 4

B.

1 2

C.

? 4
2 2

D.

?


直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于( A. ?3 3 或 3 A. a ,S B. ?3 3 或 3 3 C. 2+ a ,2S
2

C. 3 或 ? 3 D. 2+ a ,4S )

D. ? 3 或 3 3 )

7. 若 x1 , x2 ,? xn 的平均数为 a ,标准差 S,则 2+ x ,2+ x2 ,?,2+ xn 的平均数和标准差分别为( B. 2+ a ,S 8. 若任意 b ? (0,1) ,则方程 x + x + b =0 有实根的概率为(

1 2 1 C. 4
A. A.14 B.30 C.20 D.55

1 3 3 D. 4
B. )

9.阅读右面的程序框图,则输出的 S =(

10. 从 4 双不同的鞋中任意摸出 4 只,事件“4 只全部成对”的对立事件是 ( ) B. 恰有 2 只不成对 D. 至少有 2 只不成对
1

A. 至多有 2 只不成对 C. 4 只全部不成对

11. 一个样本的容量为 72,分成 5 组,已知第一、五组的频数都为 8,第二、四组的频率都为 组的频数为 ( A. 16 B. 20 ) C. 24 D. 36

2 ,则第三 9

12. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产品过程中记录的产量 x (吨) ,与相应的生产能耗 y (吨) 的 n 组对应数据。

x
y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

i

? =0.7 x +0.35,则表中 i 为( ) 根据上表提供数据, 求出 y 关于 x 的回归直线方程为 y
A. 3 B. 3.65 C. 3.5 D. 4.5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 将你认为正确的答案填写在空格上) 13.为了了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩,采取分层抽样方法,从甲校的 1 260 份试 卷、乙校的 720 份试卷、丙校的 900 份试卷中进行抽样调研.若从丙校的 900 份试卷中抽取了 45 份 试卷,则这次调研共抽查的试卷份数为________. 14. 已 知 两 圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相 交 于 A, B 两 点 , 则 直 线 AB 的 方 程 是 . 15、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 16. 某高校从参加今年自主招生考试的 1 000 名学生中随机抽取 100 名学生的成绩进行统计,得到如图所 示的样本频率分布直方图.若规定 60 分及以上为合格,则估计这 1 000 名学生中合格的人数 是 .

开始 T=0,S=1 S=S -T T≥0 否 输出S
第 16 题 三、 解答题 17. (本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 圆 C 的 圆心为



T=T+S

结束
第 15 题

2) .若直线 l 被圆 C 所截得弦长为 2 。 (4,0) ,且经过点 A(5,0) ,直线 l 过点 (0, ?

(1) 圆 C 的方程; (2) 求直线 l 的方程.
18. (本小题满分12 分)某中学某班对学生每天数学作业完成时间(分钟)进行调查,将所 得数据整理后得频率分布表和频率分布直方图如下图. (1)补全频率分 布表和频率分布直方图;
2

(2)为了分析完成作业时间与听课认真程度等方面的关系,需再从这50 人中利用分层抽 样的方法抽取 10 人作进一步分析,则应从完成作业时间在[40,45)内的学生中抽取多少人? (3) 完成作业时间在[25,30)内的学生中有 3 名男生和若干名女生,现从中任意抽取两 名同学,求这两名同学恰好都是男生的概率是多少? 完成作业时间频率分布表 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) 合计 频数 ① 10 15 15 5 50 频率 0.1 ② 0.3 0.3 0.1 1 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 25 30 35 40 45 50 频率/组距

19. (本小题满分 12 分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成 绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲班至少有一名学生的概率.
5 8
2

甲 9 7 8 9

乙 6 1 1 y 1 1 6

x 0 6 2

20. (本题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 4 次预赛成绩记录 如下: 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90 (1)从甲 、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差,②若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据你的计算结 果,你认为选派哪位学生参加合适? 21. (本题满分 12 分)某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图 3)和频率分布直方图(图 4)都 受到不同程度的破坏,可见部分如下图所示,据此解答如下问题。
图3

