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福建省晋江市养正中学12-13学年高一上学期期中考试数学试卷


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第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置.

2、已知幂函数 f (x) 过点

?

2 ,2 2 ,则函数 f (x) 的表达式为(
2

?


1 2

1 A. f ? x ? ? x

B. f ? x ? ? x

C. f ? x ? ? x

3

D. f ? x ? ? x

3、如果 A= {x | x ? ?1} ,那么( A. 0 ? A B. {0} ? A

) C. ? ? A ) D. {0} ? A

4、下列各组函数中的两个函数是相等函数的是( A. f ? x ? ? ? x ? 1? 与g ? x ? ? 1
0

B. f ? x ? ? x 与g ? x ? ? D. f ? x ? ?
0.2

x2

C. f ? x ? ? x与g ? x ? ?

? x?
0.3

2

x ? 1 ? x ? 1与g ? x ? ? x 2 ? 1


5、已知 a ? log 2 0.3 , b ? 2 , c ? 0.3 ,则 a, b, c 三者的大小关系是 ( A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. c ? b ? a 6、二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, a ? c ? 0 ,则函数的零点个数是(
2



A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 无法确定

7、已知 f ( x) ? ax ? bx ? 4 其中 a, b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) =(
3



A.2

B.-6

C.-10

D.-4

8、设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0,??] 时 f(x)是增函数,则 f(-2),f( ? ),f(-3)的大小关系 是( ) A.f( ? )>f(-3)>f(-2) B.f( ? )>f(-2)>f(-3)

?

??

C.f( ? )<f(-3)<f(-2)

D.f( ? )<f(-2)<f(-3)

10、函数 y ? log 0.5 2 x 2 ? 3 x ? 1 的单调递减区间是( A. ? ? ?, ? 4

?

?

) D. ?1,?? ?

? ?

3? ?

B. ? ,?? ?
3 2

?3 ?4

? ?

C. ? ? ?, ? 2

? ?

1? ?

11、若函数 f ? x ? ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如 下表:

f ?1? ? ?2 f ?1.25? ? ?0.984 f ?1.438? ? 0.165

f ?1.5? ? 0.625 f ?1.375? ? ?0.260 f ?1.4065? ? ?0.052


那么方程 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度为0.05)为( A.1.275 B.1.375 C.1.415
x

D.1.5
1

12、给出下列函数① f ? x ? ? ? ? ;② f ? x ? ? x ;③ f ? x ? ? x ;④ f ? x ? ? x 2 ;⑤ f ? x ? ? log 2 x .
2 3

?1? ?2?

其中满足条件f ( A.1个

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )> (0 ? x1 ? x 2 ) 的函数的个数是( 2 2 B.2个 C.3个 D.4个



第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13、函数 f ( x) ?

x?4 的定义域为 x?2



x?2 14、当 a ? 0 ,且 a ? 1 时,函数 f ( x) ? a ? 3 必过定点

.

?

??

15、若函数 f ( x) ? ?

? x ? 1,( x ? 0) ,则 f (?3) ________._ ? f ( x ? 2), ? x ? 0 ?

16、 里氏震级 M 的计算公式为:M l A l A ?g ?g 0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅, A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 100000,此时标准地震的 振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)

?1? 计算: (1)0.25× ? ? -4÷ ?2?

?4

?

?1? 2 5 ?1 ? ? ? ; ? 16 ?
0
2

?

?

1

(2) lg 25 ? lg 2 ? lg 50 ? ?lg 2 ? .

18、 (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时,函数解析式为 f ? x ? ? (Ⅰ)求 f ?? 1? 的值; (Ⅱ)求当 x ? 0 时,函数的解析式。

2 ?1 , x

19、 (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x a ? x ? a ? 3 , B ? x x ? ?1或x ? 5 . (Ⅰ) 若 a ? ?2,求A ? CR B ; 20、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ?log 2 x ? ? 3 log 2 x ? 2 ,
2

?

?

?

?

(Ⅱ) 若 A∪B=B,求 a 的取值范围。

1 ? x ? 4, 4

(Ⅰ) t ? log 2 x ,求 t 取值范围; (Ⅱ) f ( x) 的最值, 若 求 并给出函数取最值时对应的 x 的值。

21、 (本小题满分 12 分) 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气

?

??
?1? ? ? 16 ?
t ?a

的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比.药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ? ( a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1) 求从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 y(毫克)

y (毫克)
与时间 t (小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气 中每立方米空气的含药量降到 0.25 毫克以下时,学生方可 进教室,那从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学 生才能回到进教室?

1

O 0.1
22、 (本小题满分 14 分) 已知 f ?log a x ? ? (Ⅰ)求 f ? x ? ;

t (小时)

a ? 1? ? x ? ? (a ? 0, 且a ? 1) x? a ?1?
2

(Ⅱ)判断并证明 f ? x ? 的奇偶性与单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f t ? 2t ? f 2t ? k ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
2 2

?

? ?

?

养正中学 2012—2013 学年度高一(上)期中考数学试卷参考答案

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)

13___ [?4,?2) ? (?2,??) __, 15_______2_________,
17. (本小题满分 12 分)

14_____(2,-2)____ 16_______8________

?1? 计算: (1)0.25× ? ? -4÷ ?2?

