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2013年江苏高考数学理科试卷(带详解)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷)
一、填空题( 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置 上). 1.函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的最小正周期为 【测量目标】三角函数的周期性. 【考查方式】求解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的最小正周期. 【难易程度】容易 【参考答案】 π 【试

题解析】函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的最小正周期 T ? 2.设 z ? (2 ? i) (i 为虚数单位),则复数 z 的模为
2

π 4

.

π 4

2π ? π. 2
.

【测量目标】复数的概念和代数形式的四则运算. 【考查方式】给定复数的代数形式,求解复数的模. 【难易程度】容易 【参考答案】5
2 2 【试题解析】 z ? (2 ? i)2 ? 3 ? 4i ,所以 | z |?| 3 ? 4i |? 3 ? ( ?4) ? 5 .

3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9

.

【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】给定双曲线的标准方程,求解其渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】 y ? ?

3 x. 4 3 x. 4

【试题解析】由双曲线方程可知 a ? 4, b ? 3, 所以两条渐近线方程为 y ? ? 4.集合 ?? 1,0,1?共有 【测量目标】集合的含义. 【考查方式】直接给出集合,求出子集. 【难易程度】容易 【参考答案】8 【试题解析】由于集合中有 3 个元素,故该集合有 2 ? 8 (个)子集.
3

个子集.

5.如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是

.

第 5 题图

【测量目标】选择结构和循环结构的程序框图. 【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图,分析每一次执行的结果并判断是否满足条 件,最后得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】3 【试题解析】算法流程图执行过程如下:

n ? 1, a ? 2, a ? 20; a ? 8, n ? 2, a ? 20; a ? 26, n ? 3, a ? 20 ,输出 n ? 3 .
6.抽样统计甲,乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 . 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【测量目标】数据平均数和方差的计算.

【考查方式】分别计算甲、乙两运动员射击环数的平均数和方差,比较后得出结论. 【难易程度】容易 【参考答案】2 【试题解析】由表中数据计算得 x甲 ? 90, x乙 ? 90, 且

1 s 2甲 ? [(87 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 4 , 5 1 s 2乙 ? [(89 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ] ? 2 .(步骤 1) 5

由于 s 2甲 > s 2乙 ,故乙的成绩较为稳定,其方差为 2. (步骤 2) 7.现有某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m, n(m 剟7, n 数的概率为 .

9) 可以任意选取,则 m, n 都取到奇

【测量目标】古典概型概率. 【考查方式】利用集合求出满足的正整数个数,再用古典概型求出概率. 【难易程度】中等 【参考答案】

20 63

【试题解析】因为正整数 m,n 满足 m 剟7, n (种) , (步骤 1)

9, 所以 (m, n) 所有可能的取值一共有 7 ? 9 ? 63

其中 m,n 都取到奇数的情况有 4 ? 5 ? 20 (种) ,因此所求概率为 p ?

20 .(步骤 2) 63

8.如图, 在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, D, E, F 分别是 AB, AC, AA1 的中点. 设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 = .

第 8 题图 【测量目标】三棱柱、三棱锥体积的计算. 【考查方式】通过点 D, E, F 为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系,然后 利用体积公式得出体积之间的比值. 【难易程度】中等 【参考答案】 1: 24 【试题解析】设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,高为 h,则其体积为 V2 ? Sh .(步骤 1) 又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ?

1 1 1 1 1 ? S? h ? Sh ? V2 , 3 4 2 24 24

故 V1 : V2 = 1: 24 .(步骤 2) 9.抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界)
2

.若点 P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.

.

【考查方式】给定函数和切点横坐标,利用导数的几何意义求出切线方程,然后得到可行域, 再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】 [ ?2, ] 【试题解析】 由于 y? ? 2 x , 所以抛物线在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) , 即 y ? 2x ?1 . 画出可行域(如图). (步骤 1) 设 x ? 2 y ? z ,则 y ? ? 此时最大值 zmax

1 2

1 1 1 x ? z 经过点 A( , 0) , B(0, ?1) 时,z 分别取最大值和最小值, 2 2 2 1 1 ? ,最小值 zmin ? ?2 ,故取值范围是 [ ?2, ] .(步骤 2) 2 2

第 9 题图 10. 设 D, E 分 别 是 △ ABC 的 边 AB, BC 上 的 点 , AD ?

