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第八讲呢不等式认识


小班辅导讲义
学生: 课 题 科目: 数学 第 一阶段第 八 次课 教师:
不等式的认识与解法 掌握不等式的基本性质、解法、解集的表示

教学目标 重点、难点 考点及考试要求

重点:不等式的基本性质
不等式的基本性质、不等式解法、解集

难点:性质应用、不等式解法、解集

教学内容 知识框架
1、不等式的基本性质 知识点一:
一.不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数” 、 “不小于”等数学术语(进一步讲解). 非负数 <===> 大于等于 0(≥0) <===> 0 和正数 <===> 不小于 0 非正数 <===> 小于等于 0(≤0) <===> 0 和负数 <===> 不大于 0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果 a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果 a>b,并且 c>0,那么 ac>bc,

2、不等式解法

3、解集的表示

a b ? . c c
a b ? c c
) B.由 a ? b ,得 ?2a ? ?2b D.由 a ? b ,得 a ? 2 ? b ? 2

(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果 a>b,并且 c<0,那么 ac<bc,

【题型一】 例 1.下列不等式变形正确的是( A.由 a ? b ,得 ac ? bc C.由 a ? b ,得 ?a ? ?b
2.若 a>b,则( ) A.a>﹣b B.a<﹣b 3.下列不等式一定成立的是( A.5a>4a B.x+2<x+3

C.﹣2a>﹣2b ) C.-a>-2a

D.﹣2a<﹣2b

D.

4 2 ? a a

变式 1:
1.如果 a>b,c<0,那么下列不等式成立的是( A、a+c>b+c B、c-a>c-b ) B.由 a ? b ,得-2a>-2b D.由 a ? b ,得 a ? 2 ? b ? 2 C、ac>bc ) D、

2. 下列不等式变形正确的是( A.由 a ? b ,得 ac ? bc C.由 a ? b ,得 ?a ? ?b

3. 若 a<c<0<b,则 abc 与 0 的大小关系是( ) A. abc<0 B. abc=0 C. abc>0 D. 无法确定 4. 已知 a,b,c 均为实数,若 a>b,c≠0.下列结论不一定正确的是( A、a+c>b+c B、c-a<c-b C、
a b ? c2 c2


2

D、a >ab>b

2

变式 2:
1. 判断下列各题是否正确?正确的打“√” ,错误的打“×” (1)如果 a>b,那么 3-2a>3-2b.( ) (2)如果 a 是有理数,那么-8a>-5a.( ) 2 2 (3)如果 a<b,那么 a <b .( ) (4)如果 a 为有理数,则 a>-a.( ) 2 2 (5)如果 a>b,那么 ac >bc .( ) (6)若 a<b,则 a+c<b+c.( )

例 2.在数学表达式 ①-3<0;②4x+5>0; ③x=3; ④x2+x; ⑤ x ? -4;⑥ x+2>x+1 是不等式的有(
A.2 个 B.3 个 C.4 个 ) C.2x+y≤5 ) C、 D. D.5 个

)

变式:
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( A.

1 +1>2 x

B.x >9

2

1 (x-3)<0 2

2.下列不等式中,属于一元一次不等式的是( A、4>1 B、3x-2 <4
4

1 ?2 x

D、4x-3<2y-7

例 3. 用不等式表示
a 与 6 的和小于 5 x 与 2 的差小于-1

x 的 4 倍大于 7

y 的一半小于 3

知识点二、不等式的解法 【题型一】 例 4.
1、对于整数 a,b,c,d,定义 2、与 2x<6 不同解的不等式是(
a b d c ? ac ? bd ,已知 1 ? 1 b d 4 ? 3 ,则 b+d 的值为_________.


2

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A.2x+1<7

B.4x<12

C.-4x>-12

D.-2x<-6

变式:
1.不等式-3x+6>0 的正整数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 2.在数轴上与原点的距离小于 8 的点对应的 x 满足( A.-8<x<8 B.x<-8 或 x>8 C.x<8 3.若 x 是非负数,则 ? 1 ? 4.若 (m ? 2) x
2 m ?1

D.无数多个 ) D.x>8

3 ? 2x 的解集是______. 5

? 1 ? 5 是关于 x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为

【题型二】 例 5.解不等式组
1. ?

?2 x ? 1 ? 0, ? 4 ? x ? 0.

?? 3 x ? 0, ? ? 4 x ? 7 ? 0.

?x x ? ? ? ?1, 2. ? 2 3 ?2( x ? 3) ? 3( x ? 2) ? ?6. ?

? 3x ? 3 2 x ? 1 ? ? x, ? ? 2 3 ? ? 1 [ x ? 2( x ? 3)] ? 1. ? ?2

① ?4 x ? 10 ? 0, ? 例 6 解不等式组 ?5 x ? 2 ? 3x, ② ?11 ? 2 x ≥ 1 ? 3x. ③ ?

?2 ? 4 x ? 3 x ? 7, ? 变式:解不等式组 ?6 x ? 3 ? 5 x ? 4, ?3 x ? 7 ? 2 x ? 3. ?

3

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知识点三
一元一次不等式的解集: 1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等 式的解集的过程,叫做解不等式. 2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同. 3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 一元一次不等式组及解集 1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共 部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 a<b) 一元一次不等式 解集 x>b 图示 叙述语言表达 两大取较大

?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b

a

b

x>a

a

b

两小取小

a<x<b

a

b

大小交叉中间找 在大小分离没有

无解

a

b

解 (是空集)

4

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【题型一】 例7.
不等式组 ?

? x ? ?2 的解集是 ?x ? 1 ?x ? 1 的解集是 ? x ? ?2

,不等式组 ?

