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2010-2011学年第一学期期末高二数学(文科)试题及答案


肇庆市中小学教学质量评估 2010—2011 学年第一学期统一检测题 高二数学(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 a ? A ,则 b ? B ”的否命题是 A.若 b ? B ,则 a ? A C.若 b ? B ,则 a ? A B.若 a ?

A ,则 b ? B D.若 a ? A ,则 b ? B

2.对命题 p: A ? ? ? ? ,命题 q: A ? ? ? A ,下列说法正确的是 A.p 且 q 为真 B.p 或 q 为假 C.非 p 为真 D.非 q 为真

3.已知条件甲: ab ? 0 ;条件乙: a ? 0 ,且 b ? 0 ,则 A.甲是乙的充分但不必要条件 C.甲是乙的充要条件 4.利用斜二测画法得到的 ?三角形的直观图是三角形; ?正方形的直观图是正方形; 以上结论,正确的是 A.? ? B.? C.? ? D.? ? ? ? ?平行四边形的直观图是平行四边形; ?菱形的直观图是菱形 B.甲是乙的必要但不充分条件 D.甲是乙的既不充分又不必要条件

5.若直线 a 不平行于平面?,且 a ? ? ,则下列结论成立的是 A.?内的所有直线与 a 异面 C.?内的所有直线与 a 相交 6.已知两个平面垂直,下列命题 ?一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ?一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ?一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ?过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 B.?内存在唯一的直线与 a 平行 D.?内不存在与 a 平行的直线

7.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程是 A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 3x ? 4 y ? 5 ? 0

8.经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程为 A. y 2 ? ?8 x B. x 2 ? ?8 y C. y 2 ? x 或 x 2 ? ?8 y D. y 2 ? x 或 y 2 ? 8 x

9.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是 A.
3 5

B.

4 5

C.

5 3

D.

5 4

10 . 如 图 1 , ?ABC 为 正 三 角 形 , AA1//BB1//CC1 , CC1? 平 面 ABC , 且
3 AA1 ? 3 BB1 ? CC1 ? AB ,则多面体 ABC—A1B1C1 的正视图是 2
C1

B1 A1 C A B 图1

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知点 P(2,-4) ,Q(0,8) ,则线段 PQ 的垂直平分线方程为 12.若双曲线 ▲ .

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1 ,F2 ,A 是双曲线左支上的一点,且 9

| AF1 |? 5 ,那么 | AF2 |?



.
A D

13.用长为 4、宽为 2 的矩形作侧面围成一个圆柱, 则此圆柱轴截面面积为 ▲ .
B

14.如图 2,已知 ?ACB ? ?CDB ? 60? , AC=1, ?ABC 的面积 S 是 ▲ .

C 图2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 15. (本小题满分 12 分)

如图 3,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥 S—ABC,求三棱锥 S —ABC 的体积与剩下的几何体体积的比.
A S B

16. (本小题满分 12 分)

图3

C

已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动,求 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
A

17. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知 AB?平面 BCD,BC?CD. 请指出图中所有互相垂直的平面,并说明理由.
图4 B C D

18. (本小题满分 14 分) 已知直线 l1: x ? 2ay ? 1 ? 0 ,l2: (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 . (1)当 l1// l2 时,求 a 的值; (2)当 l1? l2 时,求 a 的值.

19. (本小题满分 14 分) 如图 5,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a, E 为 DD1 的中点. (1)求证:BD1//平面 EAC; (2)求点 D1 到平面 EAC 的距离.
A 图5 A1 E D B B1 C1

C

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的方程为 2 x 2 ? y 2 ? 2 ,过椭圆 E 的一个焦点的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)求椭圆 E 的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标; (2)求?ABO(O 为原点)的面积的最大值.

2010—2011 学年第一学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 C 9 C 10 D

二、填空题 11. x ? 6 y ? 11 ? 0 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c, 即 SA=a,SB=b,SC=c. 由长方体,得 SA,SB,SC 两两垂直,
1 1 1 1 所以 V A? SBC ? SA ? S ?SBC ? a ? bc ? abc , 3 3 2 6
B

12.11

13.

8 ?

14.

3 4

(1 分)

A

S

(5 分)
图3 C

于是 VS ? ABC ? V A? SBC

1 ? abc . 6

(8 分) (10 分) (12 分)

1 5 故剩下几何体的体积 V ? abc ? abc ? abc , 6 6

因此, VS ? ABC : V ? 1 : 5 .

16. (本小题满分 12 分) 解:设点 M 的坐标为(x,y) ,点 A 的坐标为(x0,y0). 由于点 B 的坐标是(4,3) ,且点 M 是线段 AB 的中点,所以
x? x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2

(1 分)

(5 分) ? (6 分)

于是有 x0 ? 2 x ? 4 , y 0 ? 2 y ? 3 .

