北京市高中数学应用知识竞赛 zhouzhe

北京市高中数学应用知识竞赛
一、 （1）设价格为 P，质量为 M，表面积为 S，单位质量生产成本为 a，单位包装成 本为 b。 故 P=120%(aM+bS)。 但是，S 和 P 不成正比 故 P，M 不成正比 所以此方法错误。 （2）可将牙膏粗略看为均匀柱型， 所以 S∝M^(2/3)， 不妨设 S= M^(2/3)。 可列方程： 1.2*(30a+30^(2/3)b

)=2.5 1.2*(120a+120^(2/3)b)=8.5 解得 a=0.042,b=0.086 故当 M=220 时，

P=1.2*(220*0.042+220^(2/3)*0.086)=14.8 所以，220 克牙膏价格应为 14.8 元。 （3）P=1.2*(0.042M+0.086M^(2/3)) =0.0504M+0.1032M^(2/3) C=P/M 所以，C=0.0504+0.1032M^(-1/3) C’=-(1/3)*0.1032M^(-4/3) 当 M>0，C’<0 所以，当 M 增加时，C 会减少。

（4） 12 月 18 日

牙膏名称

规格（g） 价格 （元）

黑 人 超 白 190 牙膏 140 90 黑 人 超 白 190 矿物牙膏 140 90 云 南 白 药 180 留 兰 型 牙 150 膏 120

12.10 9.60 6.70 12.80 9.20 6.90 31.50 24.80 20.90 5.90 3.90 2.90

中 华 芦 荟 180 水晶原荟 130 90

有
1.2*(190a+190^(2/3)b)=12.8 1.2*(140a+140^(2/3)b)=9.2 解得，

B=0.0038097 A=0.00362726 P=1.2*(90a+90^(2/3)b)=4.30 和市场价相差很大

我们推测是题设加价百分之 20 不对，而且包装成本不一定和表面积 成正比，而且，我们认为 S∝M^(2/3)，也不是很对 二，

Ⅰ，如若不铺设公共管线，
12

10

8

B

6

A

4

2

C
-5 5 10

D
15 20 25 30

-2

-4

-6

-8

设车站 E，作 B 关于 CD 的对称点 B‘ AE+AB=AE+EB‘≤AE‘=

= ≈19.85

Ⅱ
10

9

8

B

7

6

5A

4

3

2

1

C
-2 2 4 6 8 10 12 14

D
16 18 20 22

-1

-2

-3

如若共用管道，相当于求三角形 ABE 中一点（三角形之外明显很费 钱）到 ABE 的距离和何时最小， 设从 G 点开始分叉，当 G 为三角形的费马点时最小。 限制条件：E 在 CD 之上 知∠EAB≤∠CAB≤ ∠ABE≤∠ABD≤ 所以 因为 AB 恒不变， =

=

－ －

设 CE=x 原 = 式

= +[ 当 x= 这时 x=

（

）－CD]x + C （C 为常数） 时 GA+GB+GE 最小

≈4.9

GA+GB+GE≈19.49 L=19.85－19.49=0.36 所以，还是该铺。 (km)

m GA = 10.62 厘厘 m GB = 21.82 厘厘 m HG = 4.06 厘厘 m GA+m GB+m HG = 36.51 厘厘
7 m CF = 1.87 厘厘 8

B

(m GA+m GB+m HG)
m CF
6

= 19.49

5A

4

3

2

G

1

C

F
2 4

D H
6 8 10 12 14 16 18

-1

-2

车站距 C 线总长≈19.5（km）

≈4.9（km）管线于

的费马点处分叉，管

用费≈140.3（万元）

三
6

4

2

5

10

15

20

25

30

-2

-4

-6

-8

-10

-12

图一

简化后如图一，球场为矩形，设长为 2a，宽为 2b。 矩形四顶点：A（0，0） B（0，2b） C（2a，2b） D（2a，0） 设摄像机速度为 v，运动时间为 t，位置为 P。 初位置（0，b） ，末位置（2a，b） 所以 P（vt，b） （0≤v≤ ） 所以，AP= 所以，CP= 设 f（x）=AP = = =BP =DP = （0≤v≤ ）

设 g（x）=AP

=

=

=

（0≤v≤ ）

四、 （1）应舍弃校本课程，第四所在这项数据上为空，我不认为第四所无课程，这 应是数据的缺失，但是，其他数据都多少有用，若有空项应是无此项目，所以都 要考虑。
（2）
教师数 市骨干 区骨干 特级教师 学生数 社团个数 校面积 操场面积 图书册书 阅览室座位数 实验室数 专业教室 校本课程门数 师资 生员 占地 物资 师资 生员 占地 物资 总分 结论 3＞1＞2＞4 得分 得分 得分 得分 第一所 第二所 第三所 第四所 算法 240 171 290 228 15 11 9 16 58 53 20 30 7 6 14 5 3700 2400 3848 2727 23 30 30 220 43 80 39 80 9 22 1.3 13 30 12 12 200 200 184 12 20 20 36 16 20 20 46 84 60 60 458 4160 580 334 4 3 4 1 34 357 3000 120 600 1 2 2 3 22 450 4448 218 420 3 4 3 2 35 382 2727 115.7 720 教师数+4*市骨干+2*区骨干+6*特级教师 学生数+20*社团个数 (校面积-操场面积)*3+2*操场面积 图书册书*10+9*实验室数+6*专业教室

2 最高4分，依次递减，最低1分 1 1 4 19 占地得分*4+3*生员得分+2*物资得分+2*师资得分

我把有用的数据分为师资、生员、占地、物资。算法和权如图所示。

因为各项数据加权后相差太大（如占地和生员），不妨给最高 4 分，其他依次递 减，图中红的是四分，绿的是三分，黄的是两分，蓝的是一分。 但是这四项的权也不同，算法如图，最后结果是 3 大于 1 大于 2 大于 4，（这里 指所） （3）同学第一眼认为是 1>3>4>2 家长直观认为一﹥三﹥四﹥二 我认为他们都只是考虑了单一的方面。

五 、经计算，原摆放方法能容纳 450 人 但是若如下图摆放：

1 号桌子 53 个，

2 号桌子 4 个 3 号桌子 2 个 椅子共 456 把 共能容纳 456 人，且通畅程度有所提高。