???? ??? ? ???? DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为
【测量目标】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算.

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3
.

【考查方式】在平面图形中利用平面向量的三角形法则和加减法运算法则将向量用不共线的 基本向量表示出来,对照已知条件求出待定系数. 【难易程度】中等 【参考答案】

1 2

【试题解析】由题意

???? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? 2 ???? ??? ? 1 ??? ? ? 2 ???? 1 ??? DE ? BE ? BD ? BC ? BA ? ( AC ? AB ) ? AB ? ? AB ? AC , (步骤 1) 3 2 3 2 6 3
于是

?1 ? ? , ?2 ? ,故 ?1 ? ?2 ?

1 6

2 3

1 .(步骤 2) 2
2

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解 集用区间表示为 .

【测量目标】函数奇偶型的应用以及一元二次不等式的求解. 【考查方式】已知函数为奇函数,通过函数的奇偶性求出对应的分段函数,再利用并集运算 求出不等式的解集. 【难易程度】较难 【参考答案】 (?5, 0) ? (5, ??) 【试题解析】先求出函数 f ( x) 在 R 上的解析式,然后分段求解不等式 f ( x) ? x ,即得不等 式的解集. 设 x ? 0, 则 ? x ? 0, 于是 f (? x) ? (? x)2 ? 4(? x) ? x2 ? 4 x, (步骤 1) 由于 f ( x ) 是 R 上的奇函数,则 ? f ( x) ? x2 ? 4 x, 即 f ( x) ? ? x2 ? 4 x, (步骤 2)

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 0, x ? 0 且 f (0) ? 0, 于是 f ( x ) ? ? (步骤 3) ? ? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?
2 2 当 x ? 0 时,由 x ? 4 x ? x 得 x ? 5 ;当 x ? 0 时,由 ? x ? 4 x ? x 得 ?5 ? x ? 0 ,故不等式

的解集为 (?5, 0) ? (5, ??) (步骤 4)

12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F , a2 b2

右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 . 若

d 2 ? 6d1 ,则椭圆的离心率为
【测量目标】椭圆的定义.

.

【考查方式】根据椭圆中焦点到准线和原点到定直线的线段比例关系,设出各基本量 a, b, c , 化简求出离心率. 【难易程度】中等

【参考答案】

3 3
bc a2 b2 ? c ? .又 BF ? c2 ? b2 ? a ,所以 d1 ? .(步骤 1) a c c

【试题解析】依题意, d 2 ?

由已知可得

b2 bc ? 6 ? .所以 6c2 ? ab ,即 6c4 ? a2 (a2 ?c2 ) ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,所以离 c a

心率 e ?

c 3 .(步骤 2) ? a 3
1 若点 P, A ( x ? 0) 图象上一动点, x
.

13.平面直角坐标系 xOy 中, 设定点 A(a, a ) ,P 是函数 y ? 之间最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为

【测量目标】两点间距离公式、均值不等式、二次函数的最值以及换元法. 【考查方式】已知定点与函数图象中动点的距离最小值,设出点坐标代入距离公式通过换元 法和均值不等式,从而求出待定系数. 【难易程度】较难 【参考答案】 ?1, 10 【试题解析】依题意可设 P ? ( x, )( x ? 0) , 则 | PA | ? ( x ? a ) ? ( ? a ) ? x ?
2 2 2 2

1 x

1 x

1 1 ? 2a( x ? ) ? 2a 2 .(步骤 1) 2 x x

令x?

1 ? t ,则 t …2 且 | PA |2 ? t 2 ? 2 ? 2at ? 2a2 = (t ? a)2 ? a2 ? 2 . (步骤 2) x
2

若 a …2 ,则当 t ? a 时, | PA |2 取最小值 a ? 2 ,令 a2 ? 2 ? (2 2)2 ,解得 a ? 10 ( a ? ? 10 舍去) ;
2 若 a ? 2 ,则当 t ? 2 时, | PA |2 取最小值 2a ? 4a ? 2 ,令 2a2 ? 4a ? 2 ? (2 2)2 ,解得

a ? ?1 ( a ? 3 舍去) (步骤 4)
综上,满足条件的所有 a 的值为 ?1 和 10 .(步骤 5) 14.在正项等比数列 ?an ?中,a5 ? 的最大正整数 n 的值为

1 ,a6 ? a7 ? 3 .则满足 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? a1a2a3 ?an 2
.

