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高中数学必修1(人教B版)第二章


高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.5 函数的对称性和周期性(补充)

一、学习任务 结合具体函数,了解函数对称性和周期性的含义. 二、知识清单
函数的对称性 函数的周期性

三、知识讲解
1.函数的对称性 描述: 函数关于直线 x = a 对称 若函数 y = f (x) 的定义域 I 关于 a 对称,且对定义域 I 内的任意一个自变量 x ,都有 f (x) = f (2a ? x) ,那么函数 y = f (x) 关于直线 x = a 对称.此时直线 x = a 是函数 y = f (x) 的对称轴. 二次函数的对称性 二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的图象关于直线 x = ?

f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的对称轴是 x = ?

函数关于点 (a, b) 对称 若函数 y = f (x) 的定义域 I 关于 a 对称,且对定义域 I 内的任意一个自变量 x ,都有 f (x) = 2b ? f (2a ? x) ,那么函数 y = f (x) 关于点 (a, b) 对称. 例题: 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y = f (x) 的图象关于直线 x = 1 对称,则 ______. f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = 解:因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (?x) = ?f (x),f (0) = 0 . 1 又 y = f (x) 的图象关于直线 x = 对称,所以 2

b . 2a

b 对称.也即二次函数 2a

2

f(

1 1 + x) = f ( ? x), 2 2

即 f (x + 1) = f (?x),且 f (1) = f (0) = 0,f (2) = f (?1) = 0.因为 f (x + 1) = f (?x) = ?f (x),即

f (x + 2) = f (x),
故函数 y = f (x) 的周期是 2 ,所以 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = 0 .

对于定义域为 R 的函数 ①若函数 f (x) 满足条件 ②若函数 f (x) 满足条件 ③在同一坐标系中,函数 ④在同一坐标系中,函数 其中,真命题的个数是( A.1 B. 2

,给出下列命题:

f (x ? 1) + f (1 ? x) = 2 ,则函数 f (x) 的图象关于点 (0, 1) 对称; f (x ? 1) = f (1 ? x) ,则函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称; y = f (x ? 1) 与 y = f (1 ? x) 其图象关于直线 x = 1 对称; y = f (1 + x) 与 y = f (1 ? x) 其图象关于 y 轴对称.
) C. 3 D. 4

解:D ① 中取点 (x, f (x)),则关于点 (0, 1) 对称点的坐标为 (?x, 2 ? f (x)),所以 2 ? f (x) = f (?x).因为 f (x ? 1) + f (1 ? x) = 2,所以 f (x) + f (?x) = 2,所以 2 ? f (x) = f (?x),即 ① 正确; ② 中若 f (1 ? x) = f (x ? 1),令 t = 1 ? x,有 f (t) = f (?t), 则函数 y = f (x) 的图象关于直线 y 轴对称,即 ② 正确. ③中因为 y = f (x) 与 y = f (?x) 的图象关于直线 x = 0 对称,函数 y = f (x ? 1) 与 y = f (1 ? x) 的图象可以由 y = f (x) 与y = f (?x) 的图象向右平移了一个单位而得到,从而可

得函数 y = f (x ? 1) 与 y = f (1 ? x) 的图象关于直线 x = 1 对称,即 ③ 正确; ④在同一坐标系中,点 (x, y) 在函数 y = f (1 + x) 的图象上,则 (?x, y) 在 y = f (1 ? x) 的 图象上,所以函数 y = f (1 + x) 与 y = f (1 ? x) 其图象关于 y 轴对称.即 ④ 正确.综上, ①②③④ 均为真命题.故选 D.

2.函数的周期性 描述: 函数的周期性 如果存在非零实数 T ,使得对函数 y = f (x) 定义域 I 内的任意一个自变量 x ,都有 f (x + T ) = f (x) ,那么称函数 y = f (x) 是周期为 T 的函数,此时称 T 为函数 y = f (x) 的一个周期. 最小正周期 如果一个周期函数的所有正周期中存在最小值,就称这个值为该函数的最小正周期. 函数的对称性与周期性 函数的对称性引起的周期性 (a ≠ b) : ① 如果函数 y = f (x) 关于直线 x = a 对称,且关于直线 x = b 对称,那么 y = f (x) 是周 期为 2|a ? b| 的函数.

② 如果函数 y = f (x) 关于点 (a, 0) 对称,且关于点 (b, 0) 对称,那么 y = f (x) 是周期为 2|a ? b| 的函数. ③ 如果函数 y = f (x) 关于直线 x = a 对称,且关于点 (b, 0) 对称,那么 y = f (x) 是周期为 4|a ? b| 的函数.