因为点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,
2 即 ( x0 ? 1) 2 ? y 0 ? 4 .

?

(8 分)

把?代入?,得 (2 x ? 4 ? 1) 2 ? (2 y ? 3) 2 ? 4 ,
3 3 整理,得 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 . 2 2
3 3 所以,点 M 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 . 2 2

(10 分) (11 分) (12 分)

17. (本小题满分 14 分)
A

解:平面 ABC?平面 BCD. 因为 AB?平面 BCD,AB?平面 ABC, 所以平面 ABC?平面 BCD. 平面 ABD?平面 BCD. 因为 AB?平面 BCD,AB?平面 ABD, 所以平面 ABD?平面 BCD. 平面 ABC?平面 ACD.

(1 分) (3 分) (4 分) (5 分) (7 分) (8 分) (9 分) (11 分) (13 分) (14 分)
B 图4 C D

因为 AB?平面 BCD,CD?平面 BCD,所以 AB?CD; 又 BC?CD,且 AB?BC=B,所以 CD?平面 ABC. 又 CD?平面 ACD,所以平面 ABC?平面 ACD.

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 0 时, l1 的方程为 x ? 1,l2 的方程为 x ? ?1 ,显然 l1// l2; 当 a ? 0 时, 直线 l1 的斜率 k1 ? ? 由 k1 ? k 2 ,得 ?
1 3a ? 1 ,直线 l2 的斜率 k 2 ? , 2a a

(3 分)

(5 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

1 3a ? 1 1 ,解得 a ? ? . ? 2a a 2

1 当 a ? ? 时,l1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,l2 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,l1// l2. 2
1 综上,当 a ? 0 ,或 a ? ? 时,l1// l2. 2

(2)由(1)得,当 a ? 0 时,l1 不垂直于 l2;

当 a ? 0 时,由 k1 ? k 2 ? ?1 ,得 ? 故当 a ?
3 ? 17 时,l1? l2. 4

3 ? 17 1 3a ? 1 . ? ? ?1 ,解得 a ? 4 2a a

(13 分) (14 分)

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:如图 5,连接 BD 交 AC 于 F,连 EF. 因为 F 为正方形 ABCD 对角线的交点, 所长 F 为 AC、BD 的中点. 在?DD1B 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点, 所以 EF//D1B. 又 EF?平面 EAC,所以 BD1//平面 EAC. (2)解:设 D1 到平面 EAC 的距离为 d. 在?EAC 中,EF?AC,且 AC ? 2a , EF ? 所以 S ?EAC ?
1 6 2 EF ? AC ? a , 2 4

(1 分)
A1 E D F A B 图5 B1

C1

(3 分)

C

(5 分) (7 分)

3 a, 2

1 6 2 a d. 于是 VD1 ? EAC ? dS ?EAC ? 3 12

(9 分) (11 分) (13 分) (14 分)

因为 V A? ED1C ?

1 1 1 1 1 AD ? S ?ED1C ? a ? ? a ? a ? a 3 , 3 3 2 2 12
6 2 1 a d ? a3 , 12 12

又 VD1 ? EAC ? V A? ED1C ,即 解得 d ?

6 6 a ,故 D1 到平面 EAC 的距离为 a. 6 6

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)将椭圆 E 的方程化为标准方程: x 2 ? 于是 a ? 2 , b ? 1 , c ? a 2 ? b 2 ? 1 , 因此,椭圆 E 的长轴长为 2a ? 2 2 ,短轴长为 2b ? 2 ,离心率 e ?
c 2 ? ,两个焦点坐 a 2

y2 ? 1, 2

(1 分)

标分别是 F1 0, 、 2 0, , ( -1) F ( 1) 四个顶点的坐标分别是 A1 (0,? 2 ) ,A2 (0, 2 ) ,A3 (?1,0) 和 A4 (1,0) . (6 分)

(2)依题意,不妨设直线 l 过 F2(0,1)与椭圆 E 的交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 S ?ABO ?
1 1 | OF | ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 . 2 2

(8 分)

根据题意,直线 l 的方程可设为 y ? kx ? 1 , 将 y ? kx ? 1 代入 2 x 2 ? y 2 ? 2 ,得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 . 由韦达定理得: x1 ? x2 ? ? 所以 S ?ABO ?
2k 1 , , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

(10 分)
2 k 2 ?1 ? 1 k 2 ?1 ? 2 (当且仅当 2

1 2k 2 4 (? 2 ) ? 2 ? 2 k ?2 k ?2

2 ? k 2 ?1 ? k2 ? 2

k 2 ?1 ?

1 k 2 ?1

,即 k ? 0 时等号成立).
2 . 2

(13 分)

故?ABO 的面积的最大值为

(14 分)


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