【测量目标】等比数列的通项公式、求和公式以及不等式的性质.

【考查方式】给出等比数列的几项,求出其公比和首项,将通项公式和求和公式运用到不等 式中,从而得出 n 的范围,最后确定满足条件的最大正整数. 【难易程度】较难 【参考答案】12

1 ? 1 a1q 4 ? , ? ? ? ?a ? , 2 【试题解析】设 {an } 的公比,则由已知可得 ? 解得 ? 1 32 (步骤 1) ? 1 (q ? q 2 ) ? 3, ? ? q ? 2. ? ?2

1 (1 ? 2n ) n ( n ?1) n ( n ?1) 1 1 于 是 a1 ? a2 ? ? ? an ? 32 ? (2n ? 1) , a1a2 ? an ? a1n q 2 ? ( )n 2 2 . 32 1? 2 32
(步骤 2) 由 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 可得 (步骤 3)
n 由 2 ? 22 1 n2 ? 11 n ?5 2 1 2 11 n ( n ?1) n ? n ?5 1 n 1 (2 ? 1) ? ( ) n 2 2 ,整理得 2n ? 1 ? 2 2 2 . 32 32

, 可 得

n?

1 2 1 1 n ? ? 5 , 即 n2 ? 1 n3? 2 2

?1 0, 解 0 得

1 ? 3 2

1 2 9 ? ?n?

1 3 2

, (步骤 4)

1 2 9

取 n ? 12 ,可以验证当 n ? 12 时满足

a1 ? a2 ? ?? an ? a1a2 ?an ,故 n 的最大值为 12. (步骤 5)
二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区 才域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤). 15.(本小题满分 14 分)已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? π . (1) 若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2) 设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 【测量目标】平面向量的坐标运算、诱导公式. 【考查方式】两个垂直的向量转化为向量的数量积为 0,代入向量即可求证;给出向量加法运 算的坐标关系,利用诱导公式进而求出对应角. 【难易程度】中等

【试题解析】 (1)证明:由题意的 | a ? b |2 ? 2 ,即 (a ? b)2 ? a 2 ? 2a? b ? b2 ? 2 . (步骤 1)

b ? 2 ,即 a ? b ? 0 ,故 a ? b .(步骤 2) 又因为 a 2 ? b2 ?| a |2 ?| b |2 ? 1 ,所以 2 ? 2a ?
( 2 ) 因 为 a + ? b( c o ? s? (步骤 3) 由此得, cos ? ? cos( π ? ? ) ,由 0 ? ? ? π ,得 0 ? π ? ? ? π ,又 0 ? ? ? π ,故 ? ? π ? ? (步骤 4) 代入 sin ? ? sin ? ? 1 ,得 sin ? ? sin ? ? 16. (本小题满分 14 分) 如 图 ,在 三 棱锥 S ? ABC 中 , 平面 SAB ? 平 面 SBC , AB ? BC , AS ? AB . 过 A 作

c ?o ?s ?c o?s ? c ? o s ?,?s i n? ? s ,i n所 以 ) ?( 0 , 1 ) n? ? s i ?n ? s i?

0 , 1,

1 5π π , ? ? .(步骤 5) ,而 ? ? ? ,所以 ? ? 2 6 6

AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点.
求证:(1) 平面 EFG ∥ 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

第 16 题图 【测量目标】面面平行的判定定理和线面垂直的证明. 【考查方式】线面平行 ? 面面平行,线面垂直 ? 线线垂直. 【难易程度】较难 【试题解析】 证明: (1)因为 AS ? AB , AF ? SB ,垂足为 F ,所以 F 是 SB 的中点. (步骤 1) 又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF ∥AB .(步骤 2) 因为 EF ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ,所以 EF∥ 平面 ABC (步骤 3) 同理 EG∥ 平面 ABC . 又 EF ? EG ? E ,所以平面 EFG∥ 平面 ABC .(步骤 4) (2) 因为平面 SAB ? 平面 SBC , 且交线为 SB , 又 AF ? 平面 SAB ,AF ? SB , 所以 AF ?

