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2014-2015学年高三数学寒假作业(6)(Word版,含答案)


高三数学寒假作业(六) 一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1.复数

2i 所对应的点位于复平面内 2?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四 个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为

N ,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在 甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数

N为



) B.808 C.1212 D.2012

A.101

3.已知离散型随机变量 X 的分布列为

则 X 的数学期望 E(X)= A.

3 2
6 4

B.2
m n

C.

5 2

D.3

4.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1)+f(1, 2)+f(0,3)= A.45 D.210 5.曲线 y ? B.60 C.120

x 在点(1,-1)处的切线方程为( x?2
B. y ? ?2 x ? 3

) D. y ? 2 x ? 1

A. y ? ?2 x ? 3

C. y ? ?2 x ? 1

2 6.已知点 A(3, 2) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点, 点 P 在抛物线上, 使 PA ? PF 取得最小值,

则最小值为 ( A. 7.

) B. 2 C.

3 2

5 2

D.

7 2

过 P(2, 0) 的直线 l 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 截得的线段长为 2 时,直线 l 的斜率为( )
2 2

A. ? 8.

2 4

B.

?

2 2

C. ?1

D. ?

3 3

AP 为 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 上任取一点 P, 以 A 为球心,

半径作一个球设 AP ? x ,记该球面与正方体表面的交线的长度和为 f ( x ) ,则函数 f ( x ) 的 图 象最有可能的是( )

y

y

y

y

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

A、 9. 曲线 y ?

B、

C、

D、

1 ( x ? 0) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线为 l .若直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,则 x

△OAB 的 周长的最小值为 A. 4 ? 2 2 二、填空题 10.已知 f ( x) ? x x ? 1 ? 1, f (2 x ) ? B.

2 2

C.2

D. 5 ? 2 7

5 (其中 x ? 0) ,则 x ? 4

.

11.已知幂函数 f ( x) ? k ? x? 的图象过点 ( ,

1 2

2 ) ,则 k ? ? =______________。 2

12.已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 ,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 ,记集 合 把集合 U 中的元素按从小到大依次 A ? {x | x ? an , n ? N}, B ? {x | x ? b, n ? N},U ? A B , 排列,构成数列 ?cn ? ,则数列 ?cn ? 的前 50 项和 S50 ?

13.在复平面中,复数

(1 ? i ) 2 (i 是虚数单位)对应的点在第 3?i

象限

三、计算题 14.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log 1 (
2

ax ? 2 ) ( a 为常数). x ?1

(1)若常数 a ? 2 且 a ? 0 ,求 f ( x ) 的定义域;

(2)若 f ( x ) 在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 15. (本小题满分 12 分) 已知数列

S ? 2an ? 2 ; {b } {an } 的前 n 项和为 Sn , b ? 1 ,bn ?1 ? bn ? 2 . n ? N * . 且 n 数列 n 满足 1

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)记 16.

{an } , {bn } 的通项公式;

cn ? anbn , n ? N * .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

(本小题满分 12 分) 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AB//CD, AD=DC=CB=1, ∠ABC=60°, 四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE ? 平面 ABCD,CF=1. (I)求证: BC ? 平面 ACFE; (II)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 求 cos ? 的取值范围.

? ?? ? 90o ?

,试

高三数学寒假作业(六)参考答案 一、选择题 1~5 BBACC 二、填空题 10. x ? log 2 11. 3 2 12. 6~9 DABA

1? 2 2

13.一 三、计算题 14. (1)由

ax ? 2 2 ? 0 ,当 0 ? a ? 2 时,解得 x ? 1 或 x ? , x ?1 a 2 当 a ? 0 时,解得 ? x ? 1 . a
故当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的定义域为{ x | x ? 1 或 x ?

2 } a

当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 { x | (2)令 u ?

