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2016北京市海淀东城西城朝阳顺义石景山高三一模数学理科word带答案


海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(理科)
2016.4

本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.函数 f ( x) ? 2x ? 1 的定义域为 A.[0,+ ? )? ? B.[1,+ ? )? ? C.(- ? ,0]? D.(- ? ,1] 2.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位),则输出的S 值为 A.-1 B.1 C.-i D.i

?x ? y ? 2 ? 0 1 ? 3.若x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 2 ?y ? 0 ?
5 2 7 C. 2
A. B.3 D.4

4.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为 A.

3 3 2 3 3

B.

3 2

C.

D.

2 6 3

5.已知数列 ?an ? 的前n 项和为Sn,则“ ?an ? 为常数列”是 “ ?n ? N *, Sn ? nan ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.在极坐标系中,圆C1 : ? ? 2cos ? 与圆C2: ? ? 2sin ? 相交于 A,B两点,则|AB|= A.1 B. 2 C. 3 D. 2

7.已知函数 f ( x) ? ?

?sin( x ? a), x ? 0 是偶函数,则下列结论可能成立的是 ?cos( x ? b), x ? 0

A. a ? C. a ?

?
?
4

,b ? ?
,b ?

?
4

B. a ?

?
6

3

2? ? ,b ? 3 6 5? 2? ,b ? D. a ? 6 3

8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则 下列叙述正确的是

A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作 C.丙可以不承担第三项工作 D.丁可以承担第三项工作 二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.已知向量 a ? (1, t ), b ? (t ,9) ,若 a ? b ,则t = _______. 10.在等比数列 ?an ? 中,a2=2,且

?

?

? ?

1 1 5 ? ? ,则 a1 ? a3 的值为_______. a1 a3 4

11.在三个数

1 ?1 , 2 2.log3 2 中,最小的数是_______. 2

? x2 y 2 12.已知双曲线C: 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线l 的倾斜角为 ,且C 的一个焦点到l 的距离 3 a b
为 3 ,则C 的方程为_______. 13.如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1,2,3 中的一个. (ⅰ)当每条边上的三个数字之和为4 时,不同的填法有_______种; (ⅱ)当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种.

14.已知函数 f ( x ) ,对于实数t ,若存在a>0,b >0 ,满足: ?x ?[t ? a, t ? b] ,使得

| f ( x) ? f (t ) |? 2,则记a+b的最大值为H(t ).
(ⅰ)当 f ( x ) =2x时,H(0)= _______. (ⅱ)当 f ( x ) ? x 且t ? [1, 2] 时,函数H(t)的值域为_______.
2

三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13 分) 如图,在△ABC 中,点D在边 AB上,且 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若 ? ?

?

AC sin ? ? ; BC 3sin ? ,? ?

AD 1 ? .记∠ACD= ? ,∠BCD= ? . DB 3

?

6

2

, AB ? 19 ,求BC 的长.

16.(本小题满分13 分) 2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广.2015 年12 月10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示:

(Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量;
2 2 (Ⅱ)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 s1 , s2 ,根据样本数据,

试估计 s1 与 s2 的大小关系(只需写出结论); (Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株,记这2 株的产量总和为 ? ,求 随机变量 ? 的分布列和数学期望.

2

2

17.(本小题满分14 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证: BC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四个点在同一个平面内; (Ⅲ)当PA=AB=2,二面角C-AN -D的大小为

? 时,求PN 的长. 3

18.(本小题满分13 分) 已知函数f (x) =ln x+

1 x ?1 -1, g ( x ) ? x ln x

(Ⅰ)求函数 f (x)的最小值; (Ⅱ)求函数g(x)的单调区间; (Ⅲ)求证:直线 y=x不是曲线 y =g(x)的切线。 19.(本小题满分14 分) 已知椭圆C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点, 2 a b 2

且|AB|=2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在 y轴的右侧.直线PA,PB与直线x= 4 分别交于M , N 两点.若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E , F ,求点P 横 坐标的取值范围及|EF|的最大值. 20.(本小题满分13 分) 给定正整数n(n≥3),集合 Un ? ?1, 2, ???, n? .若存在集合A,B,C,同时满足下 列条件: ① U n =A∪B∪C,且A∩B = B∩C =A∩C= ? ; ②集合A 中的元素都为奇数,集合B 中的元素都为偶数,所有能被3 整除的数都在集 合C 中(集合C 中还可以包含其它数); ③集合A , B ,C 中各元素之和分别记为SA , SB ,SC ,有SA =SB =SC ; 则称集合 Un为可分集合. (Ⅰ)已知U8为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A , B ,C ; (Ⅱ)证明:若n 是3 的倍数,则Un不是可分集合; (Ⅲ)若Un为可分集合且n 为奇数,求n 的最小值. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(理科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. ?3

10. 5

11.

1 2

12. x 2 ?

y2 ?1 3

13. 4, 6

14. 2, [ 6 ? 2,2) ? [2 3,4]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 在 ?ACD 中,由正弦定理,有 在

AC AD ? sin ?ADC sin ?
由 正 弦 定 理 ,

???????2 分 有
C

?BCD





BC BD ? sin ?BDC sin ?

???????4 分
A B D

因为 ?ADC ? ?BDC ? π ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC 因为

???????6 分 ???????7 分

AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? DB 3 BC 3sin ?
π π ,? ? , 6 2

(Ⅱ)因为 ? ?

π AC sin 2 3 ? ? 由(Ⅰ)得 BC 3sin π 2 6
设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 ,由余弦定理,

???????9 分

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB
代入,得到 19 ? 4k ? 9k ? 2 ? 2k ? 3k ? cos
2 2

???????11 分

2π , 3
???????13 分

解得 k ? 1 ,所以 BC ? 3 .

16 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数

x?

3.6 ? 4.4 ? 4.4 ? 3.6 ?4 4

???????2 分

则山下试验田 100 株青蒿的青蒿素产量 S 估算为

S ? 100 x ? 400 g
2 2

???????3 分
2 2

(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 s1 和 s2 ,结果为 s1 ? s2 . ???????6 分

7.4,, 8 8.2, 8.6, 9.4 , (Ⅲ)依题意,随机变量 ? 可以取 7.2,

???????7 分

P (? ? 7.2) ?

1 1 , P (? ? 7.4) ? 4 8 P(? ? 8.2) ? 1 8
???????9 分

P(? ? 8) ?

1 , 4

P(? ? 8.6) ?

1 1 , P (? ? 9.4) ? 8 8

随机变量 ? 的分布列为

?
p

7.2 7.4 8

8.2 8.6 9.4

1 4

1 8

1 4

1 8

1 8

1 8
???????11 分

随机变量 ? 的期望 E (? ) ? 7.2 ?

1 1 1 1 1 1 ? 7.4 ? +8 ? +8.2 ? +8.6 ? +9.4 ? =8 . 4 8 4 8 8 8
???????13 分

17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC , 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC . 因为 AB ? PA ? A ,且 AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB (Ⅱ)证明:因为 BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? PB 在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN ? BC . 在正方形 ABCD 中, AD ? BC , 所以 MN ? AD , ???????6 分 ???????7 分 ???????5 分 ???????4 分 ???????1 分 ???????2 分

? AD 可以确定一个平面,记为 ? 所以 MN ,
所以 M , N , D, A 四个点在同一个平面 ? 内 (Ⅲ)因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又 AB ? AD , 如 图 , 以 A 为 原 点 , AB, AD, AP 所 在 直 线 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ???????8 分

A ? xyz ,
所以 C (2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0,2) . 设平面 DAN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???????9 分
z P

?

M

N D y

?? 平面 CAN 的一个法向量为 m ? (a, b, c) ,
???? ??? ? 设 PN ? ? PC , ? ? [0,1] ,
因为 PC ? (2,2, ?2) ,所以 AN ? (2?,2?,2 ? 2? ) ,

A B x C

??? ?

????

???? ? ? ???? ?2? x ? 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? AN ? n ? 0 又 AD ? (0,2,0) ,所以 ? ???? ? ,即 ? ,???????10 分 ? ?2 y ? 0 ? AD ? n ? 0
取 z ?1, 得到 n ? (

?

? ?1 ,0,1) , ?
????

???????11 分

因为 AP ? (0,0,2) , AC ? (2,2,0)

??? ?

??? ? ?? ? ?2c ? 0 ? AP ? m ? 0 所以 ? ???? ?? ,即 ? , ? ?2a ? 2b ? 0 ? AC ? m ? 0

取 a ? 1 得, 到 m ? (1, ?1,0) , 因为二面 C ? AN ? D 大小为

??

???????12 分

?? ? ? π 1 , 所以 | cos ? m, n ?|? cos ? , 3 3 2

?? ? ?? ? m?n ? ? 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ?? | m || n |
1 , 所以 PN ? 3 2

? ?1 1 ? ? 2 ? ?1 2 2 ( ) ?1 ?
???????14 分 ???????1 分 ???????2 分

解得 ? ?

18 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f '( x ) ?

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 x x x

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1, ??)

f '( x) f ( x)

?
?

0
极小值

?
?
???????4 分

函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极小值为 f ( a ) ? ln1 ? 所以 f ( x ) 的最小值为 0

1 ?1 ? 0 , 1
???????5 分 ???????6 分

(Ⅱ)解:函数 g ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1, ??) ,

1 1 ln x ? ? 1 f ( x) x ? x g '( x) ? ? 2 2 2 ln x ln x ln x 由(Ⅰ)得, f ( x ) ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ln x ? ( x ? 1)
所以 g ( x) 的单调增区间是 (0,1), (1, ??) ,无单调减区间. (Ⅲ)证明:假设直线 y ? x 是曲线 g ( x) 的切线.

???????7 分 ???????8 分 ???????9 分 ??????10 分

ln x0 ?
设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 g '( x0 ) ? 1 ,即

1 ?1 x0 ?1 ln 2 x0

???????11 分

又 y0 ?

x0 ? 1 x ?1 , y0 ? x0 ,则 0 ? x0 . ln x0 ln x0 x0 ? 1 1 ? 1 ? , 得 g '( x0 ) ? 0 ,与 g '( x0 ) ? 1 矛盾 x0 x0

???????12 分

所以 ln x0 ?

所以假设不成立,直线 y ? x 不是曲线 g ( x) 的切线

???????13 分

19 解:(Ⅰ)由题意可得, b ? 1 ,

???????1 分 ???????2 分

e?

c 3 , ? a 2

a2 ?1 3 ? , 得 a2 4
解a ? 4,
2

???????3 分

???????4 分

椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

???????5 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

???????6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

???????7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ), x0
2

???????8 分

所以圆的方程为 ( x ? 4) ? ( y ?

4 y0 2 4 ) ? (1 ? )2 , x0 x0

???????9 分

2 16 y0 x 2 令 y ? 0 ,则 ( x ? 4) ? 2 ? (1 ? 0 ) , x0 4 2
2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4

???????10 分

因为

???????11 分

所以 ( x ? 4) ?
2

8 ?5 ? 0, x0

因为这个圆与 x 轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

???????12 分

设交点坐标 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,则 | x1 ? x2 |? 2 5 ? 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

8 8 ( ? x0 ? 2 ) x0 5
???????14 分

方法二:(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

???????6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

???????7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4, 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交, 则[

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1] ? [ 0 ? 1] ? 0 , x0 x0

???????9 分

2 16( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? ? ? 1 ? 0, 2 x x x 0 0 0 即 2 16( y0 ? 1) 8 ? ? 1 ? 0. 2 x0 x0



???????10 分

2 2 x0 y0 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 因为 ?? , 2 4 x0 4

???????11 分

代入得到 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

???????12 分

该圆的直径为 |

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) 8 +1 ? ( 0 ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0

圆心到 x 轴的距离为 |

4( y ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( 0 ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5 ? , ( ? x ? 2) ; x0 x0 x0 5
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

方法三: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

???????6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

???????7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

所以 |MN |=|

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 8 +1 ? ( ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0 4( y ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( 0 ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0 4y 4 |? | 0 | , x0 x0

???????8 分

圆心到 x 轴的距离为 |

???????9 分

若该圆与 x 轴相交,则 |1 ?

???????10 分

即 (1 ?

4 2 4 y0 2 ) ?( ) ? 0, x0 x0
2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4

因为

???????11 分

所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] 5 x0

???????12 分

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5? ? 2 5 ? =2 ; x0 x0 x0 2
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

0) , H (4, 0) ,设 P( x0 , y0 ) 方法四: 记 D (2,
由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

M (4, m) N (4, n)

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) ?1 , x0 4( y0 ? 1) ?1 , x0
……………………….8 分

n?