平面 SBC . (步骤 5) 因为 BC ? 平面 SBC ,所以 AF ? BC . (步骤 6) 又因为 AB ? BC , AF ? AB ? A , AF ? 平面 SAB , BC ? 平面 SAB . (步骤 7) 因为 SA ? 平面 SAB ,所以 BC ? SA .(步骤 8)

第 16 题图 17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ? 0 , 3? ,直线 l:y ? 2 x ? 4 .设圆的半径为 1,圆心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

第 17 题图 【测量目标】圆的方程、圆的切线方程以及两圆间的位置关系. 【考查方式】利用两直线交点确定其圆的方程,进而由待定系数法求出过定点的圆的切线方 程;利用线段关系转化为判断两个圆的有公共点的问题,进而求出未知数的取值范围. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)由题设,圆心 C 是直线 y ? 2 x ? 4 和 a2 ? ?2 的交点,解得点 C (3, 2) ,于是 切线的斜率必存在. (步骤 1)

设过 P11 骤 2)

的圆

C 的切线方程为 y ? kx ? 3 . 由题意得,

| 3k ? 1|
2

3 (步 ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? , 4 k ?1

故所求切线方程为 y ? 3 或 3x ? 4 y ? 12 ? 0 .(步骤 3) (2)因为圆心在直线 y ? 2 x ? 4 上,所以圆 C 的方程为 ( x ? a)2 ? [ y ? 2(a ? 2)]2 ? 1 .(步骤 4)

M A ?2 M O 设 点 M ( x, y ) , 因 为 , 所 以

2 x2 ? ( y ? 3 2 ) ? 2 x 2 ? y, 化 简 得

x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,即 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,所以点 M 在以 D(0, ?1) 为圆心,2 为半径的圆上.
(步骤 5) 由题意,点 M ( x, y ) 在圆

C 上,所以圆 C 和圆 D 有公共点,则 | 2 ? 1|剟CD

2 ?1 , 即

1 剟 a 2 ? (2a ? 3) 2
2

3 .整理,得 ?8 剟5a2 ? 12a
2

0 . (步骤 6)
12 a 5 . 所以 的取值范围为

a ? R ;由 5a ? 12a ? 0 ,得 0 剟a 由 5a ? 12a ? 8 …0 ,得

[0,

12 ] (步骤 7) 5

18. (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处 下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处 停留 1min 后, 再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min, 山路 AC 长 为 1260m,经测量, cos A ? (1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

12 3 , cos C ? . 13 5

第 18 题图 【测量目标】正弦定理的实际应用和函数的最值问题. 【考查方式】由已知条件,利用解三角形的方法和正弦定理求出未知线段;利用余弦定理将

甲和乙之间的距离表示为函数,将距离最短问题转化为函数的最小值问题;在三角形中结合 不等式,考查变量的取值范围. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)在△ ABC 中,因为 cos A ? (步骤 1) 从而 sin B ? sin[π ? (A+C )]=sin(A+C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ? (步骤 2) 由正弦定理

12 3 5 4 , cos C ? ,所以 sin A ? , sin C ? . 13 5 13 5
5 3 12 4 63 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65

AB AC AC 1260 4 ? , 得 AB ? ? sin C ? ? ? 1040(m) 63 5 sin C sin B sin B 65

所以索道 AB 的长为 1040 m .(步骤 3) (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d ,此时,甲行走了 (100 ? 50t )m ,乙距离 A 处 130 t m,所以由余弦定理得

d 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? (130t ) 2 ? 2 ?130t ? (100 ? 50t ) ?
由于 0 剟t

12 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) .(步骤 4) 13

1040 35 (min) 时,甲、乙两游客距离最短. (步骤 5) ,即 0 剟t 8 ,故当 t ? 130 37 BC AC AC 1260 5 ? (3)由正弦定理 ,得 BC ? ? sin A ? ? ? 500(m) (步骤 6) 63 13 sin A sin B sin B 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50 ? (2 ? 8 ? 1) ? 550(m) ,还需走 710m 才能到达 C . (步骤 7) 设 乙 步 行 的 速 度 为 v m/min , 由 题 意 得 ?3 剟 (步骤 8) 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min , 乙步行的速度应控制在 [ (单位: m/min )范围内. (步骤 9) 19. (本小题满分 16 分) 设 ?an ? 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ? d ? 0 ? , Sn 是其前 n 项和 . 记 bn ?

