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立体几何垂直证明


立体几何垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点: ①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化:线线垂直 基础篇


线面垂直

面面垂直;

类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)
(1) 共面垂直:实际上是平面内的两条直线的垂直 (只需要同学们掌握以下几种模型) 1 ○ 等腰(等边)三角形中的中线 3 勾股定理中的三角形 ○

2 菱形(正方形)的对角线互相垂直 ○ 4 ○

1:1:2 的直角梯形中 ○ 5 利用相似或全等证明直角。

例:在正方体 ABCD ? A ? OE 1B 1C1D 1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 ,求证: AO 1

(2) 异面垂直 (利用线面垂直来证明,高考中的意图) 例 1 在正四面体 ABCD 中,求证 AC ? BD
变 式 1 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D是 矩 形 , 已 知

AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .
证明: AD ? PB ; 变式 2 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC= ∠PBC=90 ?证明:AB⊥PC

类型二:线面垂直证明 方法○ 1 利用线面垂直的判断定理
例 2:在正方体 ABCD ? A ? 平面BDE 1B 1C1D 1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 ,求证: AO 1

变式 1:在正方体 ABCD ? A ? 平面BDC1 1B 1C1D 1 中,,求证: AC 1 变式 2:如图:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2,∠ACB=90?.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= 3 . 求证:CD⊥平面 A1ABB1;

变 式 3 : 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
求证: AO ? 平面 BCD;

A

D O B 变式 4 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, E C

AD ∥ BC , ?ABC ? 90° , PA ? 平面 ABCD . PA ? 3 , AD ? 2 , AB ? 2 3 , BC ? 6

?1? 求证: BD ? 平面 PAC
2 ○ 利用面面垂直的性质定理

P

PA ? 底面ABC , 面PAC ? 面PBC , 例 3: 在三棱锥 P-ABC 中, 求证:BC ? 面PAC
方法点拨:此种情形,条件中含有面面垂直。

A
E

D

B

C

变式 1, 在四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAB 是等腰三角形, 且 面PAB ? 底面ABCD , 求证: BC ? 面PAB 类型 3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直) 例 1 如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, B E

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; C D A

F

例2

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,

PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.
(1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;

P E A

D
B

C

变式 1 已知直四棱柱 ABCD — A ′ B ′ C ′ D ′的底面是菱形, ?ABC ? 60? ,E、F 分别是棱 CC′与 BB′上的点,且 EC=BC=2FB=2. (1)求证:平面 AEF⊥平面 AA′C′C; 举一反三 1.设 M 表示平面,a、b 表示直线,给出下列四个命题: ①

a // b ? ??b ? M a ? M?



a ? M? ? ? a // b b?M?



a ? M? ? ? b∥M a?b ?



a // M ? ? ? b⊥M. a?b ?
其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把△ADE、 △CDF 和△BEF 折起,使 A、B、C 三点重合,重合后的点记为 P.那么,在四面体 P—DEF 中,必有 ( ) A.DP⊥平面 PEF B.DM⊥平面 PEF C.PM⊥平面 DEF D.PF⊥平面 DEF 4.设 a、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( ) A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 第 3 题图 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 5.如果直线 l,m 与平面α ,β ,γ 满足:l=β ∩γ ,l∥α ,m ? α 和 m⊥γ ,那么必有 ( ) A.α ⊥γ 且 l⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ 6.AB 是圆的直径,C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在平面,若 BC=1,AC=2,PC=1,则 P 到 AB 的距离为 ( ) A.1 B.2 C.

2 5 5

D.

3 5 5

7.有三个命题: ①垂直于同一个平面的两条直线平行; ②过平面α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与α 垂直; ③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线 a、b 的公垂线,平面α 、β 满足 a⊥α ,b⊥β ,则下面正确的结论是 ( ) A.α 与β 必相交且交线 m∥d 或 m 与 d 重合 B.α 与β 必相交且交线 m∥d 但 m 与 d 不重合 C.α 与β 必相交且交线 m 与 d 一定不平行 D.α 与β 不一定相交 9.设 l、m 为直线,α 为平面,且 l⊥α ,给出下列命题 ① 若 m⊥α ,则 m∥l;②若 m⊥l,则 m∥α ;③若 m∥α ,则 m⊥l;④若 m∥l,则 m⊥α , 其中真命题 的序号是 ( ) ... A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线 l⊥平面α ,直线 m 平面β ,给出下列四个命题: ①若α ∥β ,则 l⊥m;②若α ⊥β ,则 l∥m;③若 l∥m,则α ⊥β ;④若 l⊥m,则α ∥β . 其中正确的命题是 ( ) A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与② 二、能力提高 14.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,AH⊥侧面 VBC,且 H 是△VBC 的垂心,BE 是 VC 边上的高. (1)求证:VC⊥AB; (2)若二面角 E—AB—C 的大小为 30°,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小.

