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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练8


题组层级快练(八)
1.若函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(4)=f(1),则( A.f(2)>f(3) B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与 f(2)的大小关系不确定 答案 C 5 解析 ∵f(4)=f(1),∴对称轴为 ,∴f(2)=f(3). 2 2.若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0

)=1,则 f(x)的表达式为( A.f(x)=-x2-x-1 C.f(x)=x2-x-1 答案 D 解析 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得
? ?c=1, ? 2 2 ?a?x+1? +b?x+1?+c-?ax +bx+c?=2x. ?

)

)

B.f(x)=-x2+x-1 D.f(x)=x2-x+1

2a=2, ? ? 故?a+b=0, ? ?c=1,

a=1, ? ? 解得?b=-1, ? ?c=1,

则 f(x)=x2-x+1.故选 D. 3.如图所示,是二次函数 y=ax2+bx+c 的图像,则|OA|· |OB|等于( )

c A. a c C.± a 答案 B

c B.- a D.无法确定

c c 解析 ∵|OA|· |OB|=|OA· OB|=|x1x2|=| |=- (∵a<0,c>0). a a 4.(2015· 上海静安期末)已知函数 f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1) C.[-1,2] 答案 C 解析 二次函数 f(x)=-x2+4x 的图像是开口向下的抛物线,最大值为 4,且在 x=2 时取得,而当 x B.(-1,2] D.[2,5)

=5 或-1 时,f(x)=-5,结合图像可知 m 的取值范围是[-1,2]. 5.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图像大致是( )

答案 C
?x2+bx+c?x≤0?, ? 6.(2015· 山东济宁模拟)设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方 ? ?2 ?x>0?,

程 f(x)=x 的解的个数为( A.4 C.1 答案 D

) B .2 D.3

解析 由解析式可得 f(-4)=16-4b+c=f(0)=c,解得 b=4. f(-2)=4-8+c=-2,可求得 c=2.
?x2+4x+2 ? ∴f(x)=? ?2 ?x>0?. ?

?x≤0?,

又 f(x)=x,

则当 x≤0 时,x2+4x+2=x,解得 x1=-1,x2=-2. 当 x>0 时,x=2,综上可知有三解. 7.二次函数 f(x)的二次项系数为正数,且对任意的 x∈R 都有 f(x)=f(4-x)成立,若 f(1-2x2)<f(1+2x -x2),则实数 x 的取值范围是( A.(2,+∞) C.(-2,0) 答案 C 解析 由题意知, 二次函数的开口向上, 对称轴为直线 x=2, 图像在对称轴左侧为减函数. 而 1-2x2<2,1 +2x-x2=2-(x-1)2≤2,所以由 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),得 1-2x2>1+2x-x2,解得-2<x<0. 8.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则实数 b 的取值范围是( A.-1<b<0 C.b<-1 或 b>2 答案 C a 解析 由 f(1-x)=f(1+x),得对称轴方程为 x=1= . 2 ∴a=2,f(x)在[-1,1]上是增函数. B.b>0 D.不能确定 ) ) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)

∴要使 x∈[-1,1],f(x)>0 恒成立. 只要 f(x)min=f(-1)=b2-b-2>0,∴b>2 或 b<-1. 9.(2015· 上海虹口二模)函数 f(x)=-x2+4x+1(x∈[-1,1])的最大值等于________. 答案 4 解析 因为对称轴为 x=2?[-1,1],所以函数在[-1,1]上单调递增,因此当 x=1 时,函数取最大值 4. 10.设函数 f(x)=mx2-mx-1,若 f(x)<0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (-4,0] 11.设函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线 x=1 对称,则 b=________. 答案 6 12. 已知函数 f(x)=x2-6x+5, x∈[1, a], 并且函数 f(x)的最大值为 f(a), 则实数 a 的取值范围是________. 答案 a≥5 解析 ∵f(x)的对称轴为 x=3,要使 f(x)在[1,a]上 f(x)max=f(a),由图像对称性知 a≥5. 13.已知 y=(cosx-a)2-1,当 cosx=-1 时,y 取最大值,当 cosx=a 时,y 取最小值,则实数 a 的 范围是________. 答案 0≤a≤1
? ?-a≤0, 解析 由题意知? ∴0≤a≤1. ?-1≤a≤1, ?

14. 若函数 f(x)=x2-2x+3 在区间[0, m]上的最小值是 2, 最大值是 3, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [1,2] 解析 ∵f(x)=(x-1)2+2≥2, ∴x=1∈[0,m].∴m≥1.① ∵f(0)=3,而 3 是最大值. ∴f(m)≤3?m2-2m+3≤3?0≤m≤2.② 由①②知:1≤m≤2,故应填[1,2]. 15.在函数 f(x)=ax2+bx+c 中,若 a,b,c 成等比数列且 f(0)=-4,则 f(x)有最________值(填“大” 或“小”),且该值为________. 答案 大 -3 b2 解析 ∵f(0)=c=-4,a,b,c 成等比,∴b2=a· c,∴a<0.∴f(x)有最大值,最大值为 c- =-3. 4a 16.函数 f(x)=x2+2x,若 f(x)>a 在区间[1,3]上满足:①恒有解,则 a 的取值范围为________;②恒成 立,则 a 的取值范围为________. 答案 a<15 a<3 解析 ①f(x)>a 在区间[1,3]上恒有解, 等价于 a<[f(x)]max, 又 f(x)=x2+2x 且 x∈[1,3], 当 x=3 时, [f(x)]max =15, 故 a 的取值范围为 a<15.②f(x)>a 在区间[1,3]上恒成立, 等价于 a<[f(x)]min, 又 f(x)=x2+2x 且 x∈[1,3], 当 x=1 时,[f(x)]min=3,故 a 的取值范围为 a<3. 17.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].