500 710 ? v 50

3 ,解得

1250 剟v 43

625 , 14

1250 625 , ] 43 14

nSn , n2 ? c

n ? N * ,其中 c 为实数.
(1) 若 c ? 0 ,且 b1 , b2 , b4 成等比数列,证明: S nk ? n 2 S k ? k ,n ? Ν *? ;

(2) 若 ?bn ? 是等差数列,证明: c ? 0 . 【测量目标】等差数列的通项公式、前 n 项和以及等比数列的定义及性质. 【考查方式】利用首项 a 和公差 d 将数列 bn 表示出来,根据给定的比例关系得出 a 和 b 的关 系,从而验证等式;给定 ?bn ? 是等差数列代入等式中,通过待定系数法得出各值,再利用排 除法得出相关结论. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1)由 c ? 0 ,得 bn ?

SN n ?1 ?a? d . 又因为 b1 , b2 , b4 成等比数列,所以 b22 ? b1 ? b4 ,即 n 2

d 3 (a ? )2 ? a (a ? d ) ,化简得 d 2 ? 2ad ? 0 . (步骤 1) 2 2
因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 a . 因此,对于所有的 m ? N * ,有 Sm ? m2 a . 从而对于所有的

k , n ? N * ,有 Snk ? (nk )2 a ? n2k 2a ? n2 Sk .(步骤 2)

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a ( n ? 1 ) d ? 2 a ( n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a c n2 ?c ?c (n ? 1)d ? 2a 2 2 2 2 (*) ? ? ? 2 2 n ?c n2 ? c
(步骤 3)
若 {bn } 是等差数列,则 bn

? An ? Bn 型.观察(*)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a 2 故有: (步骤 4) ? 0, 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a ? 0 ,而 即c ≠0, 2 2 c
故c

? 0 .经检验,当 c ? 0 时, {bn} 是等差数列. (步骤 5)

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论. 【测量目标】函数的单调性、极值、最值、零点等性质以及函数与导数的联系.

【考查方式】将减函数转化为导函数为负数,函数在定义域上有最小值转化为导函数的零点 来求解函数中的未知数; 由导函数恒正得出未知数的范围,再进行分类讨论,来研究函数的零 点. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1)令 f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? ?0, (步骤 1) x x

?1 考虑到 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ,故 a ? 0 ,进而解得 x ? a ,即 f ( x ) 在 (a ?1 , ??) 上是单

调减函数. 同理, f ( x ) 在 (0, a ?1 ) 上是单调增函数.

(步骤 2)
?1

由于 f ( x ) 在 (1, ??) 上是单调减函数,故 (1, ??) ? (a?1, ??) ,从而 a ? 1 ,即 a …1 . (步骤 3) 令 g ?( x) ? e x ? a ? 0 , 得 x ? ln a . 当 x ? ln a 时,g ?( x) ? 0 ; 当 x ? ln a 时,g ?( x) ? 0 . 又

g ( x) 在 (1, ??) 上有最小值,所以 ln a ? 1 ,即 a ? e .
综上所述两种情况,得 a ? (e, ??) .(步骤 4)
x (2)当 a ? 0 时, g ( x) 必为单调增函数; 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? e x ? a ? 0 ,解得 a ? e ,

即 x ? ln a . (步骤 5)
x 因为 g ( x) 在 (?1, ??) 上是单调增函数,类似(1)有 ln a ? ?1 ,即 0 ? a ? e . ?1