2 ? x ? 1 }. a

………… 6 分

ax ? 2 ,因为 f ( x) ? log 1 u 为减函数,故要使 f ( x ) 在(2,4)上是减函数, x ?1 2

u?

ax ? 2 a?2 ?a? 在(2,4)上为增且为正. x ?1 x ?1

?a ? 2 ? 0 ? ?1? a ? 2 . 故有 ? 2a ? 2 umin ? u (2) ? ?0 ? ? 2 ?1
故 a ? [1, 2) . 15. 【知识点】等差数列,等比数列 (Ⅰ) …………13 分

an ? 2n , bn ? 2n ? 1(Ⅱ) Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4
Sn ? 2an ? 2

(Ⅰ)∵

当 n ? 2 时,
?

Sn?1 ? 2an?1 ? 2

得,

an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ( n ? 2 ) . S1 ? 2a1 ? 2 ,得 a1 ? 2 .

又当 n ? 1 时, ∴数列 ∴数列

{an } {an }

是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 的通项公式为

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n .…………………………………4 分

又由题意知, ∴数列 ∴数列

b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? 2 ,即 bn?1 ? bn ? 2

{bn } {bn }

是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列, 的通项公式为

bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 .………………………2 分

(Ⅱ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ∴

cn ? (2n ?1)2n …………………………………………1 分

Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? 1? 22 ? 3? 23 ?

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ? 5) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ④

2Tn ?

? ④得
?Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? 2 ? 2n?1 ? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ……………1 分

?Tn ? 2(1 ? 22 ? 23 ?

? 2n?12n ) ? (2n ?1) ? 2n?1

∴ ∴ ∴

?Tn ? 2 ?

2 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n?1 1? 2 ……………………………………………1 分

?Tn ? 2 ? 2n?1 ? 4 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 即 ?Tn ? (3 ? 2n) ? 2n?1 ? 4
Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4

∴数列

{cn } 的前 n 项和 Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4 …………………………………3 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由条件直接求解即可; (Ⅱ)数列 16.

cn ? (2n ?1)2n ,为差比数列,利用错位相减法直接求解.

【知识点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.G4 G11

? 7 1? cos ? ? ? , ? 7 2? ? (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 。
解析: (Ⅰ)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1,

?ABC ? 60? ,∴ AB ? 2 ,∴ AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60? ? 3 ,
2 2 2 ∴ AB ? AC ? BC ,∴ BC ? AC ,

∴平面 ACFE ? 平面 ABCD ,平面 ACFE ∴ BC ? 平面 ACFE . …………5 分

平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD ,

(Ⅱ)由(I)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系, 令 FM ? ? (0 ? ? ?

3) ,则 C(0,0,0), A( 3,0,0) , B?0,1,0?, M ?? ,0,1? ,



AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1? .

?

?

设 n1 ? ?x, y, z ?为平面 MAB 的一个法向量,



? n1 ? AB ? 0 ? ?n1 ? BM ? 0

,得

?? 3x ? y ? 0 ? ?? x ? y ? z ? 0

,

取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,…………7 分 ∵

?

?

n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量,
| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 | ? 1? 3 ? 1

cos ? ?


?

3 ??

?

2

? ?1

1

?? ? 3 ?

2

?4

.…………9 分

7 0 ? ? ? 3 ∵ , ∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值 7 ,
1 当 ? ? 3 时, cos ? 有最大值 2 ,∴

? 7 1? cos ? ? ? , ? ? 7 2 ? .…………………12 分

【思路点拨】 (I)梯形 ABCD 中,∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1,

?ABC ? 60? ,∴ AB ? 2 ,∴ AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60? ? 3 ,
2 2 2 ∴ AB ? AC ? BC ,∴ BC ? AC ,由此能够证明 BC⊥平面 ACFE.

(Ⅱ)由(I)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系, 则 AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1? ,设 n1 ? ?x, y, z ? 为平面 MAB 的一个法向量,

?

?

?? 3x ? y ? 0 ? ?x ? y ? z ? 0 n 由? ,得 1 ,由 n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量,利用向量法能够求出
cosθ .


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