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湖南省醴陵、攸县、浏阳一中2013届高三第五次月考数学理试题


2013 年元月醴陵一中、攸县一中、浏阳一中联合考试试题

理科数学
时量:150 分 分值:150 分 命题人:黎友贵 审题人:陈昌龙

参考公式: (1)柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高。 (2)球的表面积公式 S=4π R2,其中 R 为求的半径。
一选择题:本大题共 8 小题,每小题

5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求的。 1.若

a 1? i ? a ? bi , ?a, b ? R ?, 则 的值是 ( b 1? i
B. 0

) C. ?1
2

A. 1 A. [?1,4)
2

D. ? 2 D. (?1,4)

2.全集 U ? R, 且 A ? { x | x ? 1 ? 2}, B ? { x | x ? 6 x ? 8 ? 0}, 则 (C U A) ? B ? ( ) B. ( 2,3) C.

( 2,3]


3.命题“ ?x ? R, x ? x ? A. ?x ? R, x ? x ?
2

1 ? 0" 的否定是( 4

1 ?0 4 1 2 D. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4 ? 4.给定性质: ①最小正周期为 π ;②图象关于直线 x= 对称,则下列四个函数中, 3
B. ?x ? R, x ? x ?
2

1 ?0 4 1 2 C. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4

同时具有性质①、②的是(

) C.y = sin(2x+

? A.y = sin(2x- ) 6
5.设

x ? B.y = sin( + ) 2 6

? ) 6

D.y = sin|x|

{an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积( i ? 1, 2,? ) { An } 为等 ,则
{an } 是等比数列。
a1 , a3 ,?, a2n?1,? 或 a2 , a4 ,?, a2n ,?是等比数列。

比数列的充要条件为 A. C. D. B.

a1 , a3 ,?, a2n?1,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,?均是等比数列。 a1 , a3 ,?, a2n?1,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,?均是等比数列,且公比相同。
) D.1

6.已知函数 f ( x ) 是 ( ?? ,?? ) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x ) ,且 当 x ? [0,2) 时, f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f ( ?2011) ? f ( 2012) ? ( A. 1 ? log 2 3 B. ? 1 ? log 2 3 C. ? 1

?y ? x ? 7.设 m>1,在约束条件 ? y ? m x 下, 目标函数 z=x+my 的最大值大于 2,则 m 的取值范围为 ?x ? y ? 1 ?

A. (1,1 ? 2 )

B. (1 ? 2 ,??)

C. (1,3)

D. (3,??)

8.定义域为[ a, b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任意一点, 其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? . 已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB , 若不等式 MN ? k 恒 成立, 则称函数 f ( x ) 在[ a, b ]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 性近似”,则实数 k 的取值范围为( A.[0,+∞) B. ? )

1 在[1,2]上“k 阶线 x

?1 ? ,?? ? ?12 ?

C. ?

?3 ? ? 2 ,?? ? ?2 ?

D. ?

?3 ? ? 2 ,?? ? ?2 ?

二.填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中 对应题号的横线上。 (一)、选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9. 在极坐标系中,点 P ? 2 0? 与点 Q 关于直线 ? cos(? ? ,

?
4

) ? 2 2 对称, PQ ?



10.如图,已知△ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是⊙0 的切线,若∠B=30°,AC=2, 则 OD 的长为 . 11.已知:x+2y+3z=1,则 x ? y ? z 的最小值是
2 2 2

.

(二)、必做题(12~16 题) 1 1 1 1 12. 如图给出的是计算 + + +?+ 的值的一个程序框图,则判断框内应 2 4 6 2 012 填入的条件是 .

13、已知向量 a , b ,其中 | a |? 14、已知 F1、F2 分别是双曲线 |PF2|的值为 .

?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 , | b |? 2 ,且 (a ? b ) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是

.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 是双曲线上的点,且|P F1|=3,则 4 12

15.已知曲线 f ( x) ? xn?1 (n ? N * )与直线 x ? 1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn , 则log2012 x1 ? log2012 x2 ? ? ? log2012 x2011 的值为 .

16.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色:先染 1,再染两个偶数 2、4; 再染 4 后面最邻近的三个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的四个连续偶数 10、12、14、16; 再染此后最邻近的五个连续奇数 17、19、21、23、25;按此规则一直染下去,得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,??.则在这个红色子数列中,由 1 开始的第 2011 个数是_____________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点 的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收 2 元(不足 1 小时的部 分按 1 小时计算) 。有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的

1 1 1 1 , , 概率分别为 4 2 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 4 ;两人租车时间都不会超
过四小时。 (Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? .

