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1.1命题 教案(北师大版选修2-1)


§ 1 命题

●三维目标 1.知识与技能 (1)了解命题的概念. (2)通过简单的例子,让学生体会四种命题的构成形式. (3)通过实际例子,让学生体会四种命题的关系. 2.过程与方法 经历从具体数学实例中抽象出命题概念的过程, 感受命题在数学学习中的重要性和广泛 性. 3.情感、态度与价值观 通过命题的学习过程,使学生了解命题的基本知识,认识命题的相互关系,提高思维的 严谨性. ●重点难点 重点:1.命题的概念. 2.四种命题的关系. 难点:1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题. 2.利用四种命题之间的关系判断命题的真假. 对于命题概念的教学,要从具体实例中去认知,从命题与开语句的比较中去把握. 对于命题的四种形式及其关系的教学,要遵循认知规律,通过例子,引导学生探究四种 形式及其关系, 即让学生经历概念的形成和抽象过程, 再通过例题分析得出四种命题之间的 关系.

(教师用书独具)

●教学建议 1.教学中应多举出一些学生熟悉的数学中的例子或生活中的实例. 2.教师可以通过总结引例、例 1、例 2 中的判断结果,引导学生归纳总结出四种命题

的相互关系,以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图. 3.在高中常用逻辑用语部分,一般只要求学生讨论“若 p,则 q”形式的命题,或者可 以改写成“若 p,则 q”的形式的命题,而超出这一形式的命题,在这里不做讨论. ●教学流程 提出问题 抽象 创设问题情境,引出问题― ― ― ― →命题的概念?命题的结构?命题的分类― ― ― ― →四种命题 概括 例题 ― ― →四种命题之间的关系?反馈矫正?归纳总结 学生探究

1.了解命题的概念,会判断命题的真假.(重点) 2. 掌握四种命题的结构形式, 会写出命题的逆命题、 否命题、 课标解读 逆否命题.(重点) 3.能用四种命题之间的相互关系判断四种命题的真假.(难 点)

命题及其形式 【问题导思】 下列能判断真假的语句序号是? ①π 是无理数吗? ②x>1. ③ 2∈N. ④若 a⊥b,则 a· b≤0. 【提示】 ③④能判断真假. 命题及其形式 (1)定义:可以判断真假、用文字或符号表述的语句.
?真命题:判断为真的语句. ? (2)分类? ?假命题:判断为假的语句. ?

(3)形式:通常表示为“若 p,则 q”的形式,其中 p 是条件,q 是结论.

四种命题及其相互关系

【问题导思】 1.下面有四个命题. ①若 x>1,则 x>0. ②若 x>0,则 x>1. ③若 x≤1,则 x≤0. ④若 x≤0,则 x≤1. 它们的条件和结论分别是什么? 【提示】 命题①的条件是 x>1,结论是 x>0. 命题②的条件是 x>0,结论是 x>1. 命题③的条件是 x≤1,结论是 x≤0. 命题④的条件是 x≤0,结论是 x≤1. 2.命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系? 【提示】 命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件. 命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定. 命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定. 1.四种命题

互逆 命题 互否 命题 互为逆 否命题

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定

2.四种命题之间的关系 互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系.

命题及其真假判断

判断下列语句是否为命题,若是命题,判断其真假. ①若 a>b,则 2a>2B


②y=sin x 是奇函数吗? ③x2-1<0(x∈Z). ④空集是任何集合的子集. 【思路探究】 判断一个语句是否为命题,关键是看能否判断其真假. 【自主解答】 ①由指数函数 y=2x 的性质知,①是真命题. ②不是命题,不涉及真假. ③不是命题,未给 x 赋值之前,无法判断真假. ④由空集的性质知,④是真命题.

1.判断一个语句是否为命题,关键看这个语句能否判断真假. 2.判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证;判断一个命题是假命题, 只需举出一个反例即可.

判断下列语句是否为命题,若是命题,判断其真假. (1)斜率相同的两直线平行. (2)若 x+y 是有理数,则 x,y 均为有理数. (3)这是一棵大树. (4)当 x=1 时,x2+2x-3=0. 【解析】 (1)是假命题. (2)是假命题.当 x= 2时,y=- 2时,x+y 是有理数. (3)无法判断真假,不是命题. (4)是真命题.

命题的结构

把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假. (1)矩形的对角线相等. 1 (2)当 m> 时,方程 mx2-x+1=0 无实根. 4 (3)已知 x,y∈N+,当 x+y=2 时,x=y=1.

【思路探究】 分清命题的条件和结论,是解决这类问题的关键. 【自主解答】 (1)若一个四边形是矩形,则它的对角线相等;是真命题. 1 (2)若 m> ,则方程 mx2-x+1=0 无实根;是真命题. 4 (3)已知 x,y∈N+,若 x+y=2,则 x=y=1;是真命题.