(1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 答案 (1)最小值-1,最大值 35 (2)a≤-6 或 a≥4 (3)单调递增区间(0,6],单调递减区间[-6,0] 解析 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增. ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤ -4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0].

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 18.二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),设 f(x)=x 的两个实根为 x1,x2. (1)如果 b=2 且|x2-x1|=2,求实数 a 的值; (2)如果 x1<2<x2<4,设函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证:x0>-1. 答案 (1)a= 2-1 2 (2)略

解析 (1)若 b=2,则 f(x)=ax2+2x+1. 由 f(x)=x,得 ax2+2x+1=x. 即 ax2+x+1=0. 由|x2-x1|=2,得(x2-x1)2=4. ∴(x1+x2)2-4x1x2=4. 2-1 1 1 ∴( )2-4 =4,得 a= (a>0). a a 2 (2)由 f(x)=x,得 ax2+bx+1=x. 即 ax2+(b-1)x+1=0. 设 g(x)=ax2+(b-1)x+1,
?g?2?<0, ?4a+2b-1<0, ? ? 则? 即? ? ? ?g?4?>0, ?16a+4b-3>0.

画出点(a,b)的平面区域知该区域内有点均满足 2a-b>0.

b 从而 2a>b,∴x0=- >-1. 2a

1.(2013· 浙江)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 答案 A B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

)

b 解析 由 f(0)=f(4),得 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x=- =2,∴4a+b=0,又 f(0)>f(1),∴f(x)先 2a 减后增,∴a>0,选 A. 2.已知 f(x)是二次函数,且函数 y=lnf(x)的值域为[0,+∞),则 f(x)的表达式可以是( A.y=x2 C.y=x2-2x+3 答案 B 解析 由题意可知 f(x)≥1. 3.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] 答案 B 解析 由题可知 f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有 f(a)=g(b),则 g(b)∈(- 1,1].即-b2+4b-3>-1,解得 2- 2<b<2+ 2. 4.对一切实数 x,若不等式 x4+(a-1)x2+1≥0 恒成立,则 a 的取值范围是( A.a≥-1 C.a≤3 答案 A 解析 令 t=x2≥0,则原不等式转化为 t2+(a-1)t+1≥0,当 t≥0 时恒成立. 令 f(t)=t2+(a-1)t+1,则 f(0)=1>0. a-1 (1)当- ≤0 即 a≥1 时,恒成立. 2 a-1 (2)当- >0 即 a<1 时, 2 由 Δ=(a-1)2-4≤0,得-1≤a≤3. B.a≥0 D.a≤1 ) B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3) ) B.y=x2+2x+2 D.y=-x2+1 )

∴-1≤a<1,综上:a≥-1. 5.若二次函数 y=8x2-(m-1)x+m-7 的值域为[0,+∞),则 m=________. 答案 9 或 25 m-1 2 m-1 2 解析 y=8(x- ) +m-7-8· ( ), 16 16 m-1 2 ∵值域为[0,+∞),∴m-7-8· ( ) =0,∴m=9 或 25. 16 6.已知 t 为常数,函数 y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________. 答案 1 解析 ∵y=|(x-1)2-t-1|,∴对称轴为 x=1. 若-t-1<0,即 t>-1 时,则当 x=1 或 x=3 时为最大值,即|1-2-t|=t+1=2 或 9-6-t=2,得 t =1;若-t-1≥0,即 t≤-1 时,则当 x=3 时为最大值,即 9-6-t=2,t 无解.故得 t=1. 7.(2015· 北京丰台期末)若 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),其中 a≤b≤c,对于下列结 a+c a+c 论:①f(b)≤0;②若 b= ,则?x∈R,f(x)≥f(b);③若 b≤ ,则 f(a)≤f(c);④f(a)=f(c)成立的充要 2 2 条件为 b=0.其中正确的是________.(请填写序号) 答案 ①②③ 解析 f(b)=(b-a)(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)· (b-a)=(b-c)(b-a),因为 a≤b≤c,所以 f(b)≤0, ①正确; 将 f(x)展开可得 f(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac, 又抛物线开口向上, 故 f(x)min=f( a+b+c ). 当 3

a+c a+b+c b= 时, =b,所以 f(x)min=f(b),所以②正确;f(a)-f(c)=(a-b)(a-c)-(c-a)(c-b)=(a-c)(a 2 3 +c-2b),因为 a≤b≤c,且 2b≤a+c,所以 f(a)≤f(c),③正确;因为 a≤b≤c,所以当 f(a)=f(c)时,即(a -c)(a+c-2b)=0,所以 a=b=c 或 a+c=2b,故④不正确. 8.已知函数 f(x)=x2-2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数.又定义域和值域均为[1,a],
?f?1?=1-2a+5=a, ? ∴? 解得 a=2. 2 2 ?f?a?=a -2a +5=1. ?

(2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a≥2. 又 x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1, ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2. ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4,

即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3. 又 a≥2,∴2≤a≤3.


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