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江西省吉安一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


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江西省吉安一中 2012-2013 学年高二上学期期中考试数学 (理)试卷
一、选择题(本大题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 抛物线 y ? ? A. y ?

3 2

1 2 x 的准线方程为( 6 1 B. y ? 24


) C. x ?

3 2

D. x ?

1 24

2. 已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形,其中有一 条边长为 4,则此正方形的面积是( A. 16 A. 充分非必要条件 B. 64
2 2

C. 16 或 64 ) B. 必要非充分条件

D. 以上都不对

3. “ ab ? 0 ”是“方程 ax ? by ? 1 表示椭圆”的(

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线 (3 ? a) x ? (2a ? 1) y ? 7 ? 0 与直线 (2a ? 1) x ? (a ? 5) y ? 6 ? 0 互相垂直,则

a 的值为( ) 1 2 3 A. B. C. D. 1 7 7 7 2 2 2 2 5. 圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 和圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线的条数为(
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设有两条不同直线 a 、 b 和两个不同的平面 ? 、 ? ,则下列命题中错误的是( A. 若 a // ? ,且 a // b ,则 b ? ? 或 b // ? B. 若 a // b ,且 a ? ? , b ? ? ,则 ? // ? C. 若 ? // ? 且 a ? ? , b ? ? ,则 a // b D. 若 a ? b ,且 a // ? ,则 b ? ? )



7. 若过点 A(4,0) 的直线 l 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是
2 2



) B. (??,? 3] ? [ 3,??)

A. [? 3, 3] C. [?

3 3 3 3 D. (??,? , ] ] ? [ ,??) 3 3 3 3 2 8. 已知命题 p : 存在 x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 。若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范
围是( ) B. a ? 1
2

A. a ? 0 9. 直线 l 与椭圆

C. 0 ? a ? 1

D. ? 1 ? a ? 1

x ? y 2 ? 1 交于不同的两点 P 1P 2 的中点为 P ,设直线 l 的 1 、P 2 ,线段 P 2 斜率为 k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k 2 ( O 点为坐标原点) ,则 k1 ? k 2 的值为( ) 1 A. ? B. ? 1 C. ? 2 D. 不能确定 2 ? 10. 在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD ? 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 , 3
则四面体 ABCD 的体积等于( )

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A.

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C.

3 2

B.

1 2

1 3

D.

3 3

二、填空题(本大题共 5 道小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是__________________
3 2

12. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰 三角形,下图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形。则该几何体的体积为___

13. 已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 的动点,A(1,0) ,B(4,2) ,则|PA|+|PB|的最小值是____ 14. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1C和C1 D 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角分别为 60 和 45 ,则异面直线 B1C和C1 D 所成角的余弦值为_________
? ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,P 15. 若 F 是双曲线 1、P 2、P 3、P 4 是双曲线右支上任意 4 个不同 4 3
的点,且 FP 1 ? FP 2 ? FP 3 ? FP 4 ? 0 ,则 | FP 1 | ? | FP 2 | ? | FP 3 | ? | FP 4 | 的值为______ 三、解答题(本题共 6 道小题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分) 已知命题 p : x 2 ? 7 x ? 10 ? 0, 命题 q : x 2 ? 2x ? 1 - a 2 ? 0(a ? 0) , 若 p 是 q 的充分不 必要条件,求 a 的取值范围。 17. (本题满分 12 分) 已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0, l 2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0 , 求分别满足下列条件的 a、 b 的值。 (1)直线 l1 过点(-3,-1) ,并且直线 l1 与直线 l 2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l 2 平行,并且坐标原点到 l1、l 2 的距离相等。 18. (本题满分 12 分) 已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点,点 A、B 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,原点
2

在直线 AB 上的射影为点 D(2,1) ,求抛物线的方程。 19. (本题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 6 , BC ? 4 ,D 是 BC 的中点,F 是 CC1 上一点,且 CF ? 4 。

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(1)求证: B1 F ? 平面ADF ; (2)求三棱锥 D ? AB1 F 的体积; (3)试在 AA 1 上找一点 E,使得 BE // 平面ADF 。 20. (本题满分 13 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切。 (1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0(a ? 0) 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(-2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由。 21. (本题满分 14 分) 如图,在以点 O 为圆心,AB 为直径的半圆中,D 为半圆弧的中心,P 为半圆弧上一点, 且 AB=4, ?POB ? 30 ,双曲线 C 以 A,B 为焦点且经过点 P。
?

(1)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线 C 的方程;

E F (2) 设过点 D 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同两点 E、 F, 若 ?O
求直线 l 的斜率的取值范围。

的面积不小于 ...2 2 ,

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吉安一中 2012-2013 学年度上学期期中考试高二数学(理)答案
一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. A 5. B 6. D 7. C 8. C 9. A 10. B 二、填空题 11. 存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

12. 64

13. 5

14.

6 4

15. 6

三、解答题 16. 解: x ? 7 x ? 10 ? 0 ? 2 ? x ? 5 , x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? 1 ? a ? x ? 1 ? a ,??
2 2 2

4分

? p 是 q 的充分不必要条件,? { x | 2 ? x ? 5 } ? ? { x | 1 ? a ? x ? 1 ? a },??8 分
?1 ? a ? 2 ? a ? 4。 ?? ?1 ? a ? 5 2 17. 解: (1)? l1 ? l 2 ,? a(a ? 1) ? (?b) ? 1 ? 0 ,即 a ? a ? b ? 0 又点 (?3,?1) 在 l1 上,? ?3a ? b ? 4 ? 0 ② 由①②解得: a ? 2, b ? 2 。
分 (2)? l1 // l 2 且l 2的斜率为 1 ? a 。 ? l1 的斜率也存在,即 故 l1和l 2 的方程可分别表示为: ??12 分 ① ? ? 6

a a ? 1 ? a, b ? b 1? a

l1 : (a ? 1) x ? y ?