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
……………………….9 分

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F , 因为 EH ? MN , 所以 EH 2 ? HN ? HM ,

EH 2 ? HN ? HM ? ?(

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1) ? ( ? 1) x0 x0
……………………….10 分

? ?(

16 y0 2 ? 16 ? 8 x0 ? x02 ) x02

因为

2 y2 ?1 1 x0 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , x0 4 4

……………………….11 分

代入得到 EH 2 ? ? 所以 x0 ? ( , 2] ,

8 x0 ? 5 x02 ?0 x02
……………………….12 分

8 5

所以 EF ? 2EH ? 2 5 ?

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 方法五: 设直线 OP 与 x ? 4 交于点 T 因为 MN //y 轴,所以有 所以

???????14 分

AP AO OP BP BO OP ? ? , ? ? , PN TN PT PM TM PT
……………………….6 分

AO BO ? ,所以 TN ? TM ,所以 T 是 MN 的中点. TN TM

又设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , 所以直线 OP 方程为 y ?

y0 x, x0

……………………….7 分

令 x ? 4 ,得 y ?

4 y0 4 y0 , 所以 T (4, ) x0 x0

……………………….8 分

而 r ? TN ?

4 ?1 x0

……………………….9 分

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F 则 d ?|

4 y0 4 |? r ? ? 1 x0 x0

……………………….10 分

2 2 所以 16y0 ? ( x0 ? 4)

2 2 y0 ?1 1 x0 2 因为 ? y0 ? 1,所以 2 ? ? ,代入得到 x0 4 4
2 所以 5x0 ? 8 x0 ? 0 ,所以 x0 ?

……………………….11 分

8 或 x0 ? 0 5
……………………….12 分

因为点 0 ? x0 ? 2 ,所以 ? x0 ? 2 而 EF ? 2 r ? d ? 2 (
2 2

8 5

4 4y ? 1)2 ? ( 0 )2 x0 x0

? 2 5?

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 20 解: (I)依照题意,可以取 A ? ?5,7? , B ? ?4,8? , C ? ?1,2,3,6? (II)假设存在 n 是 3 的倍数且 U n 是可分集合. 设 n ? 3k ,则依照题意 {3,6, ???,3k} ? C ,

???????3 分

故 SC ? 3 ? 6 ? ??? ? 3k ? 而这 n 个数的和为

3k 2 ? 3k , 2

n (1 ? n ) 1 n(1 ? n) 3k 2 ? k 3k 2 ? 3k ? ? ,故 SC ? ? , 矛盾, 2 3 2 2 2
???????7 分 ???????8 分

所以 n 是 3 的倍数时, U n 一定不是可分集合 (Ⅲ) n ? 35. 因为所有元素和为

n (1 ? n ) n (1 ? n ) ? 3S B = 6 m ( m 为正整数) ,又 SB 中元素是偶数,所以 2 2

所以 n(1 ? n ) ? 12m ,因为 n, n ? 1 为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数 由(Ⅱ)知道, n 不是 3 的倍数,所以一定有 n ? 1 是 3 的倍数. 当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,而 n(1 ? n ) ? 12m , 所以一定有 n ? 1 既是 3 的倍数,又是 4 的倍数,所以 n ? 1 ? 12k , 所以 n ? 12k ? 1, k ? N .
*

???????10 分

定义集合 D ? {1,5,7,11,...} ,即集合 D 由集合 U n 中所有不是 3 的倍数的奇数组成, 定义集合 E ? {2,4,8,10,...} ,即集合 E 由集合 U n 中所有不是 3 的倍数的偶数组成, 根据集合 A, B, C 的性质知道,集合 A ? D, B ? E ,
2 此时集合 D, E 中的元素之和都是 24k ,而 S A ? S B ? SC ?

1 n(1 ? n ) ? 24k 2 ? 2k , 3 2

此时 U n 中所有 3 的倍数的和为

(3 ? 12k ? 3)(4k ? 1) ? 24k 2 ? 6k , 2

24k 2 ? (24k 2 ? 2k ) ? 2k , (24k 2 ? 2k ) ? (24k 2 ? 6k ) ? 4k
显然必须从集合 D, E 中各取出一些元素,这些元素的和都是 2 k , 所以从集合 D ? {1,5,7,11,...} 中必须取偶数个元素放到集合 C 中,所以 2k ? 6 , 所以 k ? 3 ,此时 n ? 35 而令集合 A ? {7,11,13,17,19,23,25,29,31,35} , 集合 B ? {8,10,14,16,20,22,26,28,32,34} , 集合 C ? {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4} , 检验可知,此时 U 35 是可分集合, 所以 n 的最小值为 35 . ???????13 分

北京市西城区 2016 年高三一模试卷


要求的一项.

学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2016.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

2 1.设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 0} ,集合 B ? {n | n ? 2k ?1, k ? Z} ,则 A ? B ? (



(A) {?1,1}

(B) {1,3}

(C) {?3, ?1}

(D) {?3, ?1,1,3}
? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ?y ? 2 sin ? (? 为参数) ,则曲线 C 是(

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (A)关于 x 轴对称的图形 (C)关于原点对称的图形



(B)关于 y 轴对称的图形 (D)关于直线 y ? x 对称的图形 )

3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( (A) y ? x ? f ( x) (B) y ? xf ( x) (C) y ? x2 ? f ( x)

(D) y ? x2 f ( x)

??? ? ??? ? 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =( ? 1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点能构成三角形,

则(

) (B) m ? ?4 (C) m ? 1 (D) m ? R )

开始 输入 A, S

(A) m ? ?4

5. 执行如图所示的程序框图,若输入的 A, S 分别为 0, 1,则输出的 S ? ( (A)4 (B)16 (C)27 (D)36 )

k ?1

A ? A? k
k ?k?2
S ?S?A
k≥4

1 6. 设 x ? (0, ) ,则“ a ? (??, 0) ”是“ log 1 x ? x ? a ”的( 2 2
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 B)必要而不充分条件



(D)既不充分也不必要条件

是 输出 S 结束

7. 设函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ( A , ? ,? 是常数, A ? 0 ,? ? 0 ),且函数

f ? x ? 的部分图象如图所示,则有(
(A) f (?



y

3π 5π 7π )? f( )? f( ) 4 3 6
O
π 12
5π 6

x

3π 7π 5π )? f( )? f( ) 4 6 3 5π 7π 3π (C) f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 3 6 4 5π 3π 7π (D) f ( ) ? f (? ) ? f ( ) 3 4 6
(B) f (?

8. 如 图 , 在 棱 长 为 a(a > 0 )的 正 四 面 体 A B C D中 , 点 B1 , C 1, D 1分 别 在 棱
AB , AC , AD 上,且平面 B1C1D1 // 平面 BCD , A1 为 D BCD 内一点,记三棱锥

A B1 B C C1 D A1 D1

A1 - B1C1D1 的体积为 V,设
(A)当 x = 减函数

AD1 = x ,对于函数 V = f ( x) ,则( AD



2 时,函数 f ( x) 取到最大值 3

1 (B)函数 f ( x) 在 ( ,1) 上是 2

(C)函数 f ( x) 的图象关于直线 x = (D)存在 x0 ,使得 f ( x0 ) >

1 对称 2

1 VA- BCD (其中 VA- BCD 为四面体 ABCD 的体积) 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则

z1 ? ____. z2

10.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , a3 ? ?3 ,a2 ? a4 ? 5 ,则 an ? ____;记 {an } 的 前 n 项和为 Sn ,则 Sn 的最小值为____. 11. 若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1与双曲线 C: 2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线相切, 则 a ? _____; 双曲线 C 的渐近线方程是____. 12. 一个棱长为 4 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如 图所示,则该截面的面积是____. 13. 在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等 5 人报名参加了 A, B, C 三个项目的志愿者工作,因工作需要, 每个项目仅需 1 名志愿者,且甲不能参加 A, B 项目,乙不能参加 B, C 项目,那么共有____种不 同的选拔志愿者的方案.(用数字作答) 14. 一辆赛车在一个周长为 3 km 的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图 1 反映了赛车 s B 俯视图 2 正(主)视图 2 侧(左)视图

x2 a

在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.

s

A

s C

s s

D

(图 1) 根据图 1,有以下四个说法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○

(图 2)

在这第二圈的 2.6 km 到 2.8 km 之间,赛车速度逐渐增加; 在整个跑道中,最长的直线路程不超过 0.6 km; 大约在这第二圈的 0.4 km 到 0.6 km 之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶; 在图 2 的四条曲线(注:S 为初始记录数据位置)中,曲线 B 最能符合赛车的运动轨迹.

其中,所有正确说法的序号是_____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 设 A ? (Ⅰ)若 a ? 7 ,求 b 的值; (Ⅱ)求 tan C 的值.

π , sin B ? 3sin C . 3

16.(本小题满分 13 分) 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试, 现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩, 整理数据并按分数 段 [40,50) ,[50, 60) ,[60, 70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 各 14 分 12 数 10 段 8 人 6 数 4
2 O
? ? ?

?

? ? ?

45

55

65

75

85
? ?

?

95

体育成绩

进行分组, 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 则得到体育成绩的折线图 (如下) .

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有 1000 名 学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ) 为分析学生平时的体育活动情况, 现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生中随机抽 取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a, b, c ,且分别在 [70,80) ,[80,90) ,[90,100] 三 组中,其中 a,b,c ? N .当数据 a, b, c 的方差 s 2 最小时,写出 a, b, c 的值.(结论不要求证明)

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n

17.(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形, AD //BC ,?BAD ? 90? ,四边形 CC1D1D 为矩形,已知 AB ? BC1 ,
AD ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 .

(Ⅰ)求证: BC1 // 平面 ADD1 ; (Ⅱ)若 DD1 ? 2 ,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦 值; (Ⅲ)设 P 为线段 C1 D 上的一个动点(端点除外),判断直线 BC1 与 直线 CP 能否垂直?并说明理由. B C A C1

D1

D

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? xe x ? ae x?1 ,且 f ?(1) ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ( x) 的单调区间;
2 ( Ⅱ ) 若 关 于 x 的 方 程 f ( x) ? kx ? 2 ( k ? 2) 存 在 两 不 相 等 个 正 实 数 根 x1 , x2 , 证 明 :

| x1 ? x2 |? ln

4 . e

19.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C : mx2 ? 3my 2 ? 1(m ? 0) 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)设点 A(3,0) ,动点 B 在 y 轴上,动点 P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,若 | BA |?| BP | , 求四边形 OPAB 面积的最小值.

20.(本小题满分 13 分) 设数列 {an } 和 {bn } 的项数均为 m,则将数列 {an } 和 {bn } 的距离定义为 ? | ai ? bi | .
i ?1 m

(Ⅰ)给出数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离; (Ⅱ) 设 A 为满足递推关系 an ?1 ?
1 ? an 的所有数列 {an } 的集合,{bn } 和 {cn } 为 A 中的两个元素, 1 ? an

且项数均为 m,若 b1 ? 2 , c1 ? 3 , {bn } 和 {cn } 的距离小于 2016 ,求 m 的最大值; (Ⅲ)记 S 是所有 7 项数列 {an |1≤n≤7, an ? 0 或 1} 的集合,T ? S ,且 T 中任何两个元素的距 离大于或等于 3,证明: T 中的元素个数小于或等于 16.

北京市西城区 2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
2016.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.A 6 .A 3.B 7.D 4.B 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 11. 3 13.21 10. 2n ? 9

?16

y??

3 x 3

12. 6 14.○ 1 ○ 4

注:第 10,11 题第一问 2 分,第二问 3 分;第 14 题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理 得 b ? 3c . 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 A ? 得 7 ? b2 ? c 2 ? bc ,

a b c ? ? , sin A sin B sin C
??????3 分

π ,a ? 7 , 3

??????5 分

b b2 所以 b 2 ? ( ) 2 ? ? 7 , 3 3
解得 b ? 3 . (Ⅱ)解:由 A ? 所以 sin( 即 ??????7 分

2π π ?C . ,得 B ? 3 3
??????8 分 ??????11 分

2π ? C ) ? 3sin C . 3

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C , 2 2 3 5 所以 cos C ? sin C , 2 2

所以 tan C ?