结合上述两种情况,得 a ? e .(步骤 6) 1 当 a ? 0 时,由 f (1) ? 0 以及 f ?( x) ? ? 0 ,得 f ( x ) 存在唯一的零点; (步骤 7) ○ x
a a a a 2 当 a ? 0 时,由于 f (e ) ? a ? ae ? a(1 ? e ) ? 0 , f (1) ? ?a ? 0 ,且函数 f ( x ) 在 [e ,1] ○ a 上的图象连续,所以 f ( x ) 在 (e ,1) 上存在零点. (步骤 8)

1

另外,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 一个零点. (步骤 9) 3 当0 ? a? ○

1 ? a ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上是单调增函数,所以 f ( x) 只有 x 1 ? a ? 0 ,解得 x ? a ?1 ;当 0 ? x ? a ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x

e?1 时,令 f ?( x) ?

x ? a ?1 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 x ? a ?1 是 f ( x) 的最大值点,且最大值为 f (a?1 ) ? ? ln a ?1 .
(步骤 10)

a. 当 ? ln a ? 1 ? 0 ,即 a ? e 时, f ( x ) 有一个零点 x ? e .(步骤 11) b. 当 ? ln a ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? e 时, f ( x ) 有两个零点.
?1

?1

实际上,对于 0 ? a ? e ,由于

?1

f (e?1 ) ? ?1 ? ae?1 ? 0 , f (a ?1 ) ? 0 ,且函数 f ( x) 在 [e?1 , a ?1 ] 上的图象连续,所以 f ( x)
在 (e?1 , a ?1 ) 上存在零点. 另外, 当 x ? (0, a ?1 ) 时, f ?( x) ? 上只有一个零点. (步骤 12) 下面考虑 f ( x ) 在 (a ?1 , ??) 上的情况. 先证 f (ea ) ? a(a?2 ? ea ) ? 0 . 为此,我们要证明:当 x ? e 时, e ? x .
x 2
?1 ?1

1 ?a ? 0, 故 f ( x ) 在 (0, a ?1 ) x

x ? ( x) ? e 设 h( x) ? e x ? x2 , 则 h?( x) ? ex ? 2x, 再 设 l ( x) ? h ? 2x, 则 l?( x ) ? ex ? 2.

(步骤 13)
x ? ( x)在 (1, ??) 上 是 单 调 增 函 数 . 当 x ? 1 时 , l ?( x ) ? e , 所 以 l ( x) ? h ? 2? e ? 2 ? 0

(步骤 14) 故当 x ? 2 时, h?( x) ? e x ? 2 x ? h?(2) ? e2 ? 4 ? 0 ,从而 h( x) 在 (2, ??) 上是单调增函 数, (步骤 15)
x 2 e 2 进而当 x ? e 时, h( x) ? e ? x ? h(e)=e ? e ? 0 ,即当 x ? e 时, e ? x .(步骤 16)
x 2

当 0 ? a ? e ,即 a

?1

?1

? e 时, f (ea ) ? a?1 ? aea ? a(a?2 ? ea ) ? 0 . 又 f (a ?1 ) ? 0 ,
?1 ?1

?1

?1

?1

且函数 f ( x ) 在 [a ?1 ,ea ] 上的图象连续,所以 f ( x ) 在 (a?1,ea ) 上存在零点. (步骤 17)
?1 又当 x ? a 时, f ?( x) ?

1 ? a ? 0 ,故 f ( x) 在 (a ?1 , ??) 上是单调减函数,所以 f ( x) 在 x

(a ?1 , ??) 上只有一个零点. (步骤 18)
?1 ?1 综合○ 1 ○ 2 ○ 3 可知, 当 a ? 0 或 a ? e 时,f ( x ) 的零点个数为 1; 当 0 ? a ? e 时,f ( x )

的零点个数为 2. (步骤 19)

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题](本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作 答. 若多做,则按照前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) A. [选修 4-1:几何证明选讲] (本小题满分 10 分)

如 图 , AB 和 BC 分 别 于 圆 O 相 切 于 点 D, C, AC 经 过 圆 心 O , 且 BC ? 2OC , 求 证 :

AC ? 2 AD .