改写命题时,需要注意的事项: ①分清命题中的条件和结论;②要注意叙述的完整性,比如第(1)题;③当命题有大前 提时,不能把大前提写在条件中,应写在前面,仍然作为命题的大前提,比如第(3)题.

指出下列命题的条件和结论. (1)若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2B. (2)当 x=1 时,x2=1. (3)两个奇数的和是偶数. 【解】 (1)条件:a,b,c 成等差数列,结论:a+c=2B. (2)条件:x=1,结论:x2=1. (3)条件:两个数都是奇数,结论:它们的和是偶数.

四种命题及其真假判断 写出命题“若不等式 x2+px+q>0 的解集为 R,则 p2-4q≤0”的逆 命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. 【思路探究】 根据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写,要注意: (1)分清命题的条件和结论; (2)“>”的否定是“≤”. 【自主解答】 逆命题:若 p2-4q≤0,则不等式 x2+px+q>0 的解集为 R;假命题. 否命题:若不等式 x2+px+q>0 的解集不是 R,则 p2-4q>0;假命题. 逆否命题:若 p2-4q>0,则不等式 x2+px+q>0 的解集不是 R;真命题.

互为逆否命题的两个命题同真假,因此,在直接判断一个命题的真假困难时,通常转化 为判断它的逆否命题的真假.

写出命题“末位数字是 0 的整数能被 5 整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其 真假. 【解】 逆命题:能被 5 整除的整数的末位数字是 0,假命题. 否命题:末位数字不是 0 的整数不能被 5 整除,假命题. 逆否命题:不能被 5 整除的整数的末位数字不是 0,真命题.

对四种命题的结构认识不清致误 已知 a,b∈R,命题“若 a+b=2,则 a2+b2≥2”的否命题是( A.若 a+b≠2,则 a2+b2<2 B.若 a+b=2,则 a2+b2<2 C.若 a+b≠2,则 a2+b2≥2 D.若 a2+b2≥2,则 a+b=2 【错解】 只否定结论,错选 B;只否定条件,错选 C;误将互否理解成互逆,错选 D. 【答案】 D 【错因分析】 对四种命题的结构形式认识不清致误. 【防范措施】 掌握四种命题的结构形式. 原命题:若 p,则 q. 逆命题:若 q,则 p. 否命题:若 p 的否定,则 q 的否定. 逆否命题:若 q 的否定,则 p 的否定. 【正解】 “a+b=2”的否定是“a+b≠2”,“a2+b2≥2”的否定是“a2+b2<2”, 由否命题的定义知,选项 A 正确. 【答案】 A )

1.判断一个语句是否为命题,关键看它能否判断真假. 2.对于四种命题要掌握其结构形式. 3.由于互为逆否命题的两个命题是等价命题,它们同真假,所以当一个命题不易判断 真假时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

1.“红豆生南国, 春来发几枝?愿君多采撷, 此物最相思.”这是唐代诗人王维的 《相 思》诗,在这 4 句诗中,可作为命题的是( A.红豆生南国 C.愿君多采撷 【解析】 只有 A 选项能判断真假. 【答案】 A 2.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 b?M,则 a∈M C.若 b∈M,则 a?M 【解析】 由原命题与其逆否命题等价知:选项 C 正确. 【答案】 C 3.命题:“菱形的对角线互相垂直”的条件是__________,结论是____________. 【解析】 该命题可写成:若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直.所以,命 题的条件是一个四边形是菱形,命题的结论是它的对角线互相垂直. 【答案】 一个四边形是菱形 它的对角线互相垂直 4.命题:若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根.写出该命题的逆命题、否命题、逆否 命题,并判断这些命题的真假. 【解】 逆命题:若方程 x2+2x+q=0 有实根,则 q<1,假命题. ) B.若 a?M,则 b∈M D.若 a∈M,则 b∈M ) B.春来发几枝 D.此物最相思

否命题:若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 无实根,假命题. 逆否命题:若方程 x2+2x+q=0 无实根,则 q≥1,真命题.

一、选择题 1.下列语句不是命题的是( A.3 是 15 的约数 C.0 不是自然数 D.正数大于负数吗? 【解析】 选项 D 是疑问句,没有对正数与负数的大小关系作出判断,故选 D. 【答案】 D 2.若一个命题 p 的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是( A.命题 p 是真命题 B.命题 p 的否命题是假命题 C.命题 p 的逆否命题是假命题 D.命题 p 的否命题是真命题 【解析】 一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题,故它们同真假,故选 B. 【答案】 B 3.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 【解析】 此命题的逆否命题为:若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1. 【答案】 D 4.假设坐标平面上一非空集合 S 内的点(x,y),具有以下性质:“若 x>0,则 y>0”, 试问下列哪个叙述对 S 内的点(x,y)必定成立( A.若 x≤0,则 y≤0 B.若 y≤0,则 x≤0 C.若 y>0,则 x>0 D.若 y>0,则 x≤0 【解析】 若 x>0,则 y>0?若 y≤0,则 x≤0,故选 B. 【答案】 B 5.有下列四个命题,其中真命题是( ) )
2