(1)求全班人数及分数在 [80,90) 之间的频数;
3

(2)计算频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况,在抽取的试卷中,求至少 有一份分数在[90,100]之间的概率。

22.(本小题满分 12 分)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) .

x y

2 30

4 40

5 50

6

8 70

60

参考数据:

?x
i ?1

5

2

i
n

? 145

?y
i ?1

5

2

i

? 13500

?x y
i ?1 i

5

i

? 1390

参考公式: b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ? bx

⑴请在下面直角坐标系中 画出上表数据的散点图。

? ? bx ? a ⑵请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
⑶要使这种产品的销售额突破 1 亿元(含 1 亿元) ,则广告费支出至少为多少百万元(精确到 0.1 )

2015-2016 学年度第二学期高一级月考 数学答案 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 C 6 A 7 B 8 D 9 B 10 D 11 C 12 A

13. 145

14. x ? 3 y ? 0

15. 0

16. 700

17 .解: (1) 依题意,可设圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 ,????1 分 把 A(5, 0) 代入上式得 r ? 1 ????2 分
2

∴圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 1 ????3 分
2 2

(2) 法一:设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L.
2 2 圆 C 的方程可化为 ( x ? 4) ? y ? 1 ,圆心为 C (4,0) ,半径为 r ? 1 ,

当直线 l 斜率不存在时,此时直线 l 方程为 x ? 0 , 不符合题意,????5 分 当直线 l 的斜率存在时,可设直线方程为 y ? kx ? 2 .????6 分

4

设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ,则 d ?

| 4k ? 2 | k2 ?1

,????6 分
2 2

由垂径定理可知,直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 L=2 r ? d ????7 分

? | 4k ? 2 | ? ? ? 2 ????9 分 故由题意,可得 2 1 ? ? ? ? 2 k ? 1 ? ?
2

2

化简得, k ?

1 ????10 分 2

2 2 法二:圆 C 的方程化为 x ? y/ ? 8x ? 15 ? 0 ????4 分 频率 组距

0.06 l 方程为 x ? 0 , 不符合题意,????5 分 当直线 l 斜率不存在时,此时直线
当直线 l 的斜率存在时,可设直线方程为 y ? kx ? 2 .????6 分
2 (利用弦长公式 L= 1 ? k ? | x 1 ? x 2 |? 0.03

0.05 0.04

1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 )

0.01 ? y ? kx ? 2 由? 2 消 y, 2 ? 0 30 35 40 45 50 ? x ? y ? 8 x ? 15 25
2 2

0.02 设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L,直线 l 与圆 C 的两个交点分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )

完成作业时间 / 分钟

得 (1 ? k ) x ? (4k ? 8) x ? 19 ? 0 ???7 分 由韦 达定理,得 x1 ? x 2 ? 由题意有 L= 1 ? k ? (
2
2 化简得 4k ? 4k ? 1 ? 0

4k ? 8 19 , x1 x 2 ? ????8 分 2 1? k 1? k2

4k ? 8 2 19 ? 2 ????9 分 ) ? 4? 2 1? k 1? k2
解得 k ?

1 ????10 分 2

18.解:⑴频率分布表中①处填 5 ,②处填 0 .2 ,???2 分 频率分布直方图如图;

????4 分 (2)由(1)知完成作业时间在 [ 40,45) 内的学生中抽取

10 ? 15 ? 3 人 ????6 分 50

(3) 若用 a, b, c, d , e 来表示完成作业时间在 [ 25,30) 内的 5 名学生,其中 a, b, c 为男生, 则基本
5

事件有:{a, b} ,{a, c} ,{a, d },{a, e} ,{b, c} ,{b, d } ,{b, e} ,{c, d } ,{c, e} ,{d , e} 共 10 个基本事件. ????9 分

两名同学恰好都是男生所包含的基本事件有: {a, b} , {a, c} , {b, c} 共 3 个基本事 件,????10 分 所以这两名同学恰好都是男生的概率是: P ? 19. (1)解:∵甲班学生的平均分是 85, ∴

3 . 10

????12 分

92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 . 7

????? 1 分 ????? 2 分

∴ x ? 5. ∵乙班学生成绩的 中位数是 83, ∴ y ? 3. (2)解:甲班 7 位学生成绩的方差为

????? 3 分

s2 ?

