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复数2


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个 性 化 教 学 设 计 教 案
授课时间: 年级: 高三 课题名称 2012 年 2 月 4 日( 10:15 -11 :45 ) 学科:数学 课时:2 备课时间: 2012 年2 月 1日

>学生姓名: 范裕翔 授课教师: 黄利英

复数的运算 2 1.理解并掌握复数乘法的运算法则.

2.理解并掌握虚数单位 i 的运算律,in 是周期出现的.
教学目标

3.掌握 1 的立方虚根 ω 的运算性质:ω2=? ,ω3=1,ω2+ω+1=0. 4.理解并掌握复数的模与共轭的关系:|z|2=z· z =| z |2.

教学重点 教学难点

复数的代数形式、乘法运算法则、in 的周期性变化、1 的立方虚根 ω 的性质是 本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分,是知识之间衔接的桥梁.
复数的代数形式的乘法运算法则的规定、in 的周期性规律、ω 的性质是教学的难点. 复习

§ 4.2.3 复数的乘法 一、法则的规定 1.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

2.乘法所满足的交换律、结合律、分配律 z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3).

教学过程

3.复数的乘方规定 zm· zn=zm+n,(zm)n=zmn (z1z2)m=z1mz2m.

4.|z1z2|=|z1||z2|, z1 z2 = z1 z2 . 交换律、结合律、分配律的证明 z1z2=z2z1, (z1z2)z3=z1(z2z3).

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Ⅰ .课题导入 我们已经学习了复数的代数形式的加法(板书)的运算法则和有关的运算律. 当时, 同学们都说可以把加法运算看作是关于 i 的多项式的加法合并同类项.这节课 我们将学习复数的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将 “加”修改为“乘”,这样既使学生积极回顾了以前所学的内容,同时又使学生对改换 后而提出的新问题积极思考,产生强烈的求知欲望,调动学生的积极性,为积极主 动建构新知识而作好准备). Ⅱ .讲授新课 ( 一)知识建构 [师]初中学习了多项式乘以多项式,你们能把(a+b 2 )(c+d 2 )化简吗(a、b、c、 d 是有理数)?积还是无理数吗? [生]按多项式乘法运算法则展开即 可.(a+b 2 )(c+d 2 )=ac+ad 2 +bc 2 +bd· 2 · 2 =(ac+2bd)+(ad+bc) ∵ a、b、c、d∈ Q,∴ ac,2bd,ad,bc 都是有理数. ∴ ac+2bd∈ Q,ad+bc∈ Q.而 2 是无理数, ∴ (a+b 2 )(c+d 2 )是无理数. [师]若将“ 2 ”换为“i”,其中 i 是虚数单位,能化简吗?(a、b、c、d 都是实数)

2.

[生]可以.∵ (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(∵ i2=-1,∴ 才能合并) ∵ a、b、c、d∈ R, ∴ ac-bd∈ R,ad+bc∈ R. ∴ (ac-bd)+(ad+bc)i 是复数. [师]这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是有:规定复数的乘法按照 以下的法则进行:设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈ R)是任意两个复数,那么它们的 积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换成-1,并 且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. [师]实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗? [生]实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法 运算也是成立的,即 z1、z2、z3∈ C 有(1)z1· z2=z2· z1, (2)(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3), (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
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[师]完全正确,你们能证明吗?请三位同学到黑板上写,其余同学在下面写.设 z1=a1+b1 i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a2、a3、b1、b2、b3∈ R). [生甲]∵ z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i, 又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1, ∴ z1z2=z2z1. [生乙]∵ (z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证 z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴ (z1z2)z3=z1(z2z3). [生丙]∵ z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i, z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i, ∴ z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. (学生板演时,教师在教室内巡回指导,与学生共同研究) [师]同学们,这三位同学证明的是否正确? [生](众生齐声回答)正确! [师]若复数 z=a+bi(a、b∈ R),求 z z .
z =a-bi,∴ [生] z z =(a+bi)(a-bi)=a2-b· (-b)+ [a(-b)+b· a] i=a2+b2+0· i=a2+b2.∴ z z =a2+b2. z =a2+b2,你们能想到什么? [师]由 z·

[生 a]a2+b2 是 z 的模的平方,可以得到 z · z=|z|2. [生 b]|z|2=z2. [生 c]不对.z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,而|z|2=a2+b2,∴ |z|2≠z2.
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[生 d]z 的模是 a 2 ? b2 ,∴ z z =a2+b2,也是 z 的模的平方, 即 z· z =|z|2=|z|2. [生 e]对于实数 a、b,a2+b2 在实数范围内不能因式分解,但在复数范围内可以有 a2+b2=(a+bi)(a-bi),其中 i 是虚数单位. [生 f]两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.

[师]同学们联想的这些内容都是对的. 一般地,两个互为共轭复数 z、 z 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模 的平方,即 z· z |z|2=| z |2.