4(a ? 1) a ? 0,l 2 : (a ? 1) x ? y ? ?0 a 1? a

? 原点到 l1和l2 的距离相等。
2 a? a ?2 a ?1 2 3 ?4 | |?| a | 1 ? a ,解得: a ? 2或a ? 。因此 b??2 或 b ? 2 a 3 18. 解: l : y ? 1 ? ?2( x ? 2) ,即 2 x ? y ? 5 ? 0 。 AB 2 2 将 2x ? 5 ? y代入y ? 2 px得y ? py ? 5 p ? 0 , ? OA ? OB ,? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 5 5 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 5 ? 0 ? p ? ,? y 2 ? x 。 4 2

{

{

??12 分 ??4 分 ??6 分 ??8 分 ? ? 12

分 19. 解: (1)? AB ? AC,D为BC的中点

? AD ? BC,又直三棱柱中: BB1 ? 底面ABC,AD ? 底面ABC。 ? AD ? BB1 ? AD ? 平面BCC1 B1, ? B1 F ? 平面BCC1 B1, ? AD ? B1 F, 在矩形BCC1B1中:C1F ? CD ? 2,CF ? C1B1 ? 1 ,

? Rt? ? Rt?, ? ?CFD ? ?C1 B1 F, ? ?B1 DF ? 900,即B1 F ? FD, ? AD ? FD ? F, ? B1 F ? 平面AFD ??4 分 (2)? AD ? 平面BCC1 B1 ,
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??8 分

1 1 1 40 2 ?VD? AB1F ? V A? B1DF ? S ?B1DF AD ? ? B1 FFDAD ? 3 3 2 3
(3)当 AE=4 时,BE//平面 ADF

?四边形 AEFC 为矩 证明:连 EF,EC,设 EC ? AF ? M,连DM,AE ? CF ? 4,
形,

? M为EC的中点,又? D为BC的中点, ? MD // BE , ? MD ? 平面 ADF 且 BE ? 平面 ADF ? BE // 平面ADF ??12 分 (m ? Z ) 。由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径 20. 解: (1)设圆心为 M(m,0) | 4m ? 29 | ? 5,即 | 4m ? 29 |? 25。 因为 m 为整数,故 m=1。 为 5,所以 5 故所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25。 ??4 分 ( 2 ) 把 直 线 ax ? y ? 5 ? 0即y ? ax ? 5 代 入 圆 的 方 程 , 消 去 y 整 理 , 得

(a 2 ? 1) x 2 ? 2(5a ? 1) x ? 1 ? 0 。 由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A,B 两点,故 ? ? 4(5a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 。 5 5 2 即 12a ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ? 。所以实数 a 的取值范围是 ( ,?? ) 。 12 12
??8 分

1 (3)设符合条件的实数 a 存在,由于 a ? 0 ,则直线 l 的斜率为 ? , a 1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 。 a
由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M (1,0) 必在 l 上。所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解 a ? 由于

3 。 4

3 5 3 ? ( ,?? ) , 故存 在实数 a ? , 使得 过点 P (?2,4) 的直 线 l 垂 直平分 弦 4 12 4

AB。??13 分 21. 解(1)方法一:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐 标系,则点 A (?2,0) ,B ( 2,0) ,P ( 3,1) 。 设 双 曲 线 实 半 轴 长 为 a , 虚 半 轴 长 为 所以 a ? b , 半 焦 距 为 c , 则

2a ?| PA | ? | PB |? (2 ? 3 ) 2 ? 12 ? (2 ? 3 ) 2 ? 12 ? 2 2 , 2c ?| AB |? 4 。

2 ,c ? 2 ,从而 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 。 x2 y2 ? ?1 故双曲线 C 的方程是 2 2
点 A (?2,0) ,B ( 2,0) ,P ( 3,1) 。

??6 分

方法二:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 2 a b x2 y2 2 2 ? ? 1。 解得 a ? b ? 2 ,故双曲线 C 的方程是 2 2 (2)据题意可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入双曲线 C 的方程得,
设双曲线 C 的方程为
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2

2

{

( 3) 2 1 ? 2 ?1 a2 b a2 ? b2 ? 4

??6 分

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{

x 2 ? (kx ? 2) 2 ? 2 ,即 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 6 ? 0 。 因为直线 l 与双曲线 C 相交于不同两点 E、F,则 1 ? k 2 ? 0, k ? ?1 , 即 ? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k 2 ) ? 0, ? 3 ? k ? 3。 4k 6 ,x1 x 2 ? ? 设点 E ( x1 , y1 ) ,F ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 。 2 1? k 1? k

{

所以 | EF |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2

= 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 又原点 O 到直线 l 的距离 d ? 所以 S ?DEF ?

2 2 3? k2 。 |1? k 2 |

2 1? k 2

。 (11 分)

1 1 2 2 2 3? k2 2 2 3? k2 d ? | EF |? ? ? 1? k 2 ? ? 。 2 2 1? k 2 |1? k 2 | |1? k 2 |

因为 S ?OEF ? 2 2 ,则 解得 ? 2 ? k ?

2 2 3? k2 ? 2 2 ? k4 ? k2 ? 2 ? 0, 2 |1? k |
??14 分

2。

综上分析,直线 l 的斜率的取值范围是 [? 2,?1) ? (?1,1) ? (1, 2 ]

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