2 2 2 1? ?6 ? ? ? ?7 ? ? ? ?5 ? ? 02 ? 02 ? 7 2 ? 112 ? ? 40 . ? ? ? ? 7?

?? 5 分

(3)解:甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A, B , 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C, D, E .

????? 6 分 ???? 7 分

从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ? D, E ? . ? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? .
P?M ? ? 7 . 10

????? 9 分

其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? , ?????11 分

记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事件 M ,则

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为

7 . 10

?????12 分

20.解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ( x, y ) 表示基本事件:

?82,95? , ?82, 75? , ?82,80 ? , ?82,90 ? , ?84,95? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ?84,90 ? , ? 79,95? , ? 79, 75? , ? 79,80 ? , ? 79,90 ? , ? 95,95? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,
基本事件总数 n ? 16 ????????3分 记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件:

6

?82, 75? , ?82,80 ? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ? 79, 75? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,

????????4分

事件A包含的基本事件数 m ? 8 ,所以 P ? A ? ? 所以甲的成绩比乙高的概率为 (2)①

m 8 1 ? ? n 16 2

????5分

1 ??????6分 2

? 1 x甲 ? (82 ? 84 ? 79 ? 95) ? 85 , 4 ? 1 x乙 ? (95 ? 75 ? 80 ? 90) ? 85 4 ??????7分

1 2 S甲 ? [(79 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 ? (84 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 36.5 4 ?????9分 1 2 S乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 62.5 4 ?????11分
②? x甲
? 2 2 ? x乙 , s甲 ? s乙 , ?

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。??12 分

21.解: (1)由茎叶图可知,分数在 [50,60) 之间的频数为 2,频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , 所以全班人数为 n ?

2 ? 25 (人) 0.08

(2 分 ) (3 分) (5 分)

故分数在 [80,90) 之间的频数为 n1 ? 25 ? 2 ? 7 ?10 ? 2 ? 4 . (2)分数在 [80,90) 之间的频数为 4, 频率为

4 ? 0.16 25 0.16 ? 0.016 10

所以频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高为

(7 分)

(3)用 a,b,c,d 表示 [80,90) 之间的 4 个分数,用 e, f 表示 [90,100] 之间的 2 个分数,则满足条 件的所有基本事件为: (a, b), (a, c), (a, d ) , (a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ) , (b, e) , (b, f ) ,

(c, d ),(c, e)(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) 共 15 个,

(9 分)

其中满足条件的基本事件有:(a, e), (a, f ), (b, e) ,(b, f ) ,(c, e)(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) 共9个 (10 分)

所以至少有一份分数在[90,100]之间的概率为

9 3 ? 15 5

(12 分)

22.解:(1)根据表中所列数据可得散点图,如图:?????3 分 销售额/百万元 70 60 50 40 30 广告费支出/百万元 1 2 3 4 5 6 7 8

7

(2)由题中数据算出 x ? 5, y ? 50 ?????4 分

b?

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2

i

? 5x

2

?

1390 ? 5 ? 5 ? 50 ? 7.0 ?????6 分 145 ? 5 ? 52

a ? y ? bx ? 50 ? 7.0 ? 5 ? 15
? ? 7 x ? 15 ∴所求的回归直线方程 y
(3)依题意有: 7 x ? 15 ? 10

?????8 分 ?????9 分

∴ x ? 12.2 ?????11 分

∴广告费投入至少需要 12.2 百万元。?????12 分

8


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