通常也可以写成|z|=| z |= zz .这个公式很重要,在复数的计算、证明时经常 用到,所以我们要熟练地掌握. 对于上述命题的逆命题是否成立呢?
z. [生 g]成立.因为 a2+b2=(a+bi)(a-bi)=z·

[生 h]不成立.也就是两个复数的积是一个非负数,则它们是共轭复数.这是个错 误命题.例如,z1=i,z2=-2i,z1z2=i· (-2i)=-2i2=-2× (-1)=2>0.但 z1 和 z2 不是共轭复数. [师]由于复数乘法运算满足交换律与结合律,那么,实数集中正整数指数幂的运 算律是否可以推广到复数集中去呢? [生 i]实数集中,有 am· an=a m+n;(am)n=amn;(a· b)m=am· bm.在复数集 C 中,对任何 z、 z1、z2∈ C,都有 zm· zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1· z2)m=z1m· z2m. [生 j]上述推广中幂指数 m、n 必须满足 m、n∈ N*. [师]这三条的证明思想是什么? [生 k]根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证. [生 i]也可以使用数学归纳法进行证明. [师]这些思路都是有用的,请同学们课后研究其具体策略. 我们知道 i1=i,i2=-1,请问 i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12 分别为什么? [生 m]分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1. [师]从这些数中你能总结出什么规律? [生 n]数列{in}是周期数列,最小周期是 4,即如果 n∈ N*,我们有 i4n=1,i4n+1=i,i =-1,i4n+3=-i. [师]如果 n 是整数 0 时,是否成立? (片刻,学生开始讨论) [生 o]成立.因为 i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=[师]如果 n 是负整数时,上述结论还成立吗?
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[生 P]不成立.因为 i-1 没有定义,所以无法推广. [生 Q]成立.取 n=-m(m∈ N),则 i4n=i-4m=
1 i
4m

=

i4n+1=i-4m+1=
4n+2 -4m

1 1 i

i

4m

=

i 1

i

=i

i2 ?1 = 4m = =1 i i3 ? i = =i 4m 1

i4n+3=i-4m+3=

所以 n 是负整数时,关于 in 的结论也成立. [师]由上面讨论,知对一切 n∈ Z,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i 都成立 [师]前面我们证明过: z1 ? z2 = z1 + z2 ,由这个等式你能类比到乘法上去吗?为 什么? [生 r]可以类比,对于乘法有

z1 z2 = z1 · z2 .
事实上,设 z1=a1+b1i,z2 =a2+b2i(a1、a2、b1、b2∈ R), z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i. ∴z1 z2 = (a1a2 ? b1b2 ) ? (a1b2 ? b1a2 )i =(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i. 又∵z1 z2 =(a1-b1i)(a2-b2i) =[a1a2-(-b1)· (-b2)]+[a1· (-b2)+(-b1)a2]i =(a1a2-b1b2)+(-a1b2-b1a2)i =(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i, ∴z1 z2 = z1 · z2 . [师]这个公式能否推广呢? [生 s]可以.z1,z2,…,zn∈ C,则 z1 ? z2 ? ...? zn = z1 · z2 ·…·zn. [师]z1、z2∈ R,|z1z2|与|z1|· |z2|有何关系?为什么? (讨论一会儿,开始写写画画)
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[生 t]|z1z2|=|z1|· |z2|.设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2∈ R), ∴ z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i. ∴ |z1z2|= (a1a2 ? b1b2 ) 2 ? (a1b2 ? b1a2 ) 2 = a1 a2 ? b1 b2 ? a1 b2 ? a2 b1 . 又|z1|· |z2|= a1 ? b1 = (a1 ? b1 )( a2 ? b2 ) = a1 a2 ? b1 b2 ? a1 b2 ? a2 b1 , ∴ |z1z2|=|z1|· |z2|.本结论也可以推广到一般形式:z1,z2,z3,…,zn∈ C,则| z1· z2·…·zn|=|z1|· |z2|·…·|zn|. 特殊情况:z1=z2=…=zn=z 时,|zn|=|z|n,即 z 的乘方的模等于模的乘方. (二)课本例题 [例 2](课本 P206)计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). [生]解:原式=[(3+8)+(4-6)i](-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22+2)+(11+4)i=-20+15i.
1 3 [例 3]设 ω=- + i,求证: 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2 ? b2

2

2

(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1. (这题的教法是找两位同学到黑板上板演 [生 u](1)证明:1+ω+ω2 =1+(1 1 3 3 2 + i)+(+ i) 2 2 2 2

1 1 1 3 3 3 2 = + i+(- )-2× × i+( i) 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 = + i+ i- =0. 2 2 4 2 4 1 3 3 [生 v](2)证明:ω3=(- + i) 2 2

=(-

1 3 1 1 3 3 2 3 3 ) +3· (- )2· i+3· (- )· ( i) +( i) 2 2 2 2 2 2

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1 3 3 9 3 3 =? ? i? ? i 8 8 8 8 1 9 3 3 3 3 =( ? )?( ? )i ? 1 . 8 8 8 8

[生 x]对于第(2)小题,也可以这样做,要证 ω3=1,只要证 ω3-1=0 即可. 由 ω3-1=(ω-1)(ω2+ω+1)=(ω-1)· 0=0,利用第(1)题的结论.