3 . 5

??????13 分

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人,??????2 分 所以该校高一年级学生中,“体育良好”的学生人数大约有1000 ? (Ⅱ)解:设 “至少有 1 人体育成绩在 [60,70) ”为事件 A , 由题意,得 P( A) ? 1 ?
2 C3 3 7 ? 1? ? , 2 C5 10 10

30 ? 750 人. ??4 分 40

??????5 分

因此至少有 1 人体育成绩在 [60,70) 的概率是

7 . 10

??????9 分 ??????13 分

(Ⅲ)解: a , b , c 的值分别是为 79 , 84 , 90 ;或 79 , 85 , 90 .

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:由 CC1D1D 为矩形,得 CC1 //DD1 , 又因为 DD1 ? 平面 ADD1 , CC1 ? 平面 ADD1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 , 同理 BC // 平面 ADD1 , 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 // 平面 ADD1 , 又因为 BC1 ? 平面 BCC1 , 所以 BC1 // 平面 ADD1 . (Ⅱ)解:由平面 ABCD 中, AD //BC , ?BAD ? 90? ,得 AB ? BC , 又因为 AB ? BC1 , BC ? BC1 ? B , 所以 AB ? 平面 BCC1 , 所以 AB ? CC1 , 又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点, ?????? 4 分 ?????? 3 分 ?????? 2 分

所以 CC1 ? 平面 ABCD , 因为 CC1 //DD1 , 所以 DD1 ? 平面 ABCD . 过 D 在底面 ABCD 中作 DM ? AD ,所以 DA, DM , DD1 两两垂直,以 DA, DM , DD1 分 别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系, ?????? 6 分

则 D (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B (4, 2, 0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, 2) , D1 (0, 0, 2) , 所以 AC1 ? (?1, 2, 2) , AD1 ? (?4, 0, 2) . 设平面 AC1D1 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

????

????

???? ? ???? ? ?? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 由 m ? AC1 ? 0 , m ? AD1 ? 0 ,得 ? ??4 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?3, 4) . ??????8 分 易得平面 ADD1 的法向量 n ? (0,1, 0) . 所以 cos ? m, n ??
x A

z D1 C1 P D

m?n 3 29 . ?? | m || n | 29

B

C

y

即平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为 (Ⅲ)结论:直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

3 29 . 29

??????10 分 ??????11 分

??? ? ???? ? 证明:设 DD1 ? m(m ? 0) , DP ? ? DC1 (? ? (0,1)) ,
由 B(4, 2,0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, m) , D(0,0,0) ,

???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 得 BC1 ? (?1,0, m) , DC1 ? (3,2, m) , DP ? ? DC1 ? (3?,2?, ?m) , CD ? (?3, ?2,0) , ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CD ? DP ? (3? ? 3,2? ? 2, ?m) .
??????12 分

???? ? ??? ? 若 BC1 ? CP ,则 BC1 ? CP ? ?(3? ? 3) ? ?m2 ? 0 ,即 (m2 ? 3)? ? ?3 ,
因为 ? ? 0 , 所以 m2 ? ?

3

?

? 3 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,这与 0 ? ? ? 1 矛盾.
??????14 分

所以直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? (1 ? x)e x ? ae x?1 , 所以 f ?(1) ? 2e ? a ? e ,解得 a ? e . 故 f ( x) ? xex ? e x , f ?( x) ? xex . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示: ??????2 分 ??????3 分

x

(??, 0)

0 0

(0, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


?
↗ ??????5 分

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, 0) ,单调增区间为 (0, ??) . (Ⅱ)解:方程 f ( x) ? kx2 ? 2 ,即为 ( x ?1)e x ? kx2 ? 2 ? 0 , 设函数 g ( x) ? ( x ?1)e x ? kx2 ? 2 . 求导,得 g?( x) ? xex ? 2kx ? x(e x ? 2k ) . 由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? ln(2k ) . 所以当 x ? (0, ??) 变化时, g ?( x) 与 g ( x) 的变化情况如下表所示:

??????6 分

??????7 分

x
g ?( x)
g ( x)

(0, ln(2k ))

ln(2k )

(ln(2k ), ??)

?


0

?
↗ ??????9 分

所以函数 g ( x) 在 (0, ln(2k )) 单调递减,在 (ln(2k ), ??) 上单调递增. 由 k ? 2 ,得 ln(2k ) ? ln 4 ? 1 . 又因为 g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 g (ln(2k )) ? 0 . 不妨设 x1 ? x2 (其中 x1 , x2 为 f ( x) ? kx2 ? 2 的两个正实数根),

因为函数 g ( x) 在 (0, ln 2k ) 单调递减,且 g (0) ? 1 ? 0 , g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 0 ? x1 ? 1. 同理根据函数 g ( x) 在 (ln 2k , ??) 上单调递增,且 g (ln(2k )) ? 0 , ??????11 分

可得 x2 ? ln(2k ) ? ln 4 ,

4 所以 | x1 ? x2 |? x2 ? x1 ? ln 4 ? 1 ? ln , e 4 即 | x1 ? x2 |? ln . e

??????13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,椭圆 C:
x2 y2 ? ?1, 1 1 m 3m

??????1 分

所以 a 2 ? 故 2a ? 2

1 1 , b2 ? , m 3m
1 1 ? 2 6 ,解得 m ? , m 6
x2 y 2 ? ?1. 6 2
??????3 分

所以椭圆 C 的方程为

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 , 所以离心率 e ?
c 6 ? . a 3

??????5 分

(Ⅱ)解:设线段 AP 的中点为 D , 因为 | BA |?| BP | ,所以 BD ? AP , 由题意,直线 BD 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 则点 D 的坐标为 ( ??????7 分

x0 ? 3 y0 , ), 2 2
y0 , x0 ? 3 3 ? x0 1 ? , k AP y0 y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ). 2 y0 2
??????10 分 ??????8 分

且直线 AP 的斜率 k AP ?

所以直线 BD 的斜率为 ?

所以直线 BD 的方程为: y ?

令 x ? 0 ,得 y ?

2 2 2 x0 ? y0 ?9 x 2 ? y0 ?9 ), ,则 B(0, 0 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,得 x0 ? 6 ? 3 y0 , 6 2

化简,得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

??????11 分

所以四边形 OPAB 的面积 SOPAB ? S?OAP ? S?OAB
?
2 ?2 y0 ?3 1 1 ? 3? | y0 | ? ? 3? | | 2 2 2 y0

??????12 分

2 ?2 y0 ?3 3 ? (| y0 | ? | |) 2 2 y0

3 3 ? (2 | y0 | ? ) 2 2 | y0 |
3 3 ≥ ? 2 2 | y0 | ? 2 2 | y0 |
? 3 3.

当且仅当 2 y0 ?

3 3 ? [? 2, 2] 时等号成立. ,即 y0 ? ? 2 y0 2
??????14 分

所以四边形 OPAB 面积的最小值为 3 3 .

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离为 7. (Ⅱ)解:设 a1 ? p ,其中 p ? 0 ,且 p ? ?1 . 由 an ?1 ?
1 ? an 1? p 1 p ?1 ,得 a2 ? , a3 ? ? , a4 ? , a5 ? p , 1 ? an 1? p p p ?1

??????2 分

所以 a1 ? a5 , 因此 A 中数列的项周期性重复,且每隔 4 项重复一次. 所以 {bn } 中, b4k ?3 ? 2 , b4 k ? 2 ? ?3 , b4k ?1 ? ? , b4 k ? 所以 {cn } 中, c4 k ?3 ? 3 , c4 k ? 2
k ?1 i ?1 k

??????4 分

1 1 ( k ? N* ), 2 3 1 1 ? ?2 , c4 k ?1 ? ? , c4k ? ( k ? N* ). ?????5 分 3 2

由 ? | bi ? ci |≥? | bi ? ci | ,得项数 m 越大,数列 {bn } 和 {cn } 的距离越大.
i ?1

由 ? | bi ? ci | ?
i ?1 3456 i ?1

4

7 , 3
4?864 i ?1

??????6 分

得 ? | bi ? ci | ?

? | b ? c | ? 3 ? 864 ? 2016 .
i i m i ?1

7

所以当 m ? 3456 时, ? | bi ? ci | ? 2016 . 故 m 的最大值为 3455 . (Ⅲ)证明:假设 T 中的元素个数大于或等于 17 个. 因为数列 {an } 中, ai ? 0 或 1 , 所以仅由数列前三项组成的数组 (a1 , a2 , a3 ) 有且只有 8 个:(0, 0, 0) ,(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) , ??????8 分

(1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1) .
那么这 17 个元素(即数列)之中必有三个具有相同的 a1 , a2 , a3 . ??????10 分

设这三个数列分别为 {cn }:c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 ; {dn }:d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 , d7 ;

{ f n }:f1 , f 2 , f 3 , f 4f, f c1 ? d1 ? f1 , c2 ? d 2 ? f 2 , c3 ? d3 ? f3 . 5 , f6 ,,其中 7
因为这三个数列中每两个的距离大于或等于 3, 所以 {cn } 与 {dn } 中, ci ? di (i ? 4,5,6,7) 中至少有 3 个成立. 不妨设 c4 ? d4 , c5 ? d5 , c6 ? d6 . 由题意,得 c4 , d 4 中一个等于 0,而另一个等于 1. 又因为 f 4 ? 0 或 1 , 所以 f 4 ? c4 和 f 4 ? d 4 中必有一个成立, 同理,得 f5 ? c5 和 f5 ? d5 中必有一个成立, f6 ? c6 和 f6 ? d6 中必有一个成立, 所以“ fi ? ci (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立”或“ fi ? di (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立”中必有 所以 ? | fi ? ci |≤2 和 ? | fi ? di |≤2 中必有一个成立.
i ?1 i ?1 7 7

一个成立.

这与题意矛盾, 所以 T 中的元素个数小于或等于 16. ??????13 分

北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (理科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回。

第Ⅰ卷(选择题
项。 (1)已知复数 i ? (1+a i ) 为纯虚数,那么实数 a 的值为 (A) ?1 (B) 0

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一

(C) 1

(D) 2

2 (2)集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? 5x ? 0} ,若 A I B ? B ,则 a 的取值范围是

(A) a ? 5

(B)

a?4

(C)

a?5
开始

(D) a ? 4

(3)某单位共有职工 150 名,其中高级职称 45 人, 中级职称 90 人,初级职称 15 人.现采用分层 抽样方法从中抽取容量为 30 的样本,则各职称 人数分别为 (A) 9,18,3 (C) 10,17,3 (B) 10,15,5 (D) 9,16,5

k=0,s=0 k=k+1 k<4 是

s ? 2k ? s

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)


输出 s

1 2
2

(B) 1

(C)

(D) 4

结束

(5)在极坐标系中,直线 ? sin ? ? ? cos? ? 1 被曲线 ? ? 1 截得的线段长为

(A)

1 2

(B) 1

(C)

2 2

(D) 2

(6)一个几何体的三视图如图所示,那么该几 何体的最长棱长为 (A) 2 (B) 2 2 2 正(主)视图 2 1 1 侧(左)视图

(C) 3

(D) 10

(7)已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)那么以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的 短轴长为 (A) 3 (B) 6 ( C) 9

(D)12

(8)已知 e1 ,e2 为平面上的单位向量, e1 与 e 2 的起点均为坐标原点 O , e1 与 e 2 夹角为

? . 平面区 3

?? ? ? ? 1, uu u v ? 域 D 由所有满足 OP ? ?e1 ? ?e2 的点 P 组成,其中 ? 0 ? ? , ,那么平面区域 D 的面积为 ? 0?? ?
(A)

1 2

(B) 3

(C)

3 2

(D)

3 4

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)在 ( 2 x ?

1 5 ) 的展开式中, x 3 的系数值为__.(用数字作答) 4x

A

(10)已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ga4 ? 32 ,那么 a8 的值为 . O (11)如图,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,若 CP ? AC , 则 ?COA ? __; AP ? . C

P

B

(12)若 sin(

?

3 ? ? ? ) ? , 且 ? ? (0, ) ,则 sin 2? 的值为 . 4 5 4

(13)某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表: 货物 甲 乙 运输限制 体积(升/件) 20 10 110 重量(公斤/件) 10 20 100 利润(元/件) 8 10

在最合理的安排下,获得的最大利润的值为__. ( 14 )已知函数 f ( x) ? ln x ,关于 x 的不等式 f ( x) ? f ( x0 ) ? c( x ? x0 ) 的解集为 (0, ?? ), 其中

x0 ? (0, ??), c 为常数. 当 x0 ? 1 时, c 的取值范围是___;当 x0 ?