第 21 题图 【测量目标】几何证明选讲. 【考查方式】结合三角形和圆相交的一些条件,运用三角形相似的性质从而得出线段间的比 例关系. 【难易程度】中等 【试题解析】证明:连结 OD , 因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D, C ,所以

?ADO ? ?ACB ? 90? . (步骤 1)
又因为 ?A ? ?A , 所以 Rt△ADO ∽ Rt△ACB 所以 故 AC ? 2 AD .(步骤 2)

BC AC ? . 又 BC ? 2OC ? 2OD , OD AD

第 21 题图 B. [选修 4-2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A = ?

??1 0? ?1 2 ? ? ,B= ? , 求矩阵 A B . ? ? ? 0 2? ?0 6 ?

【测量目标】矩阵与行列式初步. 【考查方式】给出两矩阵,利用矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵的性质求出对应参数. 【难易程度】中等

【试题解析】设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?a b ? ? ?1 0? ? a b ? ?1 0? ,则 ? (步骤 1)即 ? ??? ??? ?, ? 0 2? ? c d ? ?0 1 ? ?c d ?

??a ?b ? ?1 0? 1 (步骤 2) ? 2c 2d ? ? ?0 1? ,故 a ? ?1, b ? 0, c ? 0, d ? 2 , ? ? ? ?
? ?1 0 ? ? ?1 0 ? ? ? ,所以 A B = ? ? ?1 2 ? ? ? ?1 ?2 ? .(步骤 3) 从而 A 的逆矩阵为 A = ? 1 1 ? ? ? ?0 ? ?0 ?? ?0 6 ? ? 0 3 ? ? 2? ? 2?
?

C. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 ( t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数). 试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. ? ? y ? 2 tan ?
【测量目标】坐标系与参数方程. 【考查方式】给定直线和曲线的参数方程,用代入法消去参数 t 化为普通方程,联立方程求出 公共点的坐标. 【难易程度】中等 【试题解析】因为直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 ( t 为参数) ,由 x ? t ? 1 得 t ? x ? 1 ,代入 ? y ? 2t

y ? 2t ,得到直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . (步骤 1)
同理得到曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 2 x . 联立方程组 ?

? y ? 2(x ? 1) 解得公共点的坐标为 2 ? y ? 2x

1 (2, 2), ( , ?1) .(步骤 2) 2
D.[选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分).

a …b >0,求证: 2a3 ? b3 …2ab2 ? a2b .
【测量目标】不等式选讲. 【考查方式】用作差比较法证明不等式. 【难易程度】较难
3 2 2 3 【试题解析】证明:∵ 2a ? b ? 2ab ? a b ? (2a ? 2ab ) ? (a b ? b ) ?
3 3 2 2

2a(a2 ? b2 ) ? b(a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 )(2a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(2a ? b) ,(步骤 1)

又 ∵ a …b >0, ∴ a ? b >0, a ? b …0 2a ? b ? 0 ,∴ (a ? b)(a ? b)(2a ? b) …0 (步骤 2) ∴ 2a
3

? b3 ? 2ab2 ? a2b …0 ∴ 2a3 ? b3 …2ab2 ? a2b .(步骤 3)

22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值. (2)求平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的正弦值.

第 22 题图 【测量目标】异面直线、二面角、空间向量及其运算、空间直角坐标系和空间向量的应用. 【考查方式】建立空间直角坐标系求异面直线的余弦值和两平面间二面角的正弦值. 【难易程度】较难

【试题解析】 (1)以 AB, AC, AA 1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
则 A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) . ∴ A1 B ? (2,0,?4) , C1D ? (1, ?1, ?4) (步骤 1)

?

?

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? A1B? C1D 18 3 10 ∴ cos ? A1 B, C1 D ?? ???? ???? , ? ? ? 10 20 ? 18 A1B C1D
∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 为

3 10 .(步骤 2) 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA 1 的的一个法向量, 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 由m?