例题: 已知 f (x) 在 R 上是奇函数,且 f (x + 4) = f (x) ,当 x ∈ (0, 2) 时, f (x) = 2x 2 , 则 f (7) =______. 解:?2 f (7) = f (3) = f (?1) = ?f (1) = ?2 .

f (x)

已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足下列三个条件: ① 对于任意的 R,都有 f (x + 4) = f (x) ; ② 对于任意的 0 ? x 1 < x 2 ? 2 ,都有 f (x 1 ) < f (x2 ) ; ③ 函数 f (x + 2) 的图象关于 y 轴对称. 则下列结论正确的是( ) A.f (6.5) > f (5) > f (15.5) B.f (5) < f (6.5) < f (15.5) C.f (5) > f (15.5) > f (6.5) D.f (15.5) > f (5) > f (6.5) 解:A 由 ①②③ 三个条件知函数的周期是 4 ,在区间 [0, 2] 上是增函数且其对称轴为 x = 2,所以 f (5) = f (1),f (15.5) = f (3.5) = f (2 + 1.5) = f (2 ? 1.5) = f (0.5),

f (6.5) = f (2.5) = f (2 + 0.5) = f (2 ? 0.5) = f (1.5), 因为 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 ,函数 y = f (x) 在 [0, 2] 是增函数.f (0.5) < f (1) < f (1.5), f (15.5) < f (5) < f (6.5).故选A.
设偶函数 f (x) 对任意 x ∈ R ,f (x + 3) = f (x ? 3),且当 x ∈ [?3, ?2] 时,f (x) = 2x,则 f (113.5) 的值为______. 解:?11 因为 f (x) 对任意 x ∈ R ,都有 f (x + 3) = f (x ? 3),所以 f (x) = f (x + 6) ,即函数是以 6 为周期的周期函数. 因为 f (x) 为偶函数,所以 f (?x) = f (x). 设 x ∈ [0, 1] ,则 x ? 3 ∈ [?3, ?2] . 当 x ∈ [?3, ?2] 时,f (x) = 2x,所以 f (x ? 3) = 2(x ? 3) = 2x ? 6,所以 f (x + 3) = 2x ? 6,故 f (x) = 2x ? 12.故 f (113.5) = f (5.5) = f (?0.5) = f (0.5) = ?11.

四、课后作业

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1. 已知函数 f (x) 对任意 x ∈ R 都有 f (x + 4) ? f (x) = 0 ,若 y = f (x) 的图象关于 y 轴对称,且

f (1) = 2 ,则 f (2011) = (
A.2
答案: A

)
C.4 D.6

B.3

2. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x + 3) + f (x) = 0,且函数 f (x ? 命题: ①函数 f (x) 的周期是 6 ; ②函数 f (x) 的图象关于点 (? A.3
答案: A 解析:

3 ) 为奇函数.给出以下 3 个 2

③函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称,其中,真命题的个数是 ( B.2 C.1

3 , 0) 对称; 2

)
D.0

由 f (x + 3) = ?f (x),知 f (x + 6) = f (x).所以,①正确,将 f (x ?

f (?x) = ?f (?3 + x) = f (x)

f (x)

3 ) 的图象关于原点 2

对称,所以,②正确,由②知,f (?x) = ?f (?3 + x) = f (x),则 f (x) 为偶函数,所以,③ 正确. 3. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x ? 4) = ?f (x),且在区间 [0, 2] 上是增函数,则 ( A.f (?25) < f (11) < f (80)
答案: D 解析: ∵

(

)

)

C.f (11) < f (80) < f (?25)

B.f (80) < f (11) < f (?25)

D.f (?25) < f (80) < f (11)

f (x ? 4) = ?f (x),∴ f (x + 8) = ?f (x + 4) = f (x),∴ T = 8 . 又 f (x) 是奇函数,∴ f (0) = 0 . ∵ f (x) 在 [0, 2] 上是增函数,且 f (x) > 0 , ∴ f (x) 在 [?2, 0] 上也是增函数,且 f (x) < 0 . 又 x ∈ [2, 4] 时,f (x) = ?f (x ? 4) > 0,且 f (x) 为减函数. 同理 f (x) 在 [4, 6] 为减函数且 f (x) < 0 .

如图所示: ∵ f (?25) = f (?1) < 0,f (11) = f (3) > 0,f (80) = f (0) = 0. ∴ f (?25) < f (80) < f (11). 4. 若存在常数 p > 0 ,使得函数 f (x) 满足 f (px) = f (px ? .
答案: 解析:

p ) (x ∈ R) ,则 f (x) 的一个正周期为 2

p p 备注:填 的正整数倍中的任何一个都正确. 2 2 p ∵ f (px) = f (px ? ) (x ∈ R) . 2 p ∴ f (x) = f (x ? ) (x ∈ R) . 2 又 ∵ 常数 p > 0 . p 是 f (x) 的最小正周期. ∴ 2

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