15.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)求证:MN⊥CD. (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

第 14 题图

第 15 题图 16.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BAD=60°,AB=4,AD =2,侧棱 PB= 15 ,PD= 3 . (1)求证:BD⊥平面 PAD. (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60°的角,试求二面角 P—BC—A 的大小.

第 16 题图 17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6 ,M 是 CC1 的中点, 求证:AB1⊥A1M. 18.如图所示,正方体 ABCD—A′B′C′D′的棱长为 a,M 是 AD 的中点,N 是 BD′上一点, 且 D′N∶NB=1∶2,MC 与 BD 交于 P. (1)求证:NP⊥平面 ABCD. (2)求平面 PNC 与平面 CC′D′D 所成的角. (3)求点 C 到平面 D′MB 的距离.

第 18 题图 第 4 课 线面垂直习题解答 1.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后 DP⊥PE,DP⊥PF,PE⊥PF. 4.D 过 a 上任一点作直线 b′∥b,则 a,b′确定的平面与直线 b 平行. 5.A ?依题意,m⊥γ 且 m ? α ,则必有α ⊥γ ,又因为 l=β ∩γ 则有 l ? γ ,而 m⊥γ 则 l⊥m,故选 A. 6.D ?过 P 作 PD⊥AB 于 D,连 CD,则 CD⊥AB,AB= AC 2 ? BC 2 ? 5 , CD ?

AC ? BC 2 ? , AB 5

∴PD= PC 2 ? CD 2 ? 1 ? 7.D 8.A 9.D 10.B 11.

4 3 5 ? . 5 5

由定理及性质知三个命题均正确. 显然α 与β 不平行. 垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直. ∵α ∥β ,l⊥α ,∴l⊥m

3 cm2 设正三角 A′B′C′的边长为 a. 2 2 ∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4, 又 AC2+BC2=AB2,∴a2=2.

3 2 3 ?a ? cm2. 4 2 12.在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 AC⊥BD(或任何能推导出这个条件 的其它条件,例如 ABCD 是正方形,菱形等)时,有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不
S△A′B′C′=

必考虑所有可能的情形). 点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,此题实质考查了三垂线定 理但答案不惟一,要求思维应灵活. 13.VC⊥VA,VC⊥AB. 由 VC⊥VA,VC⊥AB 知 VC⊥平面 VAB. 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC⊥BE,又 AH⊥平面 VBC, ∴BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,∴AB⊥VC. (2)解:由(1)知 VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥平面 ABE,在平面 ABE 上,作 ED⊥AB,又 AB⊥VC, ∴AB⊥面 DEC. ∴AB⊥CD,∴∠EDC 为二面角 E—AB—C 的平面角, ∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面 VCD, ∴VC 在底面 ABC 上的射影为 CD. ∴∠VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面 ABE,∴VC⊥DE, ∴∠CED=90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面 ABC 所成角为 60°. 15.证明:(1)如图所示,取 PD 的中点 E,连结 AE,EN, 则有 EN∥CD∥AB∥AM,EN=

1 1 CD= AB=AM,故 AMNE 为平行四边形. 2 2

∴MN∥AE. ∵AE 平面 PAD,MN 平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB. 又 AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN. 又 CD∥AB,∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD. 又∠PDA=45°,E 为 PD 的中点. ∴AE⊥PD,即 MN⊥PD.又 MN⊥CD, ∴MN⊥平面 PCD. 16.如图(1)证:由已知 AB=4,AD=2,∠BAD=60°, 故 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=4+16-2×2×4× 又 AB2=AD2+BD2, ∴△ABD 是直角三角形,∠ADB=90°, 即 AD⊥BD.在△PDB 中,PD= 3 ,PB= 15 ,BD= 12 , ∴PB2=PD2+BD2,故得 PD⊥BD.又 PD∩AD=D, ∴BD⊥平面 PAD. (2)由 BD⊥平面 PAD,BD 平面 ABCD. ∴平面 PAD⊥平面 ABCD.作 PE⊥AD 于 E, 又 PE 平面 PAD,

第 15 题图解

1 =12. 2

第 16 题图解

∴PE⊥平面 ABCD,∴∠PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角. ∴∠PDE=60°,∴PE=PDsin60°= 3 ? 作 EF⊥BC 于 F,连 PF,则 PF⊥BF, ∴∠PFE 是二面角 P—BC—A 的平面角. 又 EF=BD= 12 ,在 Rt△PEF 中,

3 3 ? . 2 2

3 PE 3 tan∠PFE= . ? 2 ? EF 2 3 4
故二面角 P—BC—A 的大小为 arctan

3 . 4

17.连结 AC1,∵

AC ? MC 1

3 6 2

? 2?

