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江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷


苏州市 2015 届高三调研测试 数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 . ......... 1.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1} ,则 A 2.已知

B?
.

.

2 ? 3i ? a ? bi (a, b ? R, i 为虚数单位 ) ,则 a ? b ? i

3.已知函数 f ( x) ? sin(kx ?

?

5

) 的最小正周期是

? ,则正数 k 的值为 3

.

4.某课题组进行城市空气质量监测,按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应区域城市数分 别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则乙组中应该抽取的城市数为 . 5.已知等差数列 {an } 中, a4 ? a6 ? 10 ,若前 5 项的和 S5 ? 5 ,则其公差为 6.运行如图所示的流程图,如果输入 a ? 1, b ? 2 , 则输出的 a 的值为
2

.

开始

. 输入 a,b

7.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心, 离心率为 2 的双曲线标准方程为 .

8.设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标 的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区域内的 概率为 9.已知函数 f ( x) ? lg(1 ? . a

a>8 N a+b

Y

输出 a

a 1 ) 的定义域是 ( , ??) , x 2 2

结束 . A F D B E

则实数 a 的值为 . 10.已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为 11.如图,在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 6, ?BAC ? 60? , 点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且 AB ? 2 AD, AC ? 3AE , 点 F 为 DE 中点,则 BF DE 的值为 12.已知函数 f ( x) ? ? .

C

?4,

x ? m, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 恰有三个不同的零点,则实数 2 x ? m . x ? 4 x ? 3, ?

m 的取值范围是

.

13.已知圆 M : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,直线 l : x ? y ? 6 ? 0, A 为直线 l 上一点,若圆 M 上存在两 点 B, C ,使得 ?BAC ? 60? ,则点 A 的横坐标的取值范围是 14.已知 a , b 为正实数,且 a ? b ? 2 ,则 .

a 2 ? 2 b2 的最小值为 ? a b ?1

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要的文字 .... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin ? , 2), b ? (cos ? ,1) ,且 a , b 共线,其中 ? ? (0, (1)求 tan(? ?

?
2

).

?
4

) 的值;

(2)若 5cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ?,0 ? ? ?

?
2

,求 ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 AD, DD 1 中点. 求证: (1) EF ∥ 平面 C1BD ; (2) AC ? 平面 C1BD . 1 A1 D1 B1 C1

D A B

C

17. (本小题满分 14 分) 如图,某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种植桃树,已知角 A 为

120?, AB, AC 的长度均大于 200 米,现在边界 AP,AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆.
(1)若围墙 AP,AQ 总长度为 200 米,如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大? (2) 已知 AP 段围墙高 1 米, AQ 段围墙高 1.5 米, 造价均为每平方米 100 元.若围围墙用了 20000 元,问如何围可使竹篱笆用料最省? A Q P B C

18. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 B 是其下顶点,过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 A(A 点在 12 4

,且线段 AB 的中点 E 在直线 y ? x 上. x 轴下方) (1)求直线 AB 的方程; (2)若点 P 为椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且直线 AP,BP 分别交直线 y ? x 于点 M、N,证明: OM ON 为定值. y P N A E O B x M

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a( x ?1) ,其中 a ? R, e 为自然对数底数. (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并写出相应的单调区间; (3)已知 b ? R ,若函数 f ( x) ? b 对任意 x ? R 都成立,求 ab 的最大值.

20. (本小题满分 16 分)

?1 ? an ? n (n为奇数) 已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . ( n 为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在, 求 ? 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n .

数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1.本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) .本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一 律无效. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域 内作答 .若 ....... ......... ... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分)如图,过圆 O 外一点 P 作圆 O 的切线 PA,切点为 A,连结 OP 与圆 O 交于点 C,过 C 作 AP 的算线,垂足为 D,若 PA=12cm,PC=6cm,求 CD 的长。

B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知矩阵,A= ?1 ?1 ?

2 ? 向量 ? 2? ? ? ? ? ,求向量 ? ,使得 A2 ? ? ? . , ? 1? ?1 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 ? ? 3cos? 与直线 2 ? cos? ? 4 ? sin ? ? a ? 0 相切,求实数 a 的值.

D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)设实数 x,y,z 满足 此时 x,y,z 的值。 ,的最小值,并求

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2, AF ? 1 . (1)求二面角 A-DF-B 的大小; (2)试在线段 AC 上确定一点 P,使 PF 与 BC 所成角为 60? .