1 时, c 的值是___; 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 在△ ABC 中, BC ? 2 2 , AC ? 2 ,且 cos ? A ? B ? ? ? (Ⅰ)求 AB 的长度; (Ⅱ)若 f ( x) ? sin(2 x ? C) ,求 y ? f ( x) 与直线 y ?

2 . 2

3 相邻交点间的最小距离. 2

(16)(本小题共 14 分) 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , A1A ? 底 面 A B C,

?BAC ? 90? , A1A ? 1 , AB ? 3 , AC ? 2 , E 、 F 分别为棱

C1C 、 BC 的中点.
(Ⅰ)求证 AC ? A1B ; (Ⅱ)求直线 EF 与 A1 B 所成的角; (Ⅲ)若 G 为线段 A1 A 的中点, A1 在平面 EFG 内的射影为 H ,求 ?HA 1A .

(17)(本小题共 13 分) 现有两个班级,每班各出 4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注: 每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间如图表所示,现只 有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能. 比赛项目 平均比赛时间 男单 25 分钟 女单 20 分钟 混双 35 分钟

(I)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率; (II)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行; (III)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).

(18)(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? ae ? x ? 1 , a ? R .
x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 x ? (0,??) 时, ln

ex ?1 x ? . x 2

(19)(本小题共 13 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,焦点 F ,O 为坐标原点,直线 AB (不垂直 x 轴)过点 F 且 与抛物线 C 交于 A, B 两点,直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ? p . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若 M 为线段 AB 的中点,射线 OM 交抛物线 C 于点 D ,求证:

OD OM

?2.

(20)(本小题共 13 分) 数 列 {an } 中 , 给 定 正 整 数 m (m ? 1) , V (m) ?

?a
i ?1

m -1

i ?1

? a i . 定 义 : 数 列 {an } 满 足

{an } 的前 m 项单调不增. ai ?1 ? ai (i ? 1 , 2 L, L m,? ,称数列 1)
(Ⅰ)若数列 {an } 通项公式为: an ? (?1)n, (n ? N * ) ,求 V (5) .
* (Ⅱ)若数列 {an } 满足: a1 ? a, am ? b, (m ? 1, m ? N , a ? b) ,求证 V (m) ? a ? b 的充分必

要条件是数列 {an } 的前 m 项单调不增. (Ⅲ)给定正整数 m (m ? 1) ,若数列 {an } 满足: an ? 0, (n ? 1, 2,L L , m) ,且数列 {an } 的前 m 项和 m ,求 V ( m ) 的最大值与最小值.(写出答案即可)
2

北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1) B (2) A (3) A (4) C (5) D (6) C (7) B (8) D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 20 (14) (10) 128 (11)

? , 3 3

(12)

7 (13) 62 25

??1, 0 ? , ?2 .

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(本小题共 13 分)

解:(Ⅰ) Q

cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ? ?

2 2
??3 分

? C ? 450

Q BC ? 2 2 , AC ? 2 ,
? AB2 ? AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC cos C ? (2 2)2 ? 22 ? 8 2 cos450 ? 4
? AB ? 2
(Ⅱ)由 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 解得 2 x ? ??7 分

? 4

3 , 2

? ? ? 2? ? 2 k ? ? 或 2 x ? ? 2k ? ? ,k ?Z , 4 3 4 3 ? 5? 或 x2 ? k2 ? ? , k1 , k2 ? Z . 24 24

解得 x1 ? k1? ?

因为 x1 ? x2 ? (k1 ? k2 )? ? 所以 当 f ( x ) ? (16)(共 14 分)

? ? ≥ ,当 k1 ? k2 时取等号, 6 6
???????13 分

? 3 时,相邻两交点间最小的距离为 . 6 2

(Ⅰ)证明 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , AA1 ? 底面 ABC 所以 AC ? AA1 .
z

? 因为 ?BAC ? 90 ,

A1 G

C1

所以 AC ? AB . 因为 A1 A I AB ? A , 所以 AC ? 平面A 1 ABB1 .
B B1 A

E

C F

y

因为 A 1B ? 平面A 1 ABB1 , 所以 AC ? A1B . (Ⅱ)解 如图建立空间直角坐标系 A — xyz, 则 A1 ?0,0,1? , B 3, 0,0 ,

x

??4分

?

?

? 3 ? 1? ? , 1,0 ? E ? 0, 2, ? , F? ? ?. 2? ? ? 2 ?
所以 A1 B ?

? ? 3,0, ? 1?, EF ? ? ?

3 1? ,?1, ? ? . 2? ? 2 ?

所以 cos A1 B, EF ?
0

A1 B ? EF A1 B ? EF
0

?

2 . 2

因为 0 ? A1 B, EF ? 90 , 所以 直线 EF 与 A1 B 所成的角为 45°. (Ⅲ)解 设 G? 0, 0, ? ??9分

uuu r uuu r

? ?

1? 2?

则 GE ? ?0, 2, 0? ,

? 3 1? ?. GF ? ? , 1 , ? ? 2 ? 2 ? ?

AH 所在直线的向量与平面 GEF 的法向量平行.
v 设平面 GEF 的法向量为, n ? ( x, y, z ) ,
因为 ?

? ?n ? GE ? ?n ? GF



?2 y ? 0, ? 所以 ? 3 1 x ? y ? z ? 0. ? 2 ? 2
令z ?

3 ,则 n ? 1,0, 3 .
?1 3?

?

?

?. 所以 AH 所在直线的单位向量为 e ? ? ,0, ?2 2 ? ? ?
因为 AA1 ? (0,0,1) , 所以 cos AA 1, e ?

uuu v

3 . 2

因为 0 ? AA1 , e ? ? , 所以 ?HA1 A ?

uuu r r

?
6

.

.?14分

(17)(本小题共 13 分)
3 解:(I)三场比赛共有 A3 ? 6 种方式,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有 1 种,所

以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为

1 . 6

?3分

(II)令 A 表示女单比赛、B 表示男单比赛、C 表示混双比赛. 按 ABC 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:

t1 ? 20 ? 25 ? 45 (分钟).
按 ACB 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:

t2 ? 20 ? 35 ? 55 (分钟).
按 BAC 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:

t3 ? 20 ? 25 ? 45 (分钟).
按 BCA 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:

t4 ? 35 ? 25 ? 60 (分钟).
按 CAB 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:

t5 ? 35 ? 20 ? 55 (分钟).
按 CBA 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:

t6 ? 35 ? 25 ? 60 (分钟).
且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生概率为 .

1 ,所以平均等待时间为 6 45 ? 45 ? 55 ? 55 ? 60 ? 60 160 ?11 分 ? 6 3

(III)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少 ---------------------------------------------------------13 分 (18)(共 14 分)
x 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? e ? x ? 1 ,

x
f '( x)
f ( x)

? ??,0?
- ↘

0
0

? 0, ???
+ ↗

则 f '( x) ? e x ? 1 . 令 f '( x ) ? 0, 得 x ? 0.

0

所以 当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 ? ??,0? 上单调递减; 当 x ? 0 时, f '( x ) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 上单调递增; 当 x ? 0 时, f ( x)min ? f (0) ? 0 . ??4 分

(Ⅱ)因为 e ? 0 ,
x

所以 f ( x) ? aex ? x ?1 ? 0 恒成立,等价于 a ? 设 g ( x) ? 得 g ' ( x) ?

x ?1 恒成立. ex

x ?1 , x ? [0,??) , ex

e x ? ( x ? 1)e x ? x ? x , e2 x e

当 x ? [0,??) 时, g ' ( x) ? 0 , 所以 所以

g ( x) 在 [0,??) 上单调递减,

x ? (0,??) 时, g ( x) ? g (0) ? 1 .
x ?1 恒成立, ex
??11 分
x

因为 a ?

所以 a ? [1,??) .

ex ?1 x ? ,等价于 e x ? xe 2 ? 1 ? 0 . (Ⅲ)当 x ? (0,??) 时, ln x 2
设 h( x) ? e ? xe 2 ? 1 , x ? [0,??) .
x x

求导,得 h' ( x) ? e ? e 2 ?
x

x

x 2 x e ? e 2 (e 2 ? ? 1) . 2 2
x

x

x

x

由(Ⅰ)可知, x ? (0,??) 时, e ? x ? 1 ? 0 恒成立.
x x x 2 所以 x ? (0,??) 时, ? (0, ??) ,有 e ? ? 1 ? 0 . 2 2

所以 h ( x ) ? 0 .
'

所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,当 x ? (0,??) 时, h( x) ? h(0) ? 0 . 因此当 x ? (0,??) 时, ln

ex ?1 x ? . x 2

??14 分

(19)(共 13 分) 解:(Ⅰ)

因为直线 AB 过点 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点, F (

P , 0) , 2
p ) (k ? 0) . 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB (不垂直 x 轴)的方程可设为 y ? k ( x ? 所以 y12 ? 2 px1 ( p ? 0) , y22 ? 2 px2 . 因为直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ? p , 所以

y1 y2 ? ?p . x1 x2 y1 y2 2 ) ? p 2 ,得 x1 x2 ? 4 . x1 x2
消 y 得 k 2 x 2 ? (k 2 p ? 2 p ) x ? ??4 分

所以 (

p ? ? y ? k ( x ? ), 由? 2 2 ? ? y ? 2 px,

k 2 p2 ?0 4

其中 V? (k 2 p ? 2 p)2 ? k 2 p2k 2 ? 0 所以 x1 x2 ?

k 2 P ? 2P p2 , x1 ? x2 ? . k2 4
??8 分

2 所以 p ? 4 ,抛物线 C : y ? 8x .

(Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ), P( x3 , y3 ) ,因为 M 为线段 AB 的中点, 所以 x0 ?

4 1 k 2 P ? 2 P 2(k 2 ? 2) ( x1 ? x2 ) ? ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 2 k 2 2k k

所以直线 OD 的斜率为 kop ? 直线 OD 的方程为 y ? kop x ? 得 x3 ? 所以

y0 2k ? 2 . x0 k ? 2
2k x 代入抛物线 C : y 2 ? 8x 的方程, k ?2
2

2(k 2 ? 2) 2 . k2

x3 ? (k 2 ? 2) . x0
2

因为 k ? 0 , 所以

OD OM

?

x3 ? (k 2 ? 2) ? 2 . x0

??13 分

(20)(共 13 分)

解(Ⅰ) V (5)=8 .

??2 分

(Ⅱ)充分性:若数列 {an } 的前 m 项单调不增,即 am ? L L ? a2 ? a1 此时有:

V (m) ? ? ai ?1 ? a i ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? L L ? (am?1 ? am )
i ?1

m-1

? a1 ? am ? a ? b .
必要性:反证法,若数列 {an } 的前 m 项不是单调不增,则存在 i(1 ? i ? m ? 1) 使得

ai ?1 ? a i ,那么:
V (m) ? ? ai ?1 ? a i
i ?1 i -1 m-1

? ? ai ?1 ? a i ? ai ?1 ? ai ?
t ?1

t ?i ?1

?a

m

i ?1

? ai

? ai ? a1 ? (ai ?1 ? ai ) ? am ? ai ?1 ? am ? a1 ? ai ? ai ?1 ? (ai ?1 ? ai ) ? a ? b ? ai ?1 ? ai ? (ai ?1 ? ai ) .
由于 ai ?1 ? a i , a ? b, .

? a ? b ? ai?1 ? ai ? (ai?1 ? ai ) ? a? b .
与已知矛盾. (III)最小值为 0.此时 {an } 为常数列. 最大值为 ? ??9 分 ??10 分

?4 2 ? 2m

m ? 2, m ? 2.
??11 分

当 m ? 2 时的最大值:此时 a1 ? a 2 ? 4, (a1 , a 2 ? 0) ,

a1 ? a 2 ? 4 ? 0 ? 4 .
当 m ? 2 时的最大值:此时 a1 ? a 2 ?L L ? m , (a1 , a 2 ,L L , an ? 0) .
2

由 x ? y ? x ? y 易证, {an } 的值的只有是大小交替出现时,才能让 V ( m ) 取最大值. 不妨设: ai ?1 ? a i , i 为奇数, ai ?1 ? a i , i 为偶数. 当 m 为奇数时有:

V (m) ? ? ai ?1 ? a i
i ?1

m -1

? a1 ? a 2 ? a3 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a 4 ? L L ? am ? a m?1 ? 2? a i ?
i ?1 m m ( m ?1)/2

?
i ?1

a 2i

? 2? a i ? 2 m 2 .
i ?1

当 m 为偶数时同理可证.

