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福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第43讲 合情推理与演绎推理


1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等 进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中 的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基 本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

1.归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概 括出一般结论的推理,称为归纳推理.归纳推理是由 部分到整体,由个别到一般的推理.显然归纳的个别 情况越多,越具有代表性,推广的一般性命题也就越 可靠,应用归纳推理可以获得新的结论.

2.类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称 为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.类比 的结论不一定为真,在一般情况下,如果类比的相似 性越多,相似性之间越相关,那么类比得到的结论也 就越可靠. 

3.演绎推理

?1? 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论
的推理方法叫做演绎推理,它是一种由一般到特殊的 推理过程,是一种必然性推理,演绎推理的前提与结 论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理 的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但是错误 的前提可能导致错误的结论.

? 2“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ?
ⅰ大前提—已知的一般原理; () (ⅱ)小前提—所研究的特殊情况; (ⅲ)结论—根据一般原理,对特殊情况做出判断.

1.利用归纳推理推断, n 是自然数时, 当 1 2 (n -1)[1-(-1)n]的值( 8 A.一定是零 B.不一定是整数 C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数 )

【解析】当 n=1 时,值为 0;当 n=2 时,值为 0; 当 n=3 时,值为 2;当 n=4 时,值为 0;当 n=5 时,值 为 6.

2.(2012· 合肥模拟)给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比, 则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logby 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sinαsinβ; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比, 则有(a+b)2 =a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

【解析】①与②根据常识可知,都为错误的,只有③正确.

3.(教材改编题)已知数列{an}的第 1 项 a1=2,且 an an + 1 = (n=1,2,3,?),则数列{an}的通项公式为 1+an ( ) 1 n A.an=n B.an= n+1 2 C.an= 2n-1 1 D.an= 2n-1

1 1 an 【解法 1】 因为 an+1= ,所以 = +1, 1+an an+1 an 1 1 1 所以{a }是以a =2为首项, d=1 为公差的等差数列, 以 n 1 1 2n-1 2 所以a = 2 ,故 an= . 2n-1 n 1 1 2 n 【解法 2】 取 n=1,得n=1, = , =2, n+1 2 2n-1 1 =1,故 A、B、D 不正确. 2n-1

4.(教材改编题)“两条直线平行,同时和第三条 直线相交,内错角相等,∠A 和∠B 是内错角,则∠A =∠B”,该证明过程的大前提是 相等 , 小前提是 . 两直线平行内错角 , 结论是 ∠ ∠A 和∠B 是内错角

A=∠B

5.(2012· 杭州模拟)在△ABC 中,若 AC⊥BC, a2+b2 AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r= 2 . 将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面 体 S—ABC 中,若 SA,SB,SC 两两垂直,SA=a,SB =b,SC=c,则四面体 S—ABC 的外接球半经 a2+b2+c2 2 . R=



归纳推理及应用

bx+1 1 【例 1】(2011· 黄山市模拟)已知 f(x)= (x≠-a, ?ax+1?2 a>0),且 f(1)=log162,f(-2)=1. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(1)][1-f(2)]?[1- f(n)],试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想数列{xn}的通项公式.

【分析】 (1)先由 f(1),f(-2)的值求出 a,b 的 值;(2)通过计算 x1,x2,x3,x4 归纳出通项公式.

1 【解析】 (1)因为 f(1)=log162=4,f(-2)=1,
? b+1 1 ? 2= ??a+1? 4 所以可得? ?-2b+1 ??1-2a?2=1 ?



?4b+4=a2+2a+1 ?a=1 整理得? ,解得? , 2 ?-2b+1=4a -4a+1 ?b=0

1 于是 f(x)= 2(x≠-1). ?x+1?

1 3 3 1 2 (2)x1=1-f(1)=1-4=4,x2=4(1-9)=3, 2 1 5 5 1 3 x3=3(1-16)=8,x4=8(1-25)=5.

(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分,所以 n+2 3 4 5 6 规律不明显,若变形为4,6,8,10,猜想 xn= . 2?n+1?

【点评】由数列的前几项猜测其通项,要细致地观察项 的各个细微组成部分(比如分子、分母)如何随项数 n 变化, 1+2 2+2 3 4 尝试用项数表示相关部分(比如4= ,= 等), 1×2+2 6 2×2+2 然后大胆地猜测出一个结论,若规律不明显可多算几项,猜 出结论后亦可再取几个特殊值验证一下.

素材1

观察下列两式: 3 ①sin 20° +cos 50° +sin20°cos50° 4; · =
2 2

3 ②sin 15° +cos 45° +sin15°cos45° 4. · =
2 2

分析上面的两式的共同特点,写出反映一般规律的等 式,并证明你的结论.

【解析】推广结论: 3 sin α+cos (α+30° )+sinα· cos(α+30° 4. )=
2 2

证明如下: sin2α+cos2(α+30° )+sinα· cos(α+30° ) 3 2 1 =4sin α+[cos(α+30° 2sinα]2 )+ 3 2 1 =4sin α+(cosαcos30° -sinαsin30° 2sinα)2 + 3 2 3 2 3 =4sin α+4cos α=4.