) B.3 小于 2

)

)

①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;

②“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的否命题; ③“面积相等的三角形全等”的否命题; π ④“若 x≠ +2kπ(k∈Z),则 tan x≠1”的逆否命题. 4 A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 【解析】 ①逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,真命题; ②否命题为“若 a+b<2,则 a,b 都小于 1”,假命题; ③否命题为“面积不相等的三角形不全等”,真命题; π ④逆否命题为“若 tan x=1,则 x= +2kπ(k∈Z)”,假命题. 4 【答案】 C 二、填空题 6.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,则 s 是 p 的逆命题 t 的________命题. 【解析】 根据四种命题的关系,易知 s 是 t 的否命题. 【答案】 否 7.在命题“若 a>b,则 a2>b2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为 ________. 【解析】 当 a=1,b=- 2时,a2<b2,故原命题为假,所以它的逆否命题为假;当 a=-2,b=1 时,a<b,故原命题的逆命题为假,所以原命题的否命题为假,故假命题的 个数为 3. 【答案】 3 8.命题“负数的平方是正数”的否命题是________. 【解析】 负数的否定是非负数,是正数的否定是不是正数,故命题的否定是:非负数 的平方不是正数. 【答案】 非负数的平方不是正数 三、解答题 9.将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式. (1)偶数能被 2 整除; (2)奇函数的图像关于原点对称; 【解】 (1)若一个数是偶数,则它能被 2 整除; (2)若一个函数是奇函数,则它的图像关于原点对称. 10.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论;

(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 【解】 (1)逆命题是:若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0.它是成立的,可用反 证法证明: 假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a. 因为 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 所以 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)与条件矛盾,逆命题真. (2)逆否命题是:若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则 a+b<0.它为真,可用证明原命题为 真来证明: 由 a+b≥0,得 a≥-b,b≥-a. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ∴逆否命题为真. 11.a,b,c 为三个人,命题 A:“如果 b 的年龄不是最大,那么 a 的年龄最小”和命 题 B:“如果 c 的年龄不是最小,那么 a 的年龄最大”都是真命题,则 a,b,c 的年龄的大 小顺序是否能确定?请说明理由. 【解】 显然命题 A 和 B 的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它的逆否命题来 看. 由命题 A 为真可知,b 不是最大时,则 a 是最小,∴c 最大,即 c>b>a;而它的逆否 命题也为真,即“a 不是最小,则 b 是最大”为真,即 b>a>c. 同理由命题 B 为真可得:a>c>b 或 b>a>c. 故由 A 与 B 均为真可知 b>a>c. ∴ a , b , c 三 人 的 年 龄 的 大 小 顺 序 是 : b 最 大 , a 次 之 , c 最 小 .

(教师用书独具)

判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空, 则 a≥1”的逆否命题的真假.

【思路探究】 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出 a 的范围, 再去判断命题 的真假. 【自主解答】 法一 写出原命题的逆否命题:已知 a,x 为实数,若 a<1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集. 判断真假如下:抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 开口向上,判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+ 2)=4a-7,因为 a<1,所以 4a-7<0, 即抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集.故原命题的逆否命题为真 命题. 法二 先判断原命题的真假. 因为 a, x 为实数, 且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空, 所以 Δ=(2a 7 +1)2-4(a2+2)≥0,即 4a-7≥0,解得 a≥ . 4 7 因为 a≥ ,所以 a≥1,所以原命题为真.也说明逆否命题为真. 4

此类问题的求解,可先写出原命题的逆否命题,再判断其真假.也可以通过判断原命题 的真假, 来间接判断其真假. 至于用哪种方法, 要看原命题与它的逆否命题哪一个更好判断.

若 a2+b2=c2,求证:a,b,c 不可能都是奇数. 【解】 法一 (逆否证法)依题意,就是证明命题“若 a2+b2=c2,则 a,b,c 不可能

都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若 a,b,c 都是奇数,则 a2+b2≠c2” 为真命题即可. 若 a,b,c 都是奇数,则 a2,b2,c2 都是奇数.于是 a2+b2 为偶数,而 c2 为奇数,即 a2+b2≠c2.∴原命题的逆否命题为真命题,所以原命题成立. 法二 (反证法)假设 a,b,c 都是奇数,则 a2,b2,c2 都是奇数.

得 a2+b2 为偶数,而 c2 为奇数,即 a2+b2≠c2,与 a2+b2=c2 矛盾. 所以假设不成立,从而原命题成立.


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