??13 分

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷(理工类)2016.3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.

i 为虚数单位,复数

A. 1 ? i 2. 已知全集 U A. M ? N ? N 3. “

2i = 1? i B. ? 1 ? i

C. ? 1 ? i

2 ? R ,函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为 M ,集合 N ? x x ? x ? 0 ,则下列结论正确的是

?

D. 1 ? i

B. M ? ?U N ? ?
a b

?

?

C. M ? N ? U

D. M ? ?U N

?

?

?

a ? b ”是“ e ? e

”的

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.42 则角 B 的值为 A. B.19

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.8 D.3

4. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 5.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c. 若 (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ?

3ac ,

? 3

B.

? 6

C.

? 2? 或 3 3

D.

? 5? 或 6 6
B. 结余最高的月份是 7 月 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元

6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误 的是 .. A. 收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同

(注:结余=收入-支出)

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 A.

1 3
2 2

B.
2

1 2
11 2

C. 1

D.

3 2
13 2

8.若圆 x ? ( y ? 1) ? r 与曲线 ( x ? 1) y ? 1 的没有公共点,则半径 r 的取值范围是 A. 0 ? r ?

2

B. 0 ? r ?

C. 0 ? r ? 3

D. 0 ? r ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

1 ? )5 的展开式中含 x 4 的项的系数是 (用数字作答). x ? 10.已知等差数列 {a n } ( n ? N )中, a1 ? 1 , a4 ? 7 ,则数列 {a n } 的通项公式 an ? a2 ? a6 ? a10 ? ? ? a4 n ?10 ? ______.
9. 二项式 ( x
2



11.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 x 点 O 为极点,

2

? y 2 ? 2 ,曲线 C2 的参数方程为 ? ?


x ? 2 ? t, (t 为参数 ) .以原 ?y ? t

为 x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标 ... 12.不等式组 ?

? x ? 0, 所表示的平面区域为 D.若直线 ? y ? x, ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?

y ? a( x ? 1) 与区域 D 有公共点,则实数 a 的取值范

围是



13. 已知 M 为 ?ABC 所在平面内的一点,且 AM ? 取值范围是____.

???? ?

? ???? 1 ??? 若点 M 在 ?ABC 的内部(不含边界), 则实数 n 的 AB ? n AC . 4

14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第

i ( i ? 1, 2,?,12 )项能力特征用 xi 表示, xi ? ?

?0, 如果某学生不具有第i项能力特征, ? 1, 如果某学生具有第i项能力特征.

若学生 A, B 的十二项能力特征分别记为 A ? (a1 , a2 ,?, a12 ) , B ? (b1 , b2 ,?, b12 ) ,则 A, B 两名学生的不同能力 特征项数为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)若 ? (Ⅱ)若 (用 ai , bi 表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于 7 ,那么就说这两个同学的综 合能力差异较大.若该班有 3 名学生两两综合能力差异较大,则这 3 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为

? 1 ,求 f ( x) 的单调递增区间;

1 ?x 3 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos 2 ? ,? ? 0 . 2 2 2

? f ( ) ? 1 ,求 f ( x) 的最小正周期 T 的表达式并指出 T 的最大值. 3

16.(本小题满分 13 分)为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如 下表.

(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为 4 的概率? (Ⅱ) 若从阅读名著不少于 4 本的学生中任选 4 人, 设选到的男学生人数为 X , 求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差 s1 与女学生阅读名著本数的方差 s2 的大小(只需写出结论).
2 2

AA1B1B 中, ?A1 AB ? 90? , A1B1 // AB , AB ? AA1 ? 2 A1B1 ? 2 .直角梯形 AAC 1 为轴旋转得到,且使得平面 1 1C 通过直角梯形 AA 1B 1B 以直线 AA M 为线段 BC 的中点, P 为线段 BB1 上的动点. AAC 1 1C ? 平面 AA 1B 1B . (Ⅰ)求证: AC 1 1 ? AP ; A1 (Ⅱ)当点 P 是线段 BB1 中点时,求二面角 P ? AM ? B 的余 弦值; AMP ?请说明理由. (Ⅲ)是否存在点 P ,使得直线 AC 1 //平面 C1
17. (本小题满分 14 分)如图,在直角梯形

B1

P A C M B

18.(本小题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)当 x ?

f ( x) ? x ? a ln x, a ? R .

?1, 2? 时,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围;
y ? f ( x) 相切?并说明理由.

f ( x) 的单调区间;

(Ⅲ)试问过点 P(1 , 3) 可作多少条直线与曲线

x2 y 2 ? ? 1. 4 2 (Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为 F 1 , F2 ,试求 ?PF 1 F2 的周长及椭圆的离心率;
19.(本小题满分 14 分)已知点 P(

2,1) 和椭圆 C :

(Ⅱ)若直线 l

: 2x ? 2 y ? m ? 0(m ? 0) 与椭圆 C 交于两个不同的点 A , B ,直线 PA , PB 与 x 轴分别交

于 M , N 两点,求证:

PM ? PN



20( .本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的通项公式 an (Ⅰ)若 b1

? 3n ?1(n ? N? ) .设数列 {bn } 为等比数列,且 bn ? akn .

? a1 =2 ,且等比数列 {bn } 的公比最小, (ⅰ)写出数列 {bn } 的前 4 项; (ⅱ)求数列 {kn } 的通项公式;

(Ⅱ)证明:以 b1

? a2 ? 5 为首项的无穷等比数列 {bn } 有无数多个.

北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试数学答案(理工类) 2016.3 一、选择题:(满分 40 分) 题号 答案 题号 答案 9 10 1 D 2 D 3 A 4 B 11 5 C 12 6 D 13 7 A 8 C 14

二、填空题:(满分 30 分)

10

an ? 2n ? 1 , (n ? 3)(4n ? 11)

? ( 2, ) 4

3 (??, ] 4

3 (0, ) 4

?| a
i ?1

12

i

? bi |

22

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题:(满分 80 分) 15.解:(Ⅰ)当 ?

? 1 x 3 1 3 ? 1 时, f ( x) ? sin x ? 3 cos 2 ? ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) .令 3 2 2 2 2 2 ? ? ? 2k ? ? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z .解得 2k ? ? ?? ? x ? 2k ? ? ? , k ? Z .所以 f ( x) 的单调递增区间是 2 3 2 6 6
?? ? ,2k ? ? ], k ? Z .………7 分(Ⅱ)由 6 6

[2k ? ?

? 3 1 ?x 3 1 ? sin ? x ? cos ? x ? sin(? x ? ) . f ( x) ? sin ? x ? 3 cos 2 ? 3 2 2 2 2 2
1 ? ? f ( ) ? 1 ,所以 sin( ?? ? ? ) ? 1 .则 ?? ? ? ? 2n ?? , n ? Z .解得 ? ? 6 n ? .又因为函数 f ( x) 的 2 3 3 3 3 3 2 1 2? 最小正周期 T ? ,且 ? ? 0 ,所以当 ? ? 时, T 的最大值为 4 ? ……13 分 2 ? 16.解: (Ⅰ)设事件 A :从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为 4 .由
因为 题意可知, P ( A) ? 故 X 的取值为
4 1 0,1, 2,3, 4 .由题意可得 P( X ? 0) ? C4 ? 4

1? 3+4 ?1 7 = .……4 分(Ⅱ)阅读名著不少于 4 本的学生共 8 人,其中男学生人数为 4 人, 12 ? 8 96


C8

70

P( X ? 1) ?

1 3 C4 C4 16 8 ? ? ; C84 70 35

P( X ? 2) ?

CC 36 18 ; ? ? C84 70 35

2 4

2 4

P( X ? 3) ?

3 1 C4 C4 16 8 ; ? ? C84 70 35

P( X ? 4) ?

4 C4 1 . ? C84 70

所以随机变量 X 的分布列为

X P
随机变量 X 的均值 EX ? 0 ?

0
1 70

1
8 35

2
18 35

3
8 35

4
1 70

2 1 16 36 16 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 .……10 分(Ⅲ) s1 70 70 70 70 70

? s2 2 ………13 分

17 解: (Ⅰ)由已知 ?A 1 AB ? ?A 1 AC

? 90? ,且平面 AAC 1 1C ? 平面 AA 1B 1B ,所以 ?BAC ? 90? ,即

AC ? AB . AC ? 平面 AA1B1B .由已知 AC 又因为 AC ? AA 1 1 ? 平面 1 且 AB ? AA 1 ? A ,所以 1 1 // AC ,所以 AC AA1B1B . 因为 AP ? 平面 AA 1B 1B ,所以 AC 1 1 ? AP .……4 分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC , AB, AA 1 两两垂直.分别以

AC, AB, AA1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知 AB ? AC ? AA1 ? 2 A1B1 ? 2 AC 1 1 ?2, 所以 A(0,0,0), B(0, 2,0), C (2,0,0), B1 (0,1, 2) ,A 因为 M 为线段 BC 的中点,P 为线段 BB1 的 1 (0,0, 2) . 3 中点,所以 M (1,1, 0), P (0, ,1) . 2 易知平面 ABM 的一个法向量 m ? (0,0,1) .设平面 APM 的一个法向量为
n ? ( x, y, z ) ,
? ? 0, 由 ? n ? AM ??? ? ? ? ? n ? AP ? 0, ???? ?
得? ?3

? x ? y ? 0, y ? z ? 0. ? ?2



y ? 2 ,得 n ? (?2, 2, ?3) .

由图可知,二面角 P ?

AM ? B 的大小为锐角,所以 cos? m, n? ? m ? n ? 3 ? 3 17 .
m?n 17 17

3 17 ……9 分 17 ??? ? ???? AMP (Ⅲ)存在点 P ,使得直线 AC // 平面 .设 ,且 BP ? ? BB1 , P ( x , y , z ) 1 1 1 1
所以二面角 P ?

AM ? B 的余弦值为

则 ( x, ? ? [0,1] , ? , ) z1 0 ( ? ,1 , 2 )? ? 1 y1 2 平面

, 所以 x1

所以 AP ? (0, 2 ? ?, 2? ) . 设 ? 0, y1 ? 2 ? ?, z1 ? 2? .

??? ?

AMP 的一个法向量为 n0 ? ( x0 , y0 , z0 ) ,

? ? 0, 由 ?n0 ? AM ??? ? ? ? ? n0 ? AP ? 0,

???? ?

得?

? x0 ? y0 ? 0, 取 y0 ? 1 ,得 ?(2 ? ? ) y0 ? 2? z0 ? 0.