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足条件: a1 ? t , an?1 ? 2an ? 1 (1)判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列;

2n (2)若 t ? 1 ,令 cn ? , 记 Tn ? c1 ? c 2 ? c 3 ? ... ? c n an ? an ?1 证明: Tn ? 1

19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P--ABCD 中,PB ? 底面 ABCD.底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB=AD=PB=3,BC=6.点 PA 上,且 PE=2EA. (1)求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (2)求证:PC∥平面 EBD; (3)求二面角 A—BE--D 的余弦值.

P

E 在棱

E C B

D

A

20(本小题满分 13 分).某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中

80? 间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 3 立方米,且 l≥2 r .假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球 形部分每平方米建造费用为 c(c>3) 千元,设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.

21.(本小题满分 13 分) 设椭圆 E 中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 4,点 M(2, 2 )在椭 圆上, 。 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点,且 OA ? OB ,求△OAB 的面积的取值范围。

??? ?

??? ?

22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

(Ⅰ)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?(x ) 是 g ( x) 的导函数) ,求 h( x) 的最大值; (Ⅱ)求证: 当 0 ? b ? a 时,有 f (a ? b) ? f (2a) ?

1 2 x ? 2x . 2

(Ⅲ)设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3g ?( x) ? 4 恒成立,求 k 的最大值.

b?a ; 2a

数学参考答案(理科) 一.选择题 BCDA D CBD 二.填空题 9. 2 2 ; 12. i<1007? 15.-1; 10.4; 13. 11.
1 14

? ; 4 16.3959

14.7;

三.解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: 所付费用相同即为 0, 2, 4 元。 (1) 设付 0 元为
P3 ? 1 1 1 ? ? 4 4 16 P ? P ? P2 ? P3 ? 1 5 16 ……………………………..4 分 P? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? P2 ? ? ? 4 2 8 , 2 元为 2 4 8, 付

付 4 元为

则所付费用相同的概率为

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4, 6,8 …………….5 分

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16 ……………………………………………….10 分

分布列

?
P

0
1 8

2

4

6
3 16

8
1 16

5 16

5 16

E? ?

5 5 9 1 7 ? ? ? ? 8 4 8 2 2 ………………………………………………………….12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(1)证明:由题意得 an?1 ? 1 ? 2an ? 2 ? 2(an ? 1) ?????2 分 又 a1 ? 1 ? t ? 1 , 所以,当 t ? ?1 时, {an ? 1} 不是等比数列 当 t ? ?1 时, {an ? 1} 是以 t ? 1 为首项,2 为公比的等比数列. ????5 分 (2)解:由⑴知 an ? 2n ? 1, 故 cn ?
n n

?????7 分

1 1 2 2 1 1 ? ? ?????9 分 ? n ? n ? n?1 n ?1 an an?1 an an?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 1 1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 ? Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 ? ? 1 ? 2 n?1 ? 1 ? 1 ?? ? 3? ? 3 7 ? ? 2 ?1 2 ?1? ??12 分

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵PB⊥底面 ABCD, 在直角梯形 ABCD 中 AB=AD=3, ∴BC=6 取 BC 的中点 F,连结 AF,则 AF∥CD. ∴异面直线 PA 和 CD 所成的角就是 PA 和 AF 所成的角∠PAF(或 其补角) ,在△PAF 中,AF=PA=PF=3 2 , ∴∠PAF=60° ??????3 分 (2)连结 AC 交 BD 于 G,连结 EG,∵
AG AE ? GC EP
AE 1 AG AD 1 ? ,∴ ? ? ,又 EP 2 GC BC 2

P

E C B

D

A

∴PC∥EG

又 EG ? 平面 EBD,PC?平面 EBD.∴PC∥平面 EBD ?????7 分 (3)∵PB⊥平面 ABCD,∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB,∴AD⊥平面 EAB. 作 AH⊥BE,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BE, ∴∠AHD 是二面角 A-BE-D 的平面角.在△ABE 中,BE= ∴tan∠AHD= 分
AD ? 5 AH
5

AH= AB ? AE ? sin 45
BE

?

?