[师](1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立 (2)复数的混合运算顺序也是先乘方、再乘除、最后加减,有括号要先算括号里 面的

(三)精选例题 [例 1]计算:(1)i+2i2+3i3+…+1997i1997 (2)
3 ? 4i 1 ? i 1997 ?( ) . 4 ? 3i 1 ? i

(1)解法一:原式 =(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-2i)+1997i=998+999i. 解法二:设 S=i+2i2+3i3+…+1997i1997 则 iS=i2+2i3+3i4+…+1996i1997+1997i1998. 两式相减,得(1-i)S=i+i2+…+i1997-1997i1998=i1998-1997· i2=1997+i. ∴ S=
1997 ? i (1997 ? i )(1 ? i ) ? =998+999i. 1? i 2

i1998 ? i i2 ? i -1997i1998= i ?1 i ?1

(2)解:原式=

? i(4 ? 3i) (1 ? i) 2 1997 ?[ ] 4 ? 3i (1 ? i)(1 ? i)

=-i+(-i)1997=-2i.

解题回顾:要注意复数 a+bi(a、b∈ R)与 b-ai 之间的联系:b-ai=-i(a+bi),题(2)中 的第一个公式就利用了这种关系,简化了运算. [例 2]已知 f(z)=z4+4z3+8z2+8z+5,求 f(-1+2i)的值. 分析: 当 z=-1+2i 时, (z+1)2=(2i)2=-4, 即 z2+2z+5=0,因而可考虑充分利用此式将 f(z)
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的次数降低,使计算简便. 解:∵ z=-1+2i,∴ (z+1)2=-4. ∴ z2+2z+5=0. 又 f(z)=(z2+2z-1)(z2+2z+5)+10,(*) ∴ f(-1+2i)=10. 解题回顾:本例充分利用了 z2+2z+5=0 的条件,(*)式的得来是 f(z)除以 z2+2z+5 的 结果,此题若将 z=-1+2i 直接代入计算,将会十分繁杂.

Ⅲ .课堂练习 补充练习 1.(2003 年上海高考题)已知复数 z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,求|z1· z2|的最大值和最小值. 解:|z1· z2|=|1+sinθcosθ+(cosθ= (1 ? sin ? cos ? ) 2 ?(cos ? ? sin ? ) 2 = 2 ? sin 2 ? cos2 ?

1 = 2 ? sin 2 2? . 4
故|z1· z2|的最大值为
3 ,最小值为 2 . 2

2.若 x+

1 =-1,求 1+x+x2+…+x2006 的值. x

1 解法一:由 x+ =-1 可知 x2+x+1=0.① x

∴ x=ω 或 x=ω2.∴ x3=1. 由① 知,连续 x 的三个方幂之和为 0,而原式共 2007 项,能被 3 整除,∴ 原式=0. 解法二:可认为是 2007 项等比数列的和, 1+x+x2+…+x 2007= ∴ 原式=0.
1 ? x 2007 ,而 x2007 1? x

Ⅳ .课时小结 1.在进行复数的运算时,掌握 in 和 1 的立方虚根 ω 的运算性质,有助于简化运算程
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序,提高运算速度. 当 n∈ Z 时, i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
1 3 设复数 ? ? ? ? i 2 2

则 ω2=ω,ω3=1,1+ω+ω2 2.复数的乘法法则是 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,不必去记公式. 3.共轭复数的运算性质: z1 ? z2 = z1 ±z2 ;( z1 ? z2 )= z1 · z2 ; ( 4.复数模的性质 |z1· z2|=|z1|· |z2|;|zn|=|z|n;|

z1 z ) = 1 (z2≠0). z2 z2

z z1 |= 1 . z2 z2

5.学习复数以后, a2+b2(a、 b∈ R)可在复数范围内因式分解, 具体地 a2+b2=(a+bi)(a-bi). 其实这是共轭复数相乘的性质,z· z =|z|2 的逆变形.

§ 4.2.4 复数的除法 一、法则
a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i. c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2 a ? bi (a ? bi )( c ? di ) ? 2. c ? di c2 ? d 2

1.

3. (

z1 z ) ? 1 ,证明过程. z2 z2

4.

z z1 ? 1 ,证明过程. z2 z2

课后记

学员学习情况:
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课后小评:

教师建议: 提交时间 学管师审批 教研主任审批

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