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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系


第三节

空间点、直线、平面之间的位置关系

基础盘查一

平面的基本性质

(一)循纲忆知
1.了解可以作为推理依据的公理和定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关 系的简单命题.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 (× )

(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记 作 α ∩ β= A
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面

(× )
(√ )

(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合

(× )

2.(人教A版教材习题改编)设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表

③④ . 示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是________
①P∈a,P∈α?a?α;②a∩b=P,b?β?a?β;③a∥b,a? α,P∈b,P∈α?b?α;④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b

基础盘查二

空间直线的位置关系

(一)循纲忆知
理解空间直线位置关系的定义(平行、相交、异面).

(二)小题查验
1.判断正误
(1)已知a,b,c,d是四条直线,若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥d ( √ )

(2)两条直线a,b没有公共点,那么a与b是异面直线

( × )

(3)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a?α,b?β,则 a,b是异面直线 ( × )

2.(人教A版教材习题改编)给出命题
①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相 平行.
②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.

③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.

2 . 其中不正确的命题的个数为____
3. 在正方体 ABCDA′B′C′D′中直线 BA′与 CC′所成角大

45° 小为____ .

基础盘查三

直线与平面、平面与平面之间的位置关系

(一)循纲忆知
1.理解直线与平面位置关系的定义(直线在平面内、相交、平 行);

2.理解平面与平面位置关系的定义(相交、平行).

(二)小题查验
1.判断正误
(1)若直线a不平行平面α且a?α,则α内存在唯一的直线与a平 行
(2)三个平面两两相交,那么它们有三条交线

( × )
(× )

(3)已知两相交直线a,b,a∥平面α,则b∥α

(× )

(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直 线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内 (√ )

2.若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α,则直线 b 与平面 α 的位

b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α . 置关系是__________________________
3.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列 命题:

①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,则α∥β;

②若l?α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;

③若α∥β,l∥α,则l∥β;
④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.
其中真命题________( ②④ 写出所有真命题的序号).

考点一

平面的基本性质及应用 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
四个公理
公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线

在此平面内.
作用: 可用来证明点、直线在平面内.
公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
作用: ①可用来确定一个平面;②证明点线共面.

公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且

只有一条过该点的公共直线.
作用: ①可用来确定两个平面的交线;②判断或证明多点共

线;③判断或证明多线共点.

公理 4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

作用: 判断空间两条直线平行的依据.

[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面.当三点共线时,可确定无数个 平面.

(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”, “有且只有”有时也说成“确定”.

[题组练透]
1.在下列命题中,不是公理的是 A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所 有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有 一条过该点的公共直线 ( )

解析:选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来 的,而公理是不需要证明的.

2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1 的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点.

证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F 分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B ∥CD1,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共 面.

(2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE? 平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.∴CE,D1F,DA三线共点.

[类题通法]

1.点线共面问题的证明方法:
(1)纳入平面法: 先确定一个平面,再证有关点、线在此平

面内;

(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面 α,再证其余点、线
确定平面 β,最后证明平面 α,β 重合.
2.证明多线共点问题,常用的方法是: 先证其中两条直线交

于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三 条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理 3 证明.

考点二

空间两直线的位置关系 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
? 共面直线:平行或相交 (1)位置关系的分类: ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)定理:

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相 等或互补.

[提醒]
(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何 一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交;
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异 面直线.

[典题例析]
1.(2014· 广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满 足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 ( A.l1⊥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 B.l1∥l4 D.l1与l4的位置关系不确定 )

解析:构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1, 取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1 时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A, B,C,选D.

2.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE, EF,EC的中点,在这个正四面体中,

①GH与EF平行;

②BD与MN为异面直线;

③GH与MN成60° 角;

④DE与MN垂直.

②③④ . 以上四个命题中,正确命题的序号是________
解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为 异面直线,GH与MN成60° 角,DE⊥MN.

[类题通法]

1.空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和 垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平 行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行 与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的 性质来解决.
2.解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利 用正(长)方体模型来解决问题.

[演练冲关]

已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F, G分别是边BC,CD的中点. (1)求证:BC与AD是异面直线; (2)求证:EG与FH相交.

证明:(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B, C,A,D∈α. 所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形 相矛盾.所以BC与AD是异面直线.

(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥ AC,因此EF∥HG;同理EH∥FG,则EFGH 为平行四边形. 又EG,FH是?EFGH的对角线, 所以EG与HF相交.

考点三

异面直线所成的角 (题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]

(1)定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作

直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面 直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
? π? (2)范围:?0, ?. 2? ?

[提醒]

? π? 异面直线所成的角的范围是 ?0,2?,所以垂直分两种 ? ?

情况——异面垂直和相交垂直.

[一题多变]
[典型母题]

如图在底面为正方形, 侧棱垂直于底面的四 棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2,则 异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 ( 1 A. 5 3 C. 5 2 B. 5 4 D. 5 )

[解析]

连接 BC1,易证 BC1∥AD1,则∠

A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 连 接 A1C1,由 AB=1,则 AA1=2,A1C1= 2, A1B=BC1= 5, 5+5-2 4 故 cos∠A1BC1= =5. 2× 5× 5
[答案] D

[题点发散 1]

如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱

ABCD -A1B1C1D1 中,AB 1,若平面 ABCD 内有且仅有一点 AA= 1=2AB=2,则异面直线 A1B 与 AD1

到顶点 A1 的距离为 A1B 与 AD1 所成角的余弦 所成角的余弦值为 ( 1,则异面直线 ) 1 值为( ) 2

解:由平面 ABCD 内仅有一点到 A1 的距离为 1,则 AA1=1. 此时正四棱柱变为正方体 ABCDA1B1C1D1, 由图知 A1B 与 AD1 所成角为∠A1BC1,连接 A1C1. 则△A1BC1 为等边三边形,∴∠A1BC1=60° , 1 ∴cos∠A1BC1=2, 1 故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为2.

[题点发散 2]

如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱

12 ,若异面直线 A1B 与 AD AA= AB=2,则异面直线 A1B 与 AD1 ABCD -A1B1C1D1 中,AB 1 所成角 1=

9 AA1 所成角的余弦值为 的余弦值为10,试求: AB 的值.

AA1 解:设 AB =t,则 AA1=tAB. ∵AB=1,∴AA1=t,由题意知∠A1BC1 为所求, 又 A1C1= 2,A1B= t2+1=BC1, t2+1+t2+1-2 9 ∴cos ∠A1BC1= = , 2 2 10 2× t +1× t +1 AA1 ∴t=3,即 AB =3.

[题点发散3]

在本例条件下,若点P在平面A1B1C1D1内且不在对

角线B1D1上,过点P在平面A1B1C1D1内作一直线m,使m与直
? π? 线BD成α角,且α∈?0,2?.这样的直线可作几条? ? ?

解:在平面A1B1C1D1内作m,使m与B1D1相交成α角.∵BD ∥B1D1,∴直线m与BD也成α角,即m为所求.且m与BD是 π π 异面直线,当α= 2 时,m只有一条,当α≠ 2 时,这样的直线 有两条

[类题通法]

用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
(2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;
求出作出的角, 如果求出的角是锐角或 (3)三求: 解三角形, 直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才 是要求的角.

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(四十四)”
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