3 5 , 5

, 所以,二面角 A-BE-D 的余弦值为

6 6

?????12

20. (本小题满分 13 分) 解: (I)设容器的容积为 V,

4 80? V ? ? r 2l ? ? r 3 , 又V ? , 3 3 由题意知

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 l? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r 故 由于 l ? 2r
因此 0 ? r ? 2. ……………………………………………………………………………………………….3 分 4 20 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r 2 c ? 2? r ? ( 2 ? r ) ? 3 ? 4? r 2c, 3 r 所以建造费用 160? y ? 4? (c ? 2)r 2 ? , 0 ? r ? 2. r 因此 ……………………………………………………..5 分 160? 8? (c ? 2) 3 20 y ' ? 8? (c ? 2)r ? 2 ? (r ? ), 0 ? r ? 2. r r2 c?2 (II)由(I)得 由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0, 当

r3 ?
3

20 20 ? 0时, r ? 3 . c?2 c?2

20 ? m, 则 m?0 令 c?2 8? (c ? 2) y' ? (r ? m)(r 2 ? rm ? m 2 ). r2 所以 ……………………………………………………….7 分 9 0 ? m ? 2即c ? 2 时, (1)当 当r=m时,y'=0;
当r ?(0,m)时,y'<0; 当r ?(m,2)时,y'>0. 所以 r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点。……………………….10 分 9 3?c? 2 时, (2)当 m ? 2 即 当 r ? (0, 2)时, y ' ? 0, 函数单调递减,

所以 r=2 是函数 y 的最小值点, 9 3?c? 2 时,建造费用最小时 r ? 2; 综上所述,当 9 c? 20 2 时,建造费用最小时 r ? 3 当 …………………………………13 分 c?2

21、(本小题满分 13 分) 解:(1)因为椭圆 E:
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)过 M(2, 2 ) ,2b=4 a 2 b2

故可求得 b=2,a=2 2 2分

椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

???

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,当直线 L 斜率存在时设方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 解方程组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 , 即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 (*)???????????4 分
4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

??? ??? ? ? 2m2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ? 0, 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 即 m2 ?
8k 2 ? 8 3

①???????????7 分

将它代入(*)式可得 k 2 ?[0, ??) ???????????8 分 P 到 L 的距离为 d ?
|m| 1? k 2

1 1 |m| ? S ? | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2 又 1 ? m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 2
m2 ? 8k 2 ? 8 8 k2 及韦达定理代入可得 S ? 1 ? 4 ????????10 3 3 4k ? 4k 2 ? 1

将 分

一、

8 k2 8 1 当k ? 0时S ? 1? 4 ? 1? 2 1 3 4k ? 4k ? 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k
1 ? [4, ??) k2
8 3

由 4k 2 ?

故S ?

8 1 8 1? ? ( , 2 2] ?????12 分 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 3 k

? ?

当 k ? 0 时, S ?

当 AB 的斜率不存在时, S ?

8 , 3

?8 综上 S ? ? , 2 2 ? ???????????13 分 ? ?3

22、 (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) h( x) ? f ( x ? 1) ? g / ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1 所以 h?( x) ?
1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . 因此, h( x) 在 (?1 , 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, h( x) 取得最大值 h(0) ? 2 ; ??????3 分 (Ⅱ) 0 ? b ? a 时,?1 ? 当
b?a 由 知: ?1 ? x ? 0 时,h( x) ? 2 , l ( ?)x ? x . 当 即 n1 ? 0 . (1) 2a a?b ? b?a? b?a ? ln ?1 ? 因此,有 f (a ? b) ? f (2a) ? ln .??????7 分 ?? 2a 2a ? 2a ? x ln x ? x ? 2 所以 (Ⅲ)不等式 k ( x ?1) ? xf ( x) ? 3g / ( x) ? 4 化为 k ? x ?1 x ? x ln x x ? x ln x x ? ln x ? 2 k? ? 2 对任意 x ? 1 恒成立.令 g ? x ? ? ? 2 ,则 g ? ? x ? ? , 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? , h? ? x ? ? 1 ? 则

1 x ?1 ? ?0, 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调 x x

递增. 因为 h ?3? ? 1? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ?3, 4? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. 所以函数 g ? x ? ? x ?1 x ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? 所以 ? g ? x ?? min ? g ? x0 ? ? 0 ?2? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . ? ? x ?1 x ?1 所以 k ? ? g ? x ? ? min ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? .故整数 k 的最大值是 5 . ? ?
0 0

?????13 分


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