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广东省汕头市金山中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版


高二文科数学期中考试
一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 50 分) 参考公式: V球 ?

4 3 ?R 3
) C. (-2,-3) D. (2,-3) ) D. 51 B. ( -2,3)

1. 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 的圆心坐标是( A. (2,3)

2. 若三个点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x=( 9 A. -1 B. 3 C 2

3. 圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25 与 圆 C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 的 位 置 关 系 是 ( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含

4. 如右图,正三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AB ? 2, AA 1 ? 角大小是( A、 30 ? ) B、 45 ? C、 60 ? D、 90 ?

2 ,则 BC1 与面 ABB1 A1 所成的
A1 B1 C1

5. 设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中, 不正确的是( )

A B

C

A.若直线 AB 与 CD 没有公共点,则 AB∥CD B.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 C.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC

6. 已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0
2



B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 0 )

7. 圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 3 绕直线 kx ? y ? 1 ? 0 旋转一周所得的几何体的体积为( A. 36? B. 12? C. 4 3? D. 4?

8. 已知点 A(2,3),B(-3,-2).若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的 取值范围是( A. k ? ) B.

3 4

3 ?k?2 4

C. k ? 2 或 k ?

3 4

D. k ? 2

9. 一个圆柱内接于一个底面半径为 2,高为 3 的圆锥,如下图是圆锥的轴截面图,则内接

1

圆柱侧面积最大值是( A、

) C、 5? D、 4?

3 ? 2

B、 3?

10. 在平面直角坐标系中,点 A, B 分别是 x 轴、 y 轴上两个动点,又有一定点 M (3,4) ,则

MA ? AB ? BM 的最小值是(
A、10 B、11 C、12

) D、13

第 11 题图 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 _ 时,

12、已知两直线 l1 : x ? (1 ? m) y ? 2 ? m , l 2 : 2mx ? 4 y ? ?16,当 m ? 有 l1 ∥ l 2 。 13. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
2 2 2 2 14. 设实数 x, y 满足 x ? y ? 2 y ? 0 ,则 x ? y 的最大值是_____

_________.

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2cos x+sin2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值。 6 16. (本小题共 12 分)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的圆心在点 C , 点 A(3,5) ,
2 2
2

求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2) O 点是坐标原点,连结 OA , OC ,求 ?AOC 的面积 S .

17. (本小题共 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,

2

AB∥DC,∠BCD=90 。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。

0

18. (本小题共 14 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90

AB ? AC ? AA1 ? 1 ,点 M,N 分别为 A1 B 和 B1C1 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A1 ACC1 ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MN 所成角的大小。 B1 M

A1 N

C1

A C B

2 2 19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : y ? kx ,l 与圆 C

交与 A、B 两点,点 M (0, b)且满足MA ? MB . (1)当 b ? 1 时,求 k 的值; (2)当 b ? (1, ) 时,求 k 的取值范围.

3 2

20. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 2,an ?1 ?

4an ? 2 ? n ? N *? , 设 3an ? 1

bn ?

3an ? 2 . an ? 1

(Ⅰ)试写出数列 ?bn ? 的前三项; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

(n ? 2) ? 2 n ?1 ? 1 (Ⅲ)设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? (n ? N * ) n ?1 2

3

高二文科数学期中考参考答案 一、选择题 DBCBA ACCBA 二、填空题 11、36 三、解答题 15. 解:(1)f(x)=2cos x+sin2x+a π =1+cos2x+sin2x+a= 2sin(2x+ )+1+a ――――4 分 4 2π 则 f(x)的最小正周期 T= =π . ―――――――――――――-6 分 ω π π π 7π (2)当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , ――――――――――8 分 6 4 4 12 π π 当 2x+ = , 4 2 π π 即 x= 时,sin(2x+ )=1.[ ――――――――――――――――10 分 8 4
2

12、1

13、 2 x ? y ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0

14、2

4

所以 f(x)max= 2+1+a=2? a=1- 2. ――――――――――12 分 16. 解: (1)由于圆 C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 (1 分)

当切线的斜率不存在时,对于直线 x ? 3, C (2,3) 到直线的距离为 1,满足条件(3 分) 当 k 存在时,设直线 y ? 5 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? 5 ? 3k



?k ?2 k 2 ?1

? 1 ,得 k ?