?4

?

?1? 2 5 ?1 ? ? ? ; ? 16 ?
0

?

?

1

?

??

18、 (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时,函数解析式为 f ? x ? ? (1)求 f ?? 1? 的值; (2)求当 x ? 0 时,函数的解析式。 解:(1)∵ 函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,∴ f (?1) ? f (1) ? 1 (2)当 x ? 0时, ? x ? 0 , f (? x) ? ? ? ………3 分 ………7 分

2 ?1 x

2 ?1, x

∵函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,∴ f ?? x ? ? f ? x ? ? ? 故当 x ? 0 时,函数的解析式 f ? x ? ? ? 19. (本小题满分 12 分)

2 ? 1 ,………11 分 x
………12 分

2 ?1。 x

已知集合 A ? x a ? x ? a ? 3 , B ? x x ? ?1或x ? 5 . (1) 若 a ? ?2,求A ? CR B ; (2) 若 A∪B=B,求 a 的取值范围. 解:(1)若 a ? ?2, A ? x ? 2 ? x ? 1 , C R B ? x ? 1 ? x ? 5

?

?

?

?

?

?

?

?

………4 分

? A ? C R B ? ?x ? 1 ? x ? 1?

………6 分 ………10 分

(2)? A ? B ? B,? A ? B , a ? 3 ? ?1或a ? 5 , 即 a ? ?4或a ? 5 20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ?log 2 x ? ? 3 log 2 x ? 2 ,
2

………12 分

1 ? x ? 4, 4

(1)

若 t ? log 2 x ,求 t 取值范围; (2)求 f ( x) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值。

解: (1)? t ? log 2 x,

1 ?x?4 4

?

??

? log 2

1 ? t ? log 2 4 4 即? 2 ? t ? 2

………3 分

21. (本小题满分 12 分) 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气的含 药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比.药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ? 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)求从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米空气的含药量降到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物 释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到进教室?

?1? ? ? 16 ?

t ?a

(a

y (毫克)

解: (1)从图中可以看出线段的端点分别为 ?0,0 ?, ?0 ? 1,1? 当

1

0 ? t ? 0.1 时,因为室内每立方米空气的含药量 y (毫克)
与 时 间 t ( 小 时) 成正 比 .设 y ? kt , 图 象过 点 ?0.1,1? 则

y ? 10t
O 0.1

t (小时)

?1? 点 ?0.1,1? 也在 y ? ? ? ? 16 ?

t ?a

上,故 a ? 0.1 ,当 t ? 0.1 时,

?1? y?? ? ? 16 ?

t ? 0.1



?

??

? 1? ? ? ?10t,0 ≤ t ≤ 10 ?, ? ? ? 故y?? 1 t? 1? ?? 1 ? 10 ? ? ?? 16 ? ,t ? 10 ? ? ? ?? ?
?1? (2)显然 t ? 0.1 ,设 ? ? ? 16 ?
得?
t ? 0.1

………6 分

? 0.25 , ………9 分 1 4

?1? ? ? 16 ?

t ? 0.1

?

1 ?1? ,? ? ? 4 ?4?

2 t ? 0.2

?

2t ? 0.2 ? 1, t ? 0.6 ,

故从药物释放开始,至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到进教室。………12 分 22. (本小题满分 14 分) 已知 f ?log a x ? ? (Ⅰ)求 f ? x ? ;

a ? 1? ? x ? ? (a ? 0, 且a ? 1) x? a ?1?
2

(Ⅱ)判断并证明 f ? x ? 的奇偶性与单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

解: (1)令 t ? log a x?t ? R ? 则 x ? a t , f ?t ? ?

a a a t ? a ?t ,? f ? x ? ? 2 a x ? a ? x ( x ? R) a ?1 a ?1
2

?

?

?

?

………3 分

(2)? x ? R, f ?? x ? ? ∴函数 f ? x ? 为奇函数。

a a a ?x ? a x ? ? a x ? a ? x ? ? f ?x ? a2 ? 1 a ?1
2

?

?

?

?

………5 分

? a ? 1, x1 ? x 2 ,? a x1 ? a x2 , a x2 ? a x1 ? 0, a x1 a x2 ? 0 ,

a ?0 a ?1
2

? f ?x 2 ? ? f ?x1 ? ? 0, 即f ?x 2 ? ? f ?x1 ?

?

??

类似可证明当 0 ? a ? 1时,f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ,综上,无论 a ? 1或0 ? a ? 1 , f ? x ?在R 上都是增函 数。 (3)不等式化为 f t ? 2t ? ? f 2t ? k , 即f t ? 2t ? f k ? 2t
2 2 2

………9 分

?

?

?

?

?

?

?

2

?

∵ f ? x ?在R 上都是增函数,∴ t ? 2t ? k ? 2t 对t ? R 恒成立
2 2

即 3t 2 ? 2t ? k ? 0 对 t ? R 恒成立,∴ ? ? 4 ? 12k ? 0, k ? ? 故 k 的取值范围 ? ? ?,? ? .

1 3
………14 分

? ?

1? 3?


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