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北京市高中数学应用知识竞赛 zhouzhe


北京市高中数学应用知识竞赛
一、 (1)设价格为 P,质量为 M,表面积为 S,单位质量生产成本为 a,单位包装成 本为 b。 故 P=120%(aM+bS)。 但是,S 和 P 不成正比 故 P,M 不成正比 所以此方法错误。 (2)可将牙膏粗略看为均匀柱型, 所以 S∝M^(2/3), 不妨设 S= M^(2/3)。 可列方程: 1.2*(30a+30^(2/3)b

)=2.5 1.2*(120a+120^(2/3)b)=8.5 解得 a=0.042,b=0.086 故当 M=220 时,

P=1.2*(220*0.042+220^(2/3)*0.086)=14.8 所以,220 克牙膏价格应为 14.8 元。 (3)P=1.2*(0.042M+0.086M^(2/3)) =0.0504M+0.1032M^(2/3) C=P/M 所以,C=0.0504+0.1032M^(-1/3) C’=-(1/3)*0.1032M^(-4/3) 当 M>0,C’<0 所以,当 M 增加时,C 会减少。

(4) 12 月 18 日

牙膏名称

规格(g) 价格 (元)

黑 人 超 白 190 牙膏 140 90 黑 人 超 白 190 矿物牙膏 140 90 云 南 白 药 180 留 兰 型 牙 150 膏 120

12.10 9.60 6.70 12.80 9.20 6.90 31.50 24.80 20.90 5.90 3.90 2.90

中 华 芦 荟 180 水晶原荟 130 90


1.2*(190a+190^(2/3)b)=12.8 1.2*(140a+140^(2/3)b)=9.2 解得,

B=0.0038097 A=0.00362726 P=1.2*(90a+90^(2/3)b)=4.30 和市场价相差很大

我们推测是题设加价百分之 20 不对,而且包装成本不一定和表面积 成正比,而且,我们认为 S∝M^(2/3),也不是很对 二,

Ⅰ,如若不铺设公共管线,
12

10

8

B

6

A

4

2

C
-5 5 10

D
15 20 25 30

-2

-4

-6

-8

设车站 E,作 B 关于 CD 的对称点 B‘ AE+AB=AE+EB‘≤AE‘=

= ≈19.85


10

9

8

B

7

6

5A

4

3

2

1

C
-2 2 4 6 8 10 12 14

D
16 18 20 22

-1

-2

-3

如若共用管道,相当于求三角形 ABE 中一点(三角形之外明显很费 钱)到 ABE 的距离和何时最小, 设从 G 点开始分叉,当 G 为三角形的费马点时最小。 限制条件:E 在 CD 之上 知∠EAB≤∠CAB≤ ∠ABE≤∠ABD≤ 所以 因为 AB 恒不变, =

=

- -

设 CE=x 原 = 式

= +[ 当 x= 这时 x=



)-CD]x + C (C 为常数) 时 GA+GB+GE 最小

≈4.9

GA+GB+GE≈19.49 L=19.85-19.49=0.36 所以,还是该铺。 (km)

m GA = 10.62 厘厘 m GB = 21.82 厘厘 m HG = 4.06 厘厘 m GA+m GB+m HG = 36.51 厘厘
7 m CF = 1.87 厘厘 8

B

(m GA+m GB+m HG)
m CF
6

= 19.49

5A

4

3

2

G

1

C

F
2 4

D H
6 8 10 12 14 16 18

-1

-2

车站距 C 线总长≈19.5(km)

≈4.9(km)管线于

的费马点处分叉,管

用费≈140.3(万元)


6

4

2

5

10

15

20

25

30

-2

-4

-6

-8

-10

-12

图一

简化后如图一,球场为矩形,设长为 2a,宽为 2b。 矩形四顶点:A(0,0) B(0,2b) C(2a,2b) D(2a,0) 设摄像机速度为 v,运动时间为 t,位置为 P。 初位置(0,b) ,末位置(2a,b) 所以 P(vt,b) (0≤v≤ ) 所以,AP= 所以,CP= 设 f(x)=AP = = =BP =DP = (0≤v≤ )

设 g(x)=AP

=

=

=

(0≤v≤ )

四、 (1)应舍弃校本课程,第四所在这项数据上为空,我不认为第四所无课程,这 应是数据的缺失,但是,其他数据都多少有用,若有空项应是无此项目,所以都 要考虑。
(2)
教师数 市骨干 区骨干 特级教师 学生数 社团个数 校面积 操场面积 图书册书 阅览室座位数 实验室数 专业教室 校本课程门数 师资 生员 占地 物资 师资 生员 占地 物资 总分 结论 3>1>2>4 得分 得分 得分 得分 第一所 第二所 第三所 第四所 算法 240 171 290 228 15 11 9 16 58 53 20 30 7 6 14 5 3700 2400 3848 2727 23 30 30 220 43 80 39 80 9 22 1.3 13 30 12 12 200 200 184 12 20 20 36 16 20 20 46 84 60 60 458 4160 580 334 4 3 4 1 34 357 3000 120 600 1 2 2 3 22 450 4448 218 420 3 4 3 2 35 382 2727 115.7 720 教师数+4*市骨干+2*区骨干+6*特级教师 学生数+20*社团个数 (校面积-操场面积)*3+2*操场面积 图书册书*10+9*实验室数+6*专业教室

2 最高4分,依次递减,最低1分 1 1 4 19 占地得分*4+3*生员得分+2*物资得分+2*师资得分

我把有用的数据分为师资、生员、占地、物资。算法和权如图所示。

因为各项数据加权后相差太大(如占地和生员),不妨给最高 4 分,其他依次递 减,图中红的是四分,绿的是三分,黄的是两分,蓝的是一分。 但是这四项的权也不同,算法如图,最后结果是 3 大于 1 大于 2 大于 4,(这里 指所) (3)同学第一眼认为是 1>3>4>2 家长直观认为一﹥三﹥四﹥二 我认为他们都只是考虑了单一的方面。

五 、经计算,原摆放方法能容纳 450 人 但是若如下图摆放:

1 号桌子 53 个,

2 号桌子 4 个 3 号桌子 2 个 椅子共 456 把 共能容纳 456 人,且通畅程度有所提高。


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