???? ???? ? ?2 AMP ,则 AC ,若 AC ) (显然 ? ? 0 不符合题意).又 AC ? n0 .所以 1 //平面 1 ? (2,0, ?2) 1 2? ???? ? ?2 2 A1C ? n0 ? ?2 ? ? 0 .所以 ? ? . ? 3 BP AMP .…14 分 所以在线段 BB1 上存在点 P ,且 ? 2 时,使得直线 AC 1 //平面
n0 ? (?1,1,
18.解:(Ⅰ)函数 立,函数

f ( x) 的定义域为 ? x x ? 0? . f ?( x) ? 1 ? a ? x ? a .(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成
x x

PB1

f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;(2)当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a .当 0 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为减函数;当 x ? ?a 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为增函数.综上所述,当 a ? 0 时, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) .当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ?a ) ,单调递增区间为

?1, 2? 上, f ( x)min ? f (1) ? 1 ,显然函数 f ( x) 在区间 ?1, 2? 上恒大于零; (2)当 1 ? ? a ? 2 时,即 ?2 ? a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 ?1 , ? a ? 上为减函数,在 ? ?a, 2? 上为增函数,所以
所以在区间

(?a, +?) ……4 分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当 ? a ? 1 时,即 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在区间 ?1, 2? 上为增函数,

f ( x)min ? f (?a) ? ?a ? a ln(?a) .依题意有 f ( x)min ? ?a ? a ln(?a) ? 0 ,解得 a ? ?e ,所以 ?2 ? a ? ?1 .
(3)当 ? a

? 2 时,即 a ? ?2 时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上为减函数,所以 f ( x)min ? f (2) ? 2+a ln 2 .依题意有
ln 2
ln 2

解得 a ? ? 2 , 所以 ? 2 ? a ? ?2 . 综上所述, 当 a ? ? 2 时, 函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2? f ( x)min ? 2+a ln 2 ? 0 ,

ln 2

上恒大于零……8 分 (Ⅲ)设切点为 (x0 , x 0 ?a ln x0 ) ,则切线斜率 k ? 1 ? a ,切线方程为 y ? ( x0 ? a ln x0 ) ? (1 ? a )( x ? x0 ) .

x0

x0

因为切线过点 P(1,3) ,则 3 ? ( x0 令 g ( x) ? a(ln x ? 1 ? 1) ? 2

? a ln x0 ) ? (1 ?

a 1 )(1 ? x0 ) .即 a(ln x0 ? ? 1) ? 2 ? 0 ………① x0 x0
x x x

(1)当 a

? 0 时,在区间 (0,1) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递

x

? 1) . ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? a( 1 ? 12 ) ? a( x 2

减, 所以函数 g ( x) 的最大值为 g (1) ? ?2 ? 0 .故方程 g ( x) 线的条数为 0 . (2)当 a 增, 所以函数 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?2 ? 0 .
2 2 ?1? 2 ?1? a a ? 1) ? 2 ? ae ? 0 .故 g ( x) 在 (1, ??) 上存在唯一零点. 取 x1 ? e ? e ,则 g ( x1 ) ? a(1 ? ? e a 2 2 2 2 -11? 1? 1 2 1? a 2 a a a < ,则 g ( x2 ) ? a(?1 ? ? e ? 1) ? 2 ? ae ? 2a ? 4 ? a[e ? 2(1 ? )] . 取 x2 ? e e a a 2 t t t 设 t ? 1 ? (t ? 1) , u (t ) ? e ? 2t ,则 u?(t ) ? e ? 2 .当 t ? 1 时, u?(t ) ? e ? 2 ? e ? 2 ? 0 恒成立. a 所以 u (t ) 在 (1, ??) 单调递增, u (t ) ? u (1) ? e ? 2 ? 0 恒成立.所以 g ( x2 ) ? 0 .故 g ( x) 在 (0,1) 上存在唯一

? 0 无解,即不存在 x0 满足①式.因此当 a ? 0 时,切

? 0 时, 在区间 (0,1) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递

1+

2 a

零点.

? 0 时,过点 P (1, 3) 存在两条切线. , 3) 的切线. (3)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,显然不存在过点 P (1 , 3) 存在两条切线;当 a ? 0 时,不存在过点 P (1, 3) 的切线……13 分 综上所述,当 a ? 0 时,过点 P (1
因此当 a 19.解:(Ⅰ)由题意可知, a
2

? 4 , b2 ? 2 ,所以 c 2 ? 2 .因为 P( 2,1) 是椭圆 C 上的点,由椭圆定义得
c 2 ……4 分 ? a 2

PF1 ? PF2 ? 4 .
所以 ?PF 1 F2 的周长为 4 ? 2 2 .易得椭圆的离心率 e = (Ⅱ)由 ?

? 2 x ? 2 y ? m ? 0, 2 2 得 4 x ? 2 2mx ? m ? 8 ? 0 因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点,并注意到直线 l 不过点 ? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 4 2

P,
所以 ?

?8m2 ? 4 ? 4(m2 ? 8) ? 0, ?
2

m ? 0.

解得 ?4 ? m ? 0 或 0 ? m ? 4 . 设

2 则 x1 ? x2 ? ? A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , m, 2

x1 x2 ?

m ?8 2 x2 ? m .显然直线 PA 与 PB 的斜率存在,设直线 PA 与 PB 的斜率分别 , y ? 2 x1 ? m , y2 ? 1 4 2 2
y1 ? 1 y ?1 ( ? 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2
2 x1 ? m 2 x2 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

为 k1 , k2 ,则

k1 ? k2 ?
?

( 2 x1 ? m ? 2)( x2 ? 2) ? ( 2 x2 ? m ? 2)( x1 ? 2) 2( x1 ? 2)( x2 ? 2)

2 2 x1 x2 ? (m ? 4)( x1 ? x2 ) ? 2 2m ? 4 2 ? ? 2[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]
?

2 2(m2 ? 8) (m ? 4)2 2m 8 2m 16 2 ? ? ? 4 4 4 4 2[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]

2 2(m 2 ? 8) ? (m ? 4)2 2m ? 8 2m ? 16 2 2 2m 2 ? 16 2 ? 2 2m 2 ? 8 2m ? 8 2m ? 16 2 ? ? 0. 8[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2] 8[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]

因为 k1 ? k2

? 0 ,所以 ?PMN ? ?PNM .所以 PM ? PN

.………14 分

20(Ⅰ)观察数列 {an } 的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,….因为数列 {an } 是递 增的整数数列,且等比数列以 2 为首项,显然最小公比不能是

5 ,最小公比是 4. 2

(ⅰ)以 2 为首项,且公比最小

的等比数列的前四项是 2, 8, 32, 128. (ⅱ) 由 (ⅰ) 可知 b1 所以 3kn 即 kn ?

n ?1 ?2, 公比 q ? 4 , 所以 bn ? 2 ? 4 .又 bn ? ak ? 3kn ? 1,
n

?1 ? 2 ? 4 , n ? N

n ?1

?



1 (2 ? 4n ?1 ? 1), n ? N? .再证 kn 为正整数.显然 k1 ? 1 为正整数, n ? 2 时, 3 1 1 kn ? kn ?1 ? (2 ? 4n ?1 ? 2 ? 4n ? 2 ) ? ? 2 ? 4n ? 2 (4 ? 1) ? 2 ? 4n ? 2 ,即 kn ? kn?1 ? 2 ? 4n?2 (n ? 2) , 3 3
1 1 (2 ? 4n ?1 ? 1), n ? N? 为正整数.所以,所求通项公式为 kn ? (2 ? 4n ?1 ? 1), n ? N? . 3 3
3k ? 1 c2 ? ak2 ? 3k2 ? 1, ? ak1 ? 5 , 所以公比 q ? 2 . 5

故 kn ?

(Ⅱ) 设数列 {cn } 是数列 {an } 中包含的一个无穷等比数列, 且 c1 因为等比数列 {cn } 各项为整数,所以 q 为整数.取 k2

? 5m ? 2 ( m ? N? ),则 q ? 3m ? 1 ,故

cn ? 5 ? (3m ? 1)n?1 .
只要证 cn

? 5 ? (3m ? 1)n?1 是数列 {an } 的项,即证 3kn ? 1 ? 5 ? (3m ? 1)n?1 .只要证

1 kn ? [5(3m ? 1) n ?1 ? 1] (n ? N? ) 为正整数,显然 k1 ? 2 为正整数.又 n ? 2 时, 3

5 kn ? kn ?1 ? [(3m ? 1) n ?1 ? (3m ? 1) n ? 2 ] ? 5m(3m ? 1) n ? 2 , 3
即 kn

? kn?1 ? 5m(3m ? 1)n?2 ,又因为 k1 ? 2 , 5m(3m ? 1)n?2 都是正整数,故 n ? 2 时, kn 也都是正整数.

所以数列 {cn } 是数列 {an } 中包含的无穷等比数列, 其公比 q 列, 故数列 {an } 所包含的以 a 2

? 3m ? 1 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数

? 5 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.

? 石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试试卷

高三数学(理)
本试卷共 6 页, 150 分. 考试时长 120 分钟. 请务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1.已知集合 M ? {x | x ? 0 , x ? R} , N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M ? N =( A. )

1? ?0 ,

B.

1? ?0 ,

C.

1? ?0 ,

D.

1? ?0 ,

2.设 i 是虚数单位,则复数 A.第一象限

2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i
C.第三象限 ) D. y ? x

)

B.第二象限

D.第四象限

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x3 C. y ?

1 x

x

4.下图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图, 2 4 6 10
)

其中菱形判断框内应填入的条件是( A. i ? 5 C. i ? 6 B. i ? 5 D. i ? 6

5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大 的是( A. 8 C. 10 ) B. 6 2 D. 8 2

6.在数列 的(

?an? 中,“ an?1 ? an ”是“数列 ?an? 为递增数列”
) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

7 .函数 f ( x) ? A sin( ? x ? ? ) (A ? 0 , ?? 0 , ? ? 图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 图象的解析式为( A. y ? sin 2 x ) B. y ? sin(2 x ?

?
2

)的部分图象如

?
6

个单位后,得到的函数

2? ) 3

C. y ? sin(2 x ?

?
6

)

D. y ? cos 2 x

8.德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n ,如果 n 是偶数,就将它减 半 (即

n );如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ),不断重复这样的运算,经过有限步后, 2

一定可以得到 1. 对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数 n (首项) 按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1(注:1 可以多次出现),则 n 的所有不同值的个数为( A.4 B.6 C.32 D.128 )

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

x2 2 9.双曲线 ? y ? 1的焦距是________,渐近线方程是________. 2
?x ? 2 y ? 8, ? y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 , 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于_____. 10.若变量 x , ? 0 ? y ? 3, ?
11.如图, AB 是半圆 O 的直径, ?BAC ? 30? , BC 为半圆的切线,且
BC ? 4 3 ,则点 O 到 AC 的距离 OD =________.

12.在平面直角坐标系中,已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 1? s , ( s 为参数),曲线 C 的参数方程为 ? y ? 1? s

?x ? t ? 2 , ( t 为参数),若直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,则 AB =____. ? 2 ? y ?t
13.已知函数 f ( x) ? ?

x ? 0, ?log 2 x , 关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实根, 则实数 a 的取 x x ? 0, ? 3 ,

值范围是________. 14.某次考试的第二大题由 8 道判断题构成,要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判 断,每题判断正确得 1 分,判断错误不得分.请根据如下甲,乙,丙 3 名考生的判断及得分结果, 计算出考生丁的得分. 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 甲 乙 丙 丁 × × √ √ × √ × × √ × √ × × × √ × × √ √ √ √ × × × × √ × × √ × × × 得分 5 5 6 ?

丁得了_______________分. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 设△ ABC 的内角 A , 且 b sin A ? 3a cos B . B, C 的对边分别为 a , b, c, (Ⅰ)求角 B 的大小;

c 的值. (Ⅱ)若 b ? 3 , sin C ? 2sin A ,求 a ,

16.(本小题共 13 分) 我市某苹果手机专卖店针对苹果 6S 手机推出无抵押分期付款购买方式,该店对最近购买苹果 6S 手机的 100 人进行统计(注:每人仅购买一部手机) ,统计结果如下表所示: 付款方式 频数 分1期 35 分2期 25 分3期 分4期 10 分5期

a

b

已知分 3 期付款的频率为 0.15 ,请以此 100 人作为样本估计消费人群总体,并解决以下问题: (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求“购买手机的 3 名顾客中(每人仅购买一部手机) ,恰好有 1 名顾客分 4 期付款”的概 率; (Ⅲ)若专卖店销售一部苹果 6S 手机,顾客分 1 期付款(即全款),其利润为 1000 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 1500 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2000 元.用 X 表示销售一部苹果 6S 手机的利润,求 X 的分布列及数学期望.

17. (本小题共 14 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC? A 中 , AA1 ⊥ 平 面 1 B 1 C 1

ABC ,
中点.

B C ? A C, BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的
(Ⅰ)求证: AB1 ∥平面 BDC1 ;

(Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ) 在侧棱 AA1 上是否存在点 P , 使得 CP ⊥平面 BDC1 ?若存在, 求出 AP 的长; 若不存在, 说明理由.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? x cos x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (π , f (π )) 处的切线方程;

? 1 (Ⅱ)求证:当 x ? (0 , ) 时, f ( x) ? x 3 ; 2 3
(Ⅲ)若 f ( x) ? kx ? x cos x 对 x ? (0 , ) 恒成立,求实数 k 的最大值. 2

?

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2 ,离心率为 ,直线 2 a b 2

1 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A , B 两点,且线段 AB 的垂直平分线通过点 (0 , ? ). 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求△ AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值.