23、 (10 分)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能 获利 10%,可能损失 10%,可能不陪不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果投资乙 项目,一年后可能获利 20%,可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为 α 和 β(α+β=1). (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金) ,求 X 的概率 分布列及数学期望 E(X). (2)若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求 α 的取值范围.

1 1 1 2 4 4

苏州市 2015 届高三调研测试 数学Ⅰ 试题 2015.1

参考答案与评分标准
1.(-2,1] 6.9 2.1 7. x 2 ? 3.6 4.3 9. 2 14. 5.2 10.
3 π 3

y ?1 3

2

8.

1 2

11.4

12. ?1,2?

13.[1,5]

3? 2 2 3

15.解 (1)∵ a∥ b,∴sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,即 tan ? ? 2 . ………………………………4 分 ∴tan(? ?

π 1 ? tan ? 1 ? 2 )? ? ? ?3 . 4 1 ? tan ? 1 ? 2

………………………………………………7 分

(2)由(1)知 tan ? ? 2 ,又 ? ? (0, ) ,∴sin ? ? ∴5cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ? ,

π 2

2 5 5 , …………9 分 , cos ? ? 5 5

∴5(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 3 5 cos ? ,即 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? , ∴cos ? ? sin ? ,即 tan ? ? 1 , 又0 ?? ? ………………………………………………………12 分

?
2

,∴? ?

?
4



……………………………………………………………14 分

16.证明: (1)连结 A1D, ∵E,F 分别是 AD 和 DD1 的中点,∴EF∥ AD 1. …………………………………2 分 ∵ 正方体 ABCD-A1B1C1D1, ∴AB∥ D1C1,AB=D1C1. ∴ 四边形 ABC1D1 为平行四边形,即有 A1D∥ BC1 ………………………………………4 分 D1 C1 ∴EF∥ BC1. B1 A1 又 EF ? 平面 C1BD,BC1 ? 平面 C1BD, ∴EF∥ 平面 AB1D1. ……………………………………7 分
F

E A

D B

C

BD. (2)连结 AC,则 AC⊥ ∵ 正方体 ABCD-A1B1C1D1,∴ AA1⊥ 平面 ABCD, ∴AA1⊥ BD. BD⊥ 又 AA1 I AC ? A ,∴ 平面 AA1C, ∴A1C⊥ BD. ……………………………………………11 分 BC1. 同理可证 A1C⊥ A1C⊥ 又 BD I BC1 ? B ,∴ 平面 C1BD. ……………………………………………… 14 分 17.解 设 AP ? x 米, AQ ? y 米. (1)则 x ? y ? 200 , ?APQ 的面积

S?

1 2

xy sin120? ?

3 4

xy .

…………………………………………………………3 分

∴ S≤

3 x? y 2 ( ) ? 2500 3 . 4 2

当且仅当 x ? y ? 100 时取“=”. …………………………………………………………6 分 (注:不写“=”成立条件扣 1 分) (2)由题意得 100 ? (1? x ? 1.5 ? y) ? 20000 ,即 x ? 1.5 y ? 200 . …………………8 分 要使竹篱笆用料最省,只需其长度 PQ 最短,所以

PQ2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? x2 ? y 2 ? xy

? (200 ?1.5 y)2 ? y 2 ? (200 ?1.5 y) y ? 1.75 y 2 ? 400 y ? 40000 ( 0 ? y ?
当y?

400 ) 3

………………………………………11 分

800 200 200 21 时, PQ 有最小值 ,此时 x ? . 7 7 7

…………………………13 分

答: (1)当 AP ? AQ ? 100 米时,三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米; (2)当 AP ?

200 800 米 , AQ ? 米时,可使竹篱笆用料最省.……………………… 14 分 7 7

18.解: (1)设点 E(m,m) ,由 B(0,-2)得 A(2m,2m+2) .

代入椭圆方程得 解得 m ? ?