? (0,2,4) ,(步骤 3)

??? ? ???? ? AD, m ? AC1 ,



?x ? y ? 0 ? ?2 y ? 4 z ? 0

取 z ? 1 , 得 y ? ?2, x ? 2 , ∴ 平 面

ADC 1 的 法 向 量 为 m ? (2, ?2,1)

(步骤 4)
设平面 ADC1 与平面 ABA 1 所成二面角为 ? ,

???? ???? AC ?m ?4 2 5 ? ? , 得 sin ? ? ∴ cos ? ? cos ? AC , m ? ? ???? . 2?3 3 3 AC m

∴平面 ADC1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值为

5 .(步骤 5) 3

第 22 题图 23. (本小题满分 10 分)
k个 ???? ? ????? ? k ?1 k ?1 ( 1 ) k , ? ,( 1 ) k , 即 当 设 数 列 ?an ?: 1 ,-2,-2, 3, 3, 3,-4,-4,-4,-4, ?,

(k ? 1)k ( k k ? 1) k ?1 k ? N ? ? 时, an ? ? n? (-1 ) k ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? an ? n ? N ? ? ,对 ? 2 2
于 l ? N ,定义集合 P 1 ? { n Sn 是 an 的整数倍, n ? N ,且 1 剟n (1)求集合 P 11 中元素的个数; (2)求集合 P 2000 中元素的个数. 【测量目标】集合、数列的概念和运算,计数原理,数学归纳法. 【考查方式】给出数列的规律,由此求出数列相应的项及各项之和,采用列举法写出所满足 的元素;由特殊形式推广到一般形式,采用计数原理和数学归纳法来证明得之. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1) 由数列 ?an ? 的定义得:a1 ? 1 ,a2 ? ?2 ,a3 ? ?2 ,a4 ? 3 ,a5 ? 3 ,a6 ? 3 ,a7 ? ?4 ,
?
?

l }.

net]{[{

a8 ? ?4 , a9 ? ?4 , a10 ? ?4 , a11 ? 5 ,

∴ S1 ? 1 , S2 ? ?1 , S3 ? ?3 , S4 ? 0 , S5 ? 3 , S6 ? 6 , S7 ? 2 , S8 ? ?2 , S9 ? ?6 ,

S10 ? ?10 , S11 ? ?5 (步骤 1)
∴ S1 ? 1? a4 , S5 ? 1?a5 , S6 ? 2? a6 , S11 ? ?1? a1 , S4 ? 0? a11 ,(步骤 2) ∴集合 P 11 中元素的个数为 5.(步骤 3) (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) , 事实上, ①当 i ? 1 时, Si (2i ?1) ? S3 ? ?1? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立; ②假设当 i ? m 时,等式成立,即 Sm(2m?1) ? ?m? (2m ? 1) 故原式成立.(步骤 4)
2 2

则: i ? m ? 1 ,时, S( m?1)[2( m?1)?1] ? S( m?1)(2m?3)? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) ? (2m ? 2)

? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1)2 ? (2m ? 2)2 ? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3) ,(步骤 5)
综合①②得: Si (2i ?1) ? ?i(2i ?1) 于是

S(i?1)[2i?1] ? Si (2i ?1)? (2i ?1)2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1)2 ? (2i ? 1)(i ? 1) ,(步骤 6)
由上可知: Si (2i ?1) 是 (2i ? 1) 的倍数, 而 a(i ?1)(2i ?1)? j ? 2i ? 1( j ? 1, 2,?, 2i ? 1) ,所以 Si (2i ?1)? j ? Si (2i ?1) ? j (2i ? 1) ,(步骤 7) 是 a(i ?1)(2i ?1)? j ( j ? 1, 2,?, 2i ? 1) 的倍数,又 S(i ?1)(2i ?1) ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)(2i ?1)? j ? ?(2i ? 2) ( j ? 1, 2,?, 2i ? 2) , 所以 S(i ?1)(2i ?1)? j ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j (2i ? 2) S(i ?1)(2i ?1)? j ? S(i ?1)(2i ?1) ? j (2i ? 2) 不是

a(i ?1)(2i ?1)? j ( j ? 1, 2,?, 2i ? 2) 的倍数,(步骤 8)
(2i ? 1 ) ? i ,(步骤 9) 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ?
2

j 1剟 j 于是当 l ? i(2i ? 1) ? (

2 2i ? 1 ) 时,集合 Pl 中元素的个数为 i ? j ,

(2 ? 31 ? 1 ) ? 47 , 又 2000 ? 31?
故集合 P 2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008 .(步骤 10)
2


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