20.(本小题共 13 分) 若对任意的正整数 n ,总存在正整数 m ,使得数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? am ,则称 {an } 是“回归 数列” . (Ⅰ)①前 n 项和为 Sn

? 2n 的数列 {a } 是否是“回归数列”?并请说明理由;
n

②通项公式为 bn ? 2n 的数列 {bn } 是否是“回归数列”?并请说明理由; (Ⅱ)设 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 {an } 是“回归数列” ,求 d 的值; ( Ⅲ ) 是 否 对 任 意 的 等 差 数 列 {an } , 总 存 在 两 个 “ 回 归 数 列 ” {bn } 和 {cn } , 使 得
an ? bn ? cn (n ? N* ) 成立,请给出你的结论,并说明理由.

石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试

高三数学(理)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

(第 9 题 2 空 三、 解答

题号 答案

9

10

11

12

13

14

第一空 分, 第二

2 3, y ??

2 x 2

10

3

2

(1 , ? ?)

6

3 分) 题共 6

小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)? b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , ?????2 分

π) , 在△ ABC 中, sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 , B ? (0 ,
?B ? π . 3

?????4 分

?????6 分 ?????8 分

(Ⅱ)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a , 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 得 9 ? a ? 4a ? 2a ? (2a ) ? cos
2 2

π , 3

?????10 分

解得 a ? 3 ,∴ c ? 2a ? 2 3 . 16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得

?????13 分

a ? 0.15 , 100

所以 a ? 15 , 又 35 ? 25 ? a ? 10 ? b ? 100 ,所以 b ? 15 . ?????3 分

(Ⅱ)设事件 A 为“购买一部手机的 3 名顾客中,恰好有 1 名顾客分 4 期付 款” , 由题意得:随机抽取一位购买者,分 4 期付款的概率为 0.1 , 所以 P( A) ? C3 ? 0.1? 0.9 ? 0.243 .
1 2

?????4 分 ?????5 分 ?????7 分

(Ⅲ) 记分期付款的期数为 ξ , 依题意得 P(ξ ? 1) ? 0.35 , P(ξ ? 2) ? 0.25 , P(ξ ? 3) ? 0.15 ,

P(ξ ? 4) ? 0.1, P(ξ ? 5) ? 0.15 ,

因为 X 可能取得值为 1000 元, 1500 元, 2000 元, 并且易知 P( X ? 1000) ? P(ξ ? 1) ? 0.35 ,

?????8 分 ?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

P( X ? 1500) ? P(ξ ? 2) ? P(ξ ? 3) ? 0.4 , P( X ? 2000) ? P(ξ ? 4) ? P(ξ ? 5) ? 0.25 ,
所以 X 的分布列为

X
P

1000

1500

2000

0.35

0.4

0.25

所以 X 的数学期望 EX ? 1000 ? 0.35 ? 1500 ? 0.4 ? 2000 ? 0.25 ? 1450 .?13 分 17.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:连接 B1C ,与 BC1 相交于 O ,连接 OD . ∵ BCC1 B1 是矩形,∴ O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,∴ OD ∥ AB1 . ∵ AB1 ? 平面 BDC1 , OD ? 平面 BDC1 , ∴ AB1 ∥平面 BDC1 . ???2 分 ???3 分 ???4 分

3 2) , 0 0) ,B(0 ,, (Ⅱ) 如图, 建立空间直角坐标系, 则 C1 (0 ,, C (0 ,, 3 0) D(1,, 3 0) ,
?


A(2 ,, 3 0)
???5 分



设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDC1 的一个法向量,

? ???? ? ? ? n ? C1 B ? 0 , ?3 y1 ? 2 z1 ? 0 , 则 ? ? ???? 即? ? n ? C D ? 0 , ? x1 ? 3 y1 ? 0 , ? 1 ?
令 x1 ? 1 ,则 n ? (1, ? ,), 易知 C1C ? (0 ,, 3 0) 是平面 ABC 的一个法向量,

?

1 1 3 2

???7 分 ???8 分 ???9 分

???? ?

? ???? ? ? ???? ? n ? C1C ?1 2 C1C ?? ? ???? ?? , ? ? ∴ cos ? n , 7 n ? C1C 7 ? 3 6
由题意知二面角 C1 ? BD ? C 为锐角, ∴二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值为 .

2 7

???10 分

y, 0) ( 0 ? y ? 3 ),使得 CP ? 平面 BDC1 . (Ⅲ)假设侧棱 AA1 上存在一点 P(2, ,
??? ? ???? ? ? y ? 3, ? CP ? C1 B ? 0 , ? 3( y ? 3) ? 0 , ? ? 则 ? ??? ,即 ? ∴? ? ???? ? 7 . 2 ? 3( y ? 3) ? 0 , y ? CP ? C D ? 0 , ? ? ? 1 ? 3 ?
∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱 AA1 上不存在点 P ,使 CP ⊥平面 BDC1 . 18.(本小题共 13 分) 解: f ?( x) ? cos x ? (cos x ? x sin x) ? x sin x (Ⅰ) f ?(? ) ? 0 , f (? ) ? ? . 所以切线方程为 y ? ? . (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? ???3 分 ???1 分 ???14 分 ???12 分

1 3 x , 3
???4 分

则 g ?( x) ? x sin x ? x2 ? x(sin x ? x) , 当 x ? (0 , ) 时,设 t ( x) ? sin x ? x ,则 t ?( x) ? cos x ? 1 ? 0

? 2

所以 t ( x) 在 x ? (0 , ) 单调递减, t ( x) ? sin x ? x ? t (0) ? 0 即 sin x ? x ,所以 g ?( x) ? 0 ???6 分 所以 g ( x) 在 (0 , ) 上单调递减,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,

? 2

?

2

???7 分

所以 f ( x) ?

1 3 x .???8 分 3

(Ⅲ)原题等价于 sin x ? kx 对 x ? (0 , ) 恒成立,

?

2 sin x ? 即k ? 对 x ? (0 , ) 恒成立,???9 分 x 2 x cos x ? sin x f ( x) sin x ?? 2 . 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? 2 x x x
易知 f ?( x) ? x sin x ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0,

???10 分

?

2

) 单调递增,
???11 分

所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 , 故 h( x) 在 (0 , ) 单调递减,所以 k ? h( ) ?

?

?

2

2

2

?



综上所述, k 的最大值为

2

?



???13 分

19.(本小题共 14 分)

? c 2 , ?e ? ? a 2 ? ? 解:(Ⅰ)由已知可得 ? 2b ? 2 , 解得 a2 ? 2 , b2 ? 1 , ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? ?

???2 分

x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的标准方程为 2
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

???3 分

? y ? kx ? m , ? 联立方程 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?2
消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 .
2 2 2

???4 分

当 ? ? 8(2k ? m ? 1) ? 0 ,
2 2
2 2 即 2k ? m ? 1 时,

???5 分

x1 ? x2 ?
所以

2m 2 ? 2 ?4km x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???6 分

x1 ? x2 y ? y2 ?2km m ? ? , 1 . 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
1 2

? ) 当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线显然过点 (0 , S ?AOB ? 1 1 AB ? m ? ? m ? 2 2 ? 1 ? m 2 2 2

? 2 ? (1 ? m 2 ) ? m 2

因为 m ? (?1,0) ? (0,1) ,所以 m2 ? (0,1)

1 1 2 1 2 S?AOB ? 2 ? (1 ? ) ? ? ,当 m ? 时,取到等号. 2 2 2 2
? ), 当 k ? 0 时,因为线段 AB 的垂直平分线过点 (0 , 1 2

???8 分

y1 ? y2 1 ? (? ) 2 2 ??1, 所以 x1 ? x2 k ?0 2
化简整理得 2k 2 ? 1 ? 2m .
2 ? ? 2k ? 1 ? 2m , 由? 2 得0 ? m ? 2 . 2 ? ? 2k ? 1 ? m ,

???9 分 ???10 分

又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

m 1? k 2



AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 1 ? k 2

4k 2 ? 2m2 ? 2 1 ? 2k 2
???11 分

所以 S?AOB

m 4k 2 ? 2m2 ? 2 1 ? AB ? d ? 2 1 ? 2k 2

2 而 2k ? 1 ? 2 m 且 0 ? m ? 2 ,

则 S ?AOB ?

1 4m ? 2m 2 , 0 ? m ? 2 . 2 1 2 时, S?AOB 取得最大值 . 2 2

???12 分

2 所以当 m ? 1 ,即 k ?

???13 分

综上, S?AOB 最大值为

2 . 2

???14 分

20.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)①∵ Sn ? 2 ,作差法可得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2
n n?1

(n ? 2) ,

当 n ? 1 时, S1 ? a1 ; 当 n ? 2 时, Sn ? an?1 ,存在 m ? n ? 1 ,使得 Sn ? am

∴数列 {an } 是“回归数列” .???2 分 ②∵ bn ? 2n ,∴前 n 项和 Tn ? n ? n ,根据题意 n ? n ? 2m
2
2

∵ n(n ? 1) 一定是偶数,∴存在 m ?

n( n ? 1) ,使得 Tn ? bm 2

∴数列 {bn } 是“回归数列” .???4 分 (Ⅱ) S n ? n ?

n(n ? 1) d ,根据题意,存在正整数 m ,使得 S2 ? am 成立 2

即 2 ? d ? 1 ? (m ? 1)d , d ?

1 ? 0 , m ? 2 , m? N* m?2

∴ m ? 1 ,即 d ? ?1 .???8 分 (Ⅲ)设等差数列 an ? a1 ? (n ?1)d 总存在两个回归数列 bn ? a1 ? (n ?1)a1 , cn ? (n ?1)(a1 ? d ) 使得 an ? bn ? cn ???9 分 证明如下:

bn ? cn ? a1 ? (n ?1)a1 ? (n ?1)a1 ? (n ?1)d ? an
数列 {bn } 前 n 项和 Bn ? na1 ?

n(n ? 1) a1 , 2

n ? 1 时, m ? 1 ; n ? 2 时, m ? 1 ; n ? 3 时, 2 ?

(n ? 3)n ( n ? 3) n 为正整数,当 m ? 2 ? 时, bm ? Bn . 2 2
( n ? 3) n ,使得 Bn ? bm ,∴ {bn } 是“回归数列”??11 分 2

∴存在正整数 m ? 2 ?

数列 {cn } 前 n 项和 Cn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) (a1 ? d ) 存在正整数 m ? ?1, 使得 Cn ? cm , ∴ {cn } 是 2 2

“回归数列” ,所以结论成立.???13 分

【注:若有其它解法,请酌情给分】

北京顺义区 2016 届高三一模考试







卷(理科)

2016。3

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分, 第Ⅰ卷 l 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页, 共 150 分. 考

试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将 本试卷和答题卡一并回交.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项.

1.设 i 为虚数单位,则 i (2i ? 1) ? (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) ?2 ? i

(

)

(D) ?2 ? i ( )

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 1} , B ? {x | log 2 x ? 1} ,则 A ? B ? (A) {x | ?1 ? x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (B) {x | 0 ? x ? 1} (D) {x | ?1 ? x ? 2}

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 (A) y ? 2 x (C) y ? ? (B) y ? x3 ? x





1 (D) y ? ? log2 x x 4.执行如图所示的程序框图,输出的结果是

(

)

(A)15 (B)21 (C)24 (D) 35

r ? 5.已知向量 a ? ( x, ?1) , b ? ( x, 4) ,其中 x ? R .则“ x ? 2 ”是 r r “ a ? b ”成立的 ( )
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件
? ?x ? 1? ? 6.直线 l : ? ?y ? 2? ? ?

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

2 t ? x ? 2 ? 2 cos ? 2 ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) 2 ? y ? 1 ? 2sin ? t 2

的位置关系是 (A) 相离

(B) 相切

( ) (C) 相交且过圆心 (D)相交但不过圆心

? x ? 2 y ? 2, ? 7.在平面直角坐标系中,若不等式组 ?1 ? x ? 2, ( a 为常数)表示的区域面积等于 1 , ?ax ? y ? 1 ? 0 ? 则 a 的值为 ( )

(A) ?

1 6

(B)

1 6

(C)

1 2

(D) 1

8.如图,已知平面 ? I 平面 ? = l , ? ? ? . A、 B 是直线 l 上的两点,

C、D 是平面 ? 内的两点,且 DA ? l , CB ? l ,
DA ? 4, AB ? 6 , CB ? 8. P 是平面 ? 上的一动点,

且有 ?APD ? ?BPC ,则四棱锥 P ? ABCD 体积的 最大值是 (A) 48 (B) 16 ( ) (D) 144

(C) 24 3
共 110 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

1 9. ( x 2 ? )6 的展开式中 x3 的系数为 ______ (用数字作答). x
10.抛物线 y 2 ? ?8 x 的准线与双曲线 C :
_________.
11.已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆, 根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是 ________ (单 位: cm ).
2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形面积为 8 4

12.