?x ? 1 的解集是 ? x ? ?2 ? x ? ?2 的解集是 ?x ? 1

变式:
不等式组 ? ,不等式组 ?

例8.
不等式组 ?

?2 x ? 3 ? 5 的解集为 ?3 x ? 2 ? 4

变式:
1、不等式组 ?1 ?

3x ? 4 ? 2 的整数解为 5

?1 x ? 2 ? x ? 2? ? 4 ? ?3 2、不等式组 ? 的解集为 ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? 3

【题型二】
1.某不等式组的解集在数轴上表示如图,则这个不等式组可能是( A. ?
? x ≥ ?2 ?x ≤ 3



B. ?

? x ≥ ?2 ?x ? 3

-2

?

0

? 3

? x ? ?2 C. ? ?x ? 3

? x ? ?2 D. ? ?x ≤ 3

?2x-4≤x+2 2.不等式组? 的解集是( ?x≥3

) C.3≤x≤6 ) -1 0 1 2 D.x≥6

A.x≥3

B.x≤6

3.不等式 x ? 1 在数轴上表示正确的是( -1 0 (A) 0 1 2

(B)

0 -1 4.不等式 2 x ? 1 ? ?3 的解集在数轴上表示正确的是( -2 A 0 -2 B
5

-1

1

2

1 ) 0 C

2

0

-2

-1 0 D

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变式 1.不等式组 ?

?3 x ? 2 ? 5 的解在数轴上表示为( ?5 ? 2 x ? 1



1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A. B. C. D. 2.若不等式 2x<4 的解都能使关于 x 的一次不等式(a-1)x<a+5 成立,则 a 的取值范围是( (A)1<a≤7 3.不等式组 ? (B)a≤7 (C) a<1 或 a≥7 ) (D)a=7

0



?x ? 2 ? 0 的解集在数轴上正确 表示的是( .. ?x ? 3 ? 0

? 2 x ? 1 ? 1, 4.不等式组 ? 的解在数轴上表示为( ?4 ? 2 x ≤ 0
0 1 2 0 1 2 0

)

1

2

0

1

2

A

B )

C

D

课后作业 1.如果 0 ? x ? 1 ,则下列不等式成立的(
A、 x ? x ?
2

1 x

B、 x ? x ?
2

1 x


C、

1 ? x ? x2 x

D、

1 ? x2 ? x x

2. 若 a>b>0,则下列结论正确的是( (A) -a>-b (B)

1 1 ? a b

(C)a <0 ). (C)

3

(D)a >b

2

2

3.如果 a、b 表示两个负数,且 a<b,则( (A)

a ?1 b

(B)

a <1 b

1 1 ? a b

(D)ab<1

4.a、b 是有理数,下列各式中成立的是( ). 2 2 2 2 (A)若 a>b,则 a >b (B)若 a >b ,则 a>b (C)若 a≠b,则|a|≠|b| (D)若|a|≠|b|,则 a≠b 5.|a|+a 的值一定是( ). (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 6.若由 x<y 可得到 ax>ay,应满足的条件是( ). (A)a≥0 (B)a≤0 (C)a>0 (D)a<0
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7.若不等式(a+1)x>a+1 的解集是 x<1,则 a 必满足( (A)a<0 (B)a>-1 (C)a<-1 2 2 8.如果 a x>a y(a≠0).那么 x______y.

). (D)a<1

9.a,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空:
a__________b; a-b__________0;
|a|__________|b|; a+b__________a-b;

a+b__________0 ab__________a.

10.不等式的解集在数轴上表示如图所示,则该不等式可能是_____________.

11.一个不等式的解集如图所示,则这个不等式的正整数解是___.

-1

0

1

2

3

4

12.实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,用“>”或“<”填空:

13.把不等式 x>2 的解集表示在数轴上,以下表示正确的是(



14.试在数轴上表示: 大于 3 而不超过的数;

小于 5 且不小于-4 的数.

15.利用不等式的性质求出下列不等式的解集,并把它们的解集在数轴上表示出来: -4x+12<0

x ≥2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1≤x<2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3


16.已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( A、ab>0 B、 a ? b C、a-b>0 D、a+b>0

17. 用含有 x 的不等式表示下列各图中的所示的 x 的取值范围:

18.三角形三边长分别为 4,1-2a,7,则 a 的取值范围是
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19.如果 x ? 1 ? 1 ? x, 3x ? 2 ? ?3x ? 2, 那么 x 的取值范围是( A. ? 1 ? x ? ?

)

2 3

B. x ? ?1

C. x ? ?

2 3

D. ?

2 ? x ? ?1 3


20. 如 图 , 数 轴 上 表 示 的 是 某 不 等 式 组 的 解 集 , 则 这 个 不 等 式 组 可 能 是 ( A.x+1>0 , x-3> 0. B.x+1>0 , 3-x>0. C.x+1<0 , x- 3 >0. D.x+1< 0 , 3-x >0.

21.今年,号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱,为提高学生环境意识,节约用水,某校数学教师编制了 一道应用题: 为了保护水资源,某市制定一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费作如下规定: 月用水量(吨) 不大于 10 吨部分 大于 10 吨不大于 m 吨部分( 20 ? m ? 50 ) 大于 m 吨部分 单价(元/吨) 1.5 2 3

(1)若某用户六月份用水量为 18 吨,求其应缴纳的水费; (2)记该用户六月份用水量为 x 吨,缴纳水费为 y 元,试列出 y 与 x 的函数式; (3)若该用户六月份用水量为 40 吨,缴纳水费 y 元的取值范围为 70 ? y ? 90 ,试求 m 的取值范围。

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