4m 2 (2m ? 2) 2 m2 ? ? 1 ,即 ? ( m ? 1) 2 ? 1 , 12 4 3

3 或 m ? 0 (舍) . 2 所以 A( ?3 , ?1 ) ,
故直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 . (2)设 P( x0 , y0 ) ,则

………………………………………………3 分

…………………………………………………6 分

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 4 ? 0 . 3 12 4

设 M ( xM , yM ) ,由 A,P,M 三点共线,即 AP P AM , ∴( x0 ? 3)( yM ? 1) ? ( y0 ? 1)( xM ? 3) , 又点 M 在直线 y=x 上,解得 M 点的横坐标 xM ?

uu u r

uuur

3 y0 ? x0 ,……………………………9 分 x0 ? y0 ? 2

设 N ( xN , yN ) ,由 B,P,N 三点共线,即 BP P BN , ∴x0 ( yN ? 2) ? ( y0 ? 2) xN , 点 N 在直线 y=x 上, ,解得 N 点的横坐标 xN ?

uur

uuu r

?2 x0 . x0 ? y0 ? 2

…………………………12 分

ON= 2 | xM ? 0 | ? 2 | xN ? 0 | = 2 | xM | ? | xN | =2 | 所以 OM·

3 y0 ? x0 ?2 x0 | ?| | x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? 2

2 x0 2 ? 6 x0 y0 x0 2 ? 3x0 y0 2 x0 2 ? 6 x0 y0 2 | | 2 | | |= =2| = 6 .…………………… 16 分 x0 2 = x0 2 2 2 x0 ? 2 x0 y0 ? ? x0 y0 ( x0 ? y0 ) ? 4 3 3
19.解: (1)当 a ? ?1 时, f ' ? x ? ? e ? 1, f ' ?1? ? e ? 1, f ?1? ? e ,
x

………………2 分

∴ 函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? e ? ? e ?1?? x ?1? , 即 y ? ? e ?1? x ?1 . (2)∵ f ' ? x ? ? e ? a ,
x

?

?

……………………………………………………………………4 分

① 当 a ≤ 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增;………………………………6 分

② 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,
x

∴x ? ? ??,ln a ? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调 递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递 增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? . ……………………………………9 分 (3)由(2)知,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, ∴ f ? x ? ≥ b 不可能恒成立; ………………………………………………………………10 分 当 a ? 0 时, b ≤ 0 ,此时 ab ? 0 ; ………………………………………………………11 分 当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? ≥ b 对任意 x ? R 都成立,得 b ≤ f min ? x ? , ∵ fmin ? x ? ? f ? ln a ? ? 2a ? a ln a ,∴b ≤ 2a ? a ln a ∴ab ≤ 2a 2 ? a 2 ln a , 设 g ? a ? ? 2a ? a ln a ? a ? 0? ,∴ g ' ? a ? ? 4a ? ? 2a ln a ? a ? ? 3a ? 2a ln a ,
2 2

………………………………13 分

由于 a ? 0 ,令 g ' ? a ? ? 0 ,得 ln a ?

3 3 , a ? e2 , 2

? 3 ? ? 3 ? 2 当 a ? ? 0, e ? 时, g ' ? a ? ? 0 , g ? a ? 单调递增; a ? ? e 2 , ?? ? 时, g ' ? a ? ? 0 , g ? a ? 单调递减. ? ? ? ?
∴g max ? a ? ?
3

e3 e3 ,即 ab 的最大值为 , 2 2

此时 a ? e 2 , b ?

1 3 e2 . 2

………………………………………………………………… 16 分

20.解: (1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1

bn

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ?

1 ?3

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1



…………………………………2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

, ? q (常数)

1 ? q? ? 1 ? ? q ? 0 ? ? 3 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? q ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2

?1

…………………5 分

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6 3 所以存在实数 ? ? ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列………………………………………6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
此时 b1 ? a2 ? (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ? 故 bn ? a2 n ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ? 3?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,…………………8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

由 a2 n ?

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2n?1 ? 3a2n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?

? 6n ?

15 ,……10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? a ? a ? ? ? ? ? 6 n ? 9 ? ? 2 ? 所以 2 n ?1 ?? ? 2n ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? 3 3 ? ? ? ? ?3? ? ? ?

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?
?1 ? ? ?2 ? ? ? ?3 ? ?
2 n 1? ? 1 ? ? ? ? 2 L ? n ? ? n9 ? ? L ? ? ? ? ? 6? 1 3? ? 3 ? ? ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ?2 ? ? 1 1? 3

n

? n n ? 1 1 2 ? ? ? ? 2 n ( n ? 1) ? ? ? 6? ? 9n ? ? ? ? 1 ? 3n ? 6n ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 , ………… ? 3? ? 3? 2

……………………………………………………12 分

显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.…………………………………………… 16 分


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