3 4 3 11 x? 4 4

(5 分)

∴所求切线方程为: x ? 3 或 y ? (2)? | AO |? 9 ? 25 ? 34

(6 分) (7 分) (8 分)

且直线 AO 的方程为 5x ? 3 y ? 0

? 点 C 到直线 AO 的距离为 d ? ? S ?OAC ?
1 1 AO ? d ? 2 2
0

1 34

(10 分)

(12 分)

17. (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。―――2 分 由∠BCD=90 ,得 CD⊥BC ―――――――3 分 又 PD DC=D,PD、DC ? 平面 PCD,―――5 分

所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC。―――7 分

(2)连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB∥DC,∠BCD=90 ,所以∠ABC=90 。 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1――9 分 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ?
0 0

1 1 S ?ABC ? PD ? 3 3

―――――――― 10 分

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC ? PD ? DC ? 2
2 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ?

2 ―――――――12 分 2

5

由 VA? PBC ? VP? ABC , S

1 3

PBC

?h ?V ?

1 ,得 h ? 2 , 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 ―――――――――――――-14 分

18. (1)证明:连结 AB1 、 AC1 ,由已知条件,四边形 A1 B1 BA 是正方形,点 M 也是 AB1 的中点,故有

MN ∥ AC1

――――――――――4 分

又? MN ? 面 A1 ACC1 , AC1 ? 面 A1 ACC1

? MN ∥平面 A1 ACC1 ―――――――――――――――8 分
(2)解:由(1)可知 MN ∥ AC1 ,故异面直线 AB 与 MN 所成角即 ?BAC 1 或其补 角 ―――――――――10 分

? AB ? AC ? AA1 ? 1 且 CC1 ? 面 ABC
? CC1 ? AC , CC1 ? BC
? AC1 ? AC 2 ? CC12 ? 2 , BC 1 ? BC 2 ? CC12 ? 3 ―――――12 分

? AB2 ? AC12 ? BC12
故 ?BAC 1 ? 90? ,即异面直线 AB 与 MN 所成角大小为 90 ? ――――――14 分 19. 解: (1)圆的方程可化为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ―――――――1 分 故圆心为 C (1,1) ,半径 r ? 1 ――――――――2 分 当 b ? 1 时,点 M (0,1) 在圆上―――――――――3 分 又 MA ? MB ,故直线 l 过圆心 C (1,1) ――5 分 将 C (1,1) 代入直线 l 方程,得 k ? 1 ……6 分 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由 MA ? MB 得

x1 x2 ? ( y1 ? b)( y2 ? b) ? 0
∴ (1 ? k ) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b ? 0
2 2

即 x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 ① …………………8 分

6

联立得方程组 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0

,化简,整理得

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2 ? 2k ) x ? 1 ? 0 ………….(*)
由判别式 ? ? 0 得 k ? 0 且有 x1 ? x 2 ? 代入 ①式整理得 1 ?

2 ? 2k 1 , x1 x 2 ? ………………10 分 2 1? k 1? k 2

2k (1 ? k ) 3 1 2k ? 2k 2 2 b ? b ? 0 b ? ? , 从而 ,又 b ? (1, ) 2 2 2 1? k b 1? k

∴2 ?

2k ? 2k 2 13 ? ,可解得 k 的取值范围是 (1,6 ? 23) ? (6 ? 23,??) ……14 分 6 1? k 2
6 14 4an ? 2 ? n ? N *? ,得 a2 = , a3 = . 5 13 3an ? 1
…………………………3 分

20. (Ⅰ)由 a1 ? 2,an ?1 ?

由 bn ?

3an ? 2 ,可得 b1 ? 4 , b2 ? 8 , b3 ? 16 . an ? 1

(Ⅱ)证明:因 an ?1 ?

4an ? 2 ,故 3an ? 1

bn?1 ?

3an?1 ? 2 12an ? 6 ? 6an ? 2 3a ? 2 ? ? 2? n ? 2bn . …………………6 分 an?1 ? 1 4an ? 2 ? 3an ? 1 an ? 1
2 3a ? 2 ,因此数列 ?bn ? 是以 1 ? 4 为首项,以 2 为公比的等比数列-7 分由 3 a1 ? 1

显然 an ?

bn ?

3an ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 an ? 1

解得 an ?

2n ?1 ? 2 . 2n ?1 ? 3
1 2
n ?1

…………………………8 分

(Ⅲ)因为 an ? 1 ?
n

?3

? 1?

4 1 ? 1 ? n ?1 (当且仅当 n ? 1 时取等号)―――12 分 n ?1 2 2
n ?1

1 ? 1 ? 2? n ? n ? 2 ? ? 2 ? 故 Sn ? ? ?1 ? k ?1 ? ? n ? ? 2 ? 1 ? 2?1 2n?1 k ?1 ?

?1

…………………14 分

7


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