CC1 . C1 A1

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1, ∴∠AC1C=∠MA1C1, ∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°. ∴A1M⊥AC1,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴CC1⊥B1C1,又 B1C1⊥A1C1,∴B1C1⊥平面 AC1M. 由三垂线定理知 AB1⊥A1M. 点评:要证 AB1⊥A1M,因 B1C1⊥平面 AC1,由三垂线定理可转化成证 AC1⊥A1M,而 AC1⊥A1M 一定会成立. 18.(1)证明:在正方形 ABCD 中, ∵△MPD∽△CPB,且 MD=

1 BC, 2

∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2. 又已知 D′N∶NB=1∶2, 由平行截割定理的逆定理得 NP∥DD′,又 DD′⊥平面 ABCD, ∴NP⊥平面 ABCD. (2)∵NP∥DD′∥CC′, ∴NP、CC′在同一平面内,CC′为平面 NPC 与平面 CC′D′D 所成二面角的棱. 又由 CC′⊥平面 ABCD,得 CC′⊥CD,CC′⊥CM, ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在 Rt△MCD 中可知 ∠MCD=arctan

1 ,即为所求二面角的大小. 2
a2 6 2 a ,设所求距离为 ,等腰△MBD′面积 S2= 2 4

(3)由已知棱长为 a 可得,等腰△MBC 面积 S1= h,即为三棱锥 C—D′MB 的高. ∵三棱锥 D′—BCM 体积为 S1 ? DD? ?

1 3

1 S2h , 3

∴h?

S1 ? a 6 ? a. S2 3

空间中的计算
基础技能篇 类型一:点到面的距离 方法 1:直接法—把点在面上的射影查出来,然后在直角三角形中计算 例 1:在正四面体 ABCD 中,边长为 a,求点 A 到面 BCD 的距离。

变式 1 在正四棱锥 V-ABCD 中, 底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 V 到底面 ABCD 的距离。

变式 2 在正四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 A 到底面 VCD 的距离。

方法 2: 等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理, 通过转换不同的底和高 来达到目的。 例2 已知在三棱锥 V—ABC 中,VA,VB,VC 两两垂直,VA=VB=3,VC=4,求点 V 到 面 ABC 的距离。

变式 1 : 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .
(1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

变式 2 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 面

ABCD , OA ? 2 ,.求点 B 到平面 OCD 的距离.

O _

A _
变式 3 在正四面体 ABCD 中,边长为 a,求它的内切求的半径。 _ B 类型二:其它种类的距离的计算(点到线,点到点 )
?ABC ? 例 3 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 是四边长为 1 的菱形,
OA ? 2 ,M 为 OC 的中点,求 AM 和点 A 到直线 OC 的距离.

D _ C _

?
4

, OA ? 面 ABCD ,

O _

A _ B _ C _

D _

举一反三
1.正三棱锥 P-ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离是 A. 4 5 B. 6 5 C.6 D. 4 6
?

A点 2.如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面边长为 1,高为 8,一质点自
出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的最短路线的长为 .. A.10 二、填空题: 3.太阳光照射高为 3 m 的竹竿时,它在水平地面上的射影 为 1m,同时,照射地面上一圆球时,如图所示,其影子 的长度 AB 等于 3 3 cm,则该球的体积为_________. 4.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___ . B.20 C.30 D.40

2 主视图
2 3

左视图

俯视图

三、解答题: 5.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1,M 是底面 BC 边上的中点,N 是侧棱 CC1 上的 点,且 CN=2C1N.求点 B1 到平面 AMN 的距离. 6.一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点). (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A—CDEF 的体积.

7. 一个多面体的直观图和三视图如图所 示, 其中 M、 N 分别是 AB、 AC 的中点, G 是 DF 上的一动点. (1)求证: GN ? AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP//平面 FMC,并给出证明.
主视图 a 左视图
F E

G

D

C N

a a

俯视图
A M

B

8.如图,已知正四棱锥 S ? ABCD ,设 E 为 AB 的中点, F 为 SC 的中点, M 为 CD 边上的点. S (1)求证: EF // 平面 SAD ; (2)试确定点 M 的位置,使得平面 EFM ? 底面 ABCD . F D O A E B 9 一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示, M 、 N 分别为 A1 B 、 B1C1 的中点. A
1

C

C B M
1

a a
主视图

a a

a a
2a
俯视图

N1 A C A

A A

A B A 左视图

(1) 求证: MN // 平面 ACC1 A1 ; (2) 求证: MN ? 平面 A1 BC . (3)求点 A 到面 ANM 的距离 10 正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2 中点,EF∩BD=G. (Ⅰ)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (Ⅱ)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d; (Ⅲ)求三棱锥 B1—EFD1 的体积 V.

2 ,侧棱长为 4. E,F 分别为棱 AB,BC 的

11. 在三棱锥 S — ABC 中,∠ SAB= ∠ SAC= ∠ ACB=90 °,且 SB=5

AC=BC=5 ,

5 .(如图 9—21)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC.

图 9—21


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