? 2 1 ? x ? ? 2 ,x ? f ( x) ? ? x ?log ( x 2 ? 1). x ? 1 ? 3




f ( f (? 2)) ? ______; f ? x ? 的最小值为

13.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、 晚间隔 12 小时各服一次药,每次一片,每片 200 毫克.假设该患者的肾脏每 12 小时从体 内大约排出这种药在其体内残留量的 50% ,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过

400 毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午 8 点第一次服药,则第二天上午 8 点服完 ..
药时 ,药在其体内的残留量是 _______ 毫克,若该患者坚持长期服用此药 ________ 明显 .. 副作用(此空填“有”或“无”).
5 ????? ? 14.. 设 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 是空间中给定的 5 个不同的点,则使 ? MAk ? 0 成立的点 M 的个数有 k ?1

_________ 个.

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)

? 1 已知函数 f ( x) ? cos( ? x) cos x ? sin 2 x ? , x ? R . 2 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 x ?[? , ] ,求函数 f ( x) 的单调递增区间. 6 3 16.(本小题满分 13 分) 在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中,主持人准备了 A, B 两个问题,规 定:被抽签抽到的答题同学,答对问题 A 可获得 100 分,答对问题 B 可获得 200 分,答 题结果相互独立互不影响,先回答哪个问题由答题同学自主决定;但只有第一个问题答 对才能答第二个问题,否则终止答题.答题终止后,获得的总分决定获奖的等次.若甲是 被抽到的答题同学,且假设甲答对 A, B 问题的概率分别为
1 1 , . 2 4

? ?

(Ⅰ)记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高?请说明理由.

17.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,等边 ? PAD 所在的平面与正方形 ABCD 所在的平面互相垂直,
O 为 AD 的中点, E 为 DC 的中点,且 AD ? 2.

(Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 P ? EB ? A的余弦值; (Ⅲ)在线段 AB 上是否存在点 M ,使线段 PM 与 ? PAD 所在平面成 30? 角.若存在, 求出 AM 的长,若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
1 (Ⅱ)设 g ( x) ? x 2 ? x ? t ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [ , e] 上(这里 e ? 2.718 )恰有两个 e

不同的零点,求实数 t 的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 3 3 ,且点 (1, ) 在椭圆 E 上. ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
1 (Ⅱ)直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ) . 2 求 ? AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值.

20.(本小题满分 14 分)
2 在数列 {an } 中, a1 ? 0 , an?1 ? an ? m ,其中 m ? R , n ? N * .

(Ⅰ)当 m ? 1时,求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列?证明你的结论; (Ⅲ)当 m ?
1 时,证明:存在 k ? N * ,使得 ak ? 2016 . 4

顺义区 2016 届高三第一次统练数学试卷 (理科)
参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C ; 2. B; 3. B ; 4. C; 5. A; 6. D; 7. B ; 8 . A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 20 ; 10. 2 2 ; 11. 4 ? 3? ; 12. 1, 0 ; 13. 350 , 无. 14. 1.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由已知 f ( x) ? cos(

?
2

? x) cos x ? sin 2 x ?

1 1 ? cos 2 x 1 ? sin x cos x ? ? 2 2 2
【6 分】

【3 分】

1 1 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4
当 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

,k?z

时, f max ( x) ?

2 2

【7 分】

(Ⅱ)? 当 2k? ? 即 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

时, f ( x) 递增

【9 分】

3? ? ? ? ? x ? k? ? , 令 k ? 0 ,且注意到 x ? [ ? , ] 8 8 6 3 ? ? ? 函数 f ( x) 的递增区间为 [ ? , ] 【13 分】 6 8
16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ) ? 的可能取值为 0,100.300 . 【2 分】

? P (? ? 0) =( ) 0 ? (1 ? ) ?

1 1 1 , 2 2 2 1 1 3 P(? ? 100) = ? (1 ? ) ? , 2 4 8 1 1 1 P(? ? 300) = ? ? 2 4 8

【5 分】

分布列为:

?
P

0
1 2 3 8

100

300
1 8

E? ?

600 ? 75 . 8

【7 分】

(Ⅱ)设先回答问题 B ,再回答问题 A 得分为随机变量? ,则? 的可能取值为 0, 200.300 .

? P(? ? 0) =(1 ? ) ?

1 3 , 4 4 1 1 1 P (? ? 2 0) 0 = ? (? 1 ? ), 4 2 8 1 1 1 P(? ? 3 0) 0 =? ? , 4 2 8

【10 分】

分布列为:

?
P
E? ? 500 ? 62.5 . 8

0
3 4

200
1 8
【12 分】

300
1 8

? E? ? E?
? 应先回答 A 所得分的期望值较高.
17.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? ? PAD 是等边三角形, O 为 AD 的中点, 【13 分】

? PO ? AD

? 平面 PAD ? 平面 ABCD , AD 是交线, PO ? 平面 PAD
? PO ? 平面 ABCD . 【4 分】
(Ⅱ)取 BC 的中点 F ,? 底面 ABCD 是正方形,? OF ? AD ,? PO,OF , AD 两两垂直. 分别以 OA、OF、OP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 P(0,0, 3), B(1, 2,0), C(?1, 2,0), D(?1,0,0), A(1,0,0), E(?1,1,0) 【5 分】

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? (1,0, ? 3) , AE ? (?2,1,0,) , EP ? (1, ?1, 3) , EB ? (2,1,0,)

? ??? ? ? ? ?( x, y, z ) ? (1, ?1, 3) ? 0 ? n ? PE ? 0 ? 设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,? ? ? ??? ,? ? ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2,1, 0) ? 0 ? n ? EB ? 0

?x ? 1 ? ? ? ?x ? y ? z ? 0 ?? ,? ? y ? ?2 ,? n ? (1, ?2, ? 3) ? ?2 x ? y ? 0 ? ?z ? ? 3 ??? ? 平面 EBA 的法向量即为平面 ABCD 的法向量 OP ? (0,0, 3,) .

? ??? ? ? ??? ? n ? OP 6 由图形可知所求二面角为锐角,? cos ? n, OP ??| ? ??? ? |? 4 | n || OP |
(Ⅲ)方法 1:设在线段 AB 上存在点 M (1, x,0) , (0 ? x ? 2) , 使线段 PM 与 ? PAD 所在平面成 30 角,
0

【9 分】

? 平面 PAD 的法向量为 (0, 2, 0) , PM ? (1, x, ? 3) ,
? sin 300 ?|

???? ?

2x 2 4 ? x2

|?

x 4 ? x2

?

1 2 3 ,解得 x ? ,适合 3 2
2 3 时,与 ? PAD 所在平 PM 面成 300 角. 【13 分】 3

? 在线段 AB 上存在点 M ,当线段 AM ?
方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,

? BA ? AD , BA ? PO , PO ? AD ? O

? BA ? 平面 POD .
设在线段 AB 上存在点 M 使线段 PM 与 ? PAD 所在平面成 30 角,
0

连结 PM ,由线面成角定义知: ? MPA 即为 PM 与 ? PAD 所在平面所成的角,

AM ? PA ? tan 300 ?

2 3 2 3 ,当线段 AM ? 时,与 ? PAD 所在平 PM 面成 300 角. 3 3

18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)函数定义域为 (0, ??) 【1 分】 【2 分】 【5 分】

f '( x ) ? 2 x ?

1 ,? f '(1) ? 1 x

又 f (1) ? 1 ,? 所求切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 0

(Ⅱ)函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ln x ? x ? t 在 [ , e] 上恰有两个不同的零点, 等价于 ? ln x ? x ? t ? 0 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, 等价于 t ? x ? ln x 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, 令 k ( x) ? x ? ln x, 则 k '( x) ? 1 ?

1 e

1 e

【8 分】

1 e

1 x ?1 ? x x

? 当 x ? ( ,1) 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 ( ,1) 递减;
当 x ? (1, e] 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 (1, e] 递增.

1 e

1 e

故 kmin ( x) ? k (1) ? 1 ,又 k ( ) ?

1 e

1 ? 1, k (e) ? e ? 1 . e

【11 分】

1 1 1 1 ? k ( ) ? k (e) ? 2 ? e ? ? 0 ,? k ( ) ? k (e) ,? k (1) ? t ? k ( ) e e e e
即 t ? (1,1 ? ] 19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由已知

1 e

【13 分】

e2 ? 1 ?

1 3 ? ,? a 2 ? 4 2 a 4

【2 分】

? 点 (1,

3 ) 在椭圆上,? 12 ? 3 2 ? 1 ,解得 a ? 2, b ? 1 . 2 a 4b
x2 ? y2 ? 1 4
【4 分】

? 所求椭圆方程为

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,? AB 的垂直平分线过点 (0, ) , ? AB 的斜率 k 存在. 当直线 AB 的斜率 k ? 0 时,

1 2

? x1 ? ? x2 ,

y1 ? y2

1 x2 ? 4 ? x2 x2 1 2 1 ? SV AOB ? ? 2 | x || y |?| x || y |?| x | 1 ? 1 ? x1 (4 ? x12 ) ? ? ?1 2 2 2 2 4

" ? " 当且仅当 x12 ? 4 ? x12 , ? x1 ? ? 2 时, (SV AOB )max ? 1
当直线 AB 的斜率 k ? 0 时, 设 l AB : y ? kx ? m ( m ? 0) .

【6 分】

? y ? kx ? m ? 2 2 2 消去 y 得: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 由 ? ? 0 . 4k ? 1 ? m



【8 分】

? x1 ? x2 ? ?
?

x ? x2 8km 4m 2 ? 4 4km ?? , , x x ? , ? 1 1 2 2 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

y1 ? y2 x ?x m ?4km m ?k 1 2 ?m? ,? AB 的中点为 ( , ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 2 2 1 ? 4k m 1 ? 2 2 ? ?1 ,化简得 1 ? 4k 2 ? ?6m 由直线的垂直关系有 k ? 1 ? 4k ② ?4km 1 ? 4k 2
2

由①②得 ?6m ? m ,

??6 ? m ? 0

【10 分】

又 O(0, 0) 到直线 y ? kx ? m 的距离为 d ?

|m| 1? k 2



| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? 4 ?

1 ? 4k 2 ? m 2 (1 ? 4k 2 ) 2

【12 分】

SV AOB

1 1 1 ? 4k 2 ? m 2 |m| ?6m ? m2 1 2 ? | AB | d ? 1? k ? 4 ? ? ? 2 | m |? ?(m ? 3)2 ? 9 2 2 2 2 2 2 (1 ? 4k ) 36m 3 1? k

1 Q ?6 ? m ? 0 ,? m ? ?3 时, ( SV AOB ) max ? ? 3 ? 1 . 3

由 m ? ?3 ,?1 ? 4k 2 ? 18 ,解得 k ? ?
17 时, (SV AOB )max ? 1 ; 2

17 ; 2

即k ? ?

综上: (SV AOB )max ? 1 ; 【14 分】

20.(本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ) a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 5 . 【3 分】 (Ⅱ)? a2 , a3 , a4 成等差数列,? a3 ? a2 ? a4 ? a3 , 即 a2 ? m ? a2 ? a3 ? m ? a3 ,
2 2 ? a2 ) ? (a3 ? a2 ) ? 0 ,即 ? a3 ? a2 ?? a3 ? a2 ?1? ? 0 . ? (a3 2 2

? a3 ? a2 ? 0 ,? a3 ? a2 ?1 ? 0 .
将 a2 ? m , a3 ? m ? m 代入上式, 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0.
2

解得 m ? ?1 ? 2 .

【7 分】

?存在 m ? ?1 ? 2 ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. 【8 分】
2 2 (Ⅲ)? an?1 ? an ? an ? m ? an ? (an ? ) ? (m ? ) ? m ?

1 2

1 4

1 , 4

又 m?

1 1 ,? 令 d ? m ? ? 0 . 4 4

【10 分】

由 an ? an?1 ? d ,

an?1 ? an?2 ? d ,
……

a2 ? a1 ? d ,
将上述不等式相加,得 an ? a1 ? (n ?1)d ,即 an ? (n ? 1)d . 取正整数 k ? 【12 分】 【14 分】

2016 2016 ? 1 ,就有 ak ? (k ? 1)d ? d ? ( ) ? 2016 . d d


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