二 类比推理及应用

【例 2】在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D, 1 1 1 求证:AD2=AB2+AC2,那么在四面体 ABCD 中,类比 上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.

【分析】 首先利用综合法证明结论正确,然后 依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结 论,并予以证明.

【解析】 如图①所示,由射影定理 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC,AC2=BC· DC. 1 BC2 所以AD2=BD· DC· BC· BC BC2 =AB2· 2. AC

又 BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 所以AD2= AB2· 2 =AB2+AC2, AC 1 1 1 所以AD2=AB2+AC2, 类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想:四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD, 1 1 1 1 则AE2=AB2+AC2+AD2.

如图②所示,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连 接 AF. 因为 AB⊥AC,AB⊥AD 所以 AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD,所以 AB⊥AF.

在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, 1 1 1 所以AE2=AB2+AF2 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, 1 1 1 所以AF2=AC2+AD2 1 1 1 1 所以AE2=AB2+AC2+AD2, 故猜想正确.

【点评】类比推理是获取新知识的重要手段之 一.在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题.

素材2

设△ABC 的三边长分别为 a、 c, b、 △ABC 的面积为 S, 2S 内切圆半径为 r,则 r= ;类比这个结论可知,四面 a+b+c 体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,四面体 ABCD 的 体 积 为 V , 内 切 球 半 径 为 R , 则 R = 3V S1+S2+S3+S4 .

【解析】设四面体 ABCD 的内切球球心为 O, 连接 OA、OB、OC、OD, 则 V=VO-ABC+VO-BCD+VO-CDA+VO-ABD 1 1 1 1 =3S1· 3S2· 3S3· 3·4· R+ R+ R+ S R 1 =3R(S1+S2+S3+S4) 3V 所以 R= . S1+S2+S3+S4

三 演绎推理及其应用
【例 3】 已知函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1). 若函数 f(x) 的一个零点为 1,且函数 y=f(x)+1 有零点. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0. (2)若 m 是函数 y=f(x)+1 的一个零点,判断 f(m-4) 的正负并加以证明.

【解析】(1)证明:因为 f(x)的一个零点为 1, c+1 所以 f(1)=0,即 1+2b+c=0,即 b=- 2 . c+1 又因为 c<b<1,于是 c<- 2 <1, 1 得-3<c<-3.

函数 y=f(x)+1 有零点, 即方程 x2+2bx+c+1=0 有实根, 故 Δ=4b2-4(c+1)≥0?c≥3 或 c≤-1. 1 又-3<c<-3,所以-3<c≤-1. c+1 由 b=- 2 ,知 b≥0.

(2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1) 因为 m 是函数 y=f(x)+1 的一个零点, 所以 f(m)=-1. 从而 f(m)=(m-c)(m-1)<0,所以 c<m<1, 所以 c-4<m-4<-3<c. 所以 f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0, 即 f(m-4)的符号为正.

【点评】“三段论”式的演绎推理在高考中是常考 点,也是证明题的常用方法,一定要保证大前提正确,且 小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才得到 正确结论; 常见易错点是“凭空想象、 思维定势、 想当然、 凭空捏造”大前提,从而出错,或者小前提与大前提“不 兼容”“不包容”“互补”而出错.

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a 已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).证明:函数 a+ a 1 1 y=f(x)的图象关于点(2,-2)对称.

【证明】 函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一 1 1 点(x,y),它关于点(2,-2)对称的点的坐标为(1-x, -1-y). a 由已知得 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a f(1-x)=- 1-x a + a

=- a

a

ax+ a

a·x a =- a+ a·x a ax =- x , a+ a 所以-1-y=f(1-x). 1 1 即函数 y=f(x)的图象关于点(2,-2)对称.

备选例题

(2011· 辽宁卷)设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切斜线率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

b 【解析】(1)f ′(x)=1+2ax+x .
?f?1?=0 ?a=-1 由已知条件得? ?? . ?f ′?1?=2 ?b=3

(2)证明:因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知 f(x)=x-x2+3lnx. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx, ?x-1??2x+3? 3 则 g ′(x)=-1-2x+ x=- . x

当 0<x<1 时,g′(x)>0; 当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2.

1.归纳推理的一般步骤: ①通过观察一系列情形发现某些相同的性质; ②从已知的相同的性质中推出一般性命题. 2.类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的结论. 注:归纳推理与类比推理都属于合情推理,两 种推理所得的结论未必是正确的(例如费马猜 想就被大数学家欧拉推翻了),但它们对于发 现新的规律和事实却是十分有用的.

3.“三段论”推理是演绎推理的一般模式,它包括: ①大前提:已知的一般性原理; ②小前提:所研究的特殊情况; ③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

也可表示为:
大前提:M是P,小前提:S是M,结论:S是P.

用集合的知识可以理解为:若集合M的所有元素都 具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有 性质P.


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