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2.4等比数列的性质第3课


第3课时 等比数列的性质

1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用;
(重点、难点) 2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法,提高学生 分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力.

1.已知等比数列{an}中,a1·a9=64,a3+a7=20,

则a11=



? a3a7 ? 64 ? a3 ? 16 ? a1 ? a9 ? 64 解 :由 ? ? ? a ? a ? 20 ? ? a ? 4 ? 3 7 ? 7 ? a3 ? a7 ? 20



? a3 ? 4 ? a ? 16 ? 7



1 2 q= 2

或q2=2,∴ a11=a7 q2,∴ a11=64或a11=1

类比等差数列的性质,等比数列有哪些性质呢?

探究(一)等比数列的下标和性质:

设数列?an ?为等差数列,且 m, n, p, q ? N ?, 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq .

若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p .
思考:等比数列有没有同样的性质?

例2.在等比数列?an ?中,a2 a8 ? a3a7是否成立? a5 ? a1a9是否成立?
2

思考:你能得到更一般的结论吗?

等比数列的下标和性质:在等比数列{an}中 若m、n、p、q ∈N*,m+n=p+q, 则am·an =ap·aq 特殊:若m、n、p、q ∈N*,m+n=2p, 则am·an =ap2

练习:已知等比数列?an ?

学以致用

?1? 若an>0,a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25, 求a3 ? a5的值。

? 2? a6 ? 6, a9 ? 9, 求a3的值.

5 4

?3? an>0, a1a100 ? 100, 求lg a1 ? lg a2 ??? lg a100的值。

100
活用性质,数列性质与其项数(下标)密切相关

探究(二)由等差数列的性质,猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 性质1: an=am+(n-m)d {bn}是公比为q的等比数列
n ?m b ? b q 猜想1: n m

性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 , 则2an=an+k+ an-k 性质3: 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq

猜想2: 若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项,则

b ? bn ?k ?bn ?k
2 n

猜想3:若n+m=p+q,则 bn·bm=bp·bq

性质4:从原数列中取出偶数 猜想4:从原数列中取出 偶数项,组成的新数列公 项组成的新数列公差为2d. 2 q 比为 (可推广) (可推广) 猜想5:若{dn}是公比为 q′的等比数列,则数列 {bn?dn}是公比为q·q′的 等比数列.

性质5: 若{cn}是公差为d′ 的等差数列,则数列{an+cn} 是公差为d+d′的等差数列.

若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列;

当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列. (2)an≠0,且anan+2>0. (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq. (5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积 都相等,且等于首末两项的积.

(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的 等比数列. (7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an? bn }是 公比为qq′的等比数列.

?1? 1 (8)数列 ? ? 是公比为 的等比数列. q ? an ?
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.

(10)当m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,am ,
an , ap 成等比数列.

例 1、 已知{an} {bn}是项数相同的等比数列, 求证:{an?bn}是等比数列.

分析:当数列?an ?、 ?bn ?是项数相同的等差数列时, 数列? pan ? qbn ? ? 其中p、q是常数 ? 也是等差数列吗? 是的,公差为pd1 ? qd 2 .可以类比证明.

证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1; {bn}的首项为
b1,公比为q2,那么数列{an?bn}的第n项与第n+1项分别为:

a1 ? q

n ?1 1

? b1 ? q 2 与a1 ? q ? b1 ? q 2 ,
n 1 n

n ?1

即a1b1 (q1q 2 ) n ?1 与a1b1 (q1q 2 ) n .

a n ?1 ? bn ?1 a1b1 (q1 q 2 ) n ? ? ? q1 q 2 . n ?1 a n ? bn a1b1 (q1 q 2 )
它是一个与n无关的常数,所以{an?bn}是一个以q1q2为 公比的等比数列.

技巧方法: 特别地,如果?an ? 是等比数列,c是 不等于0的常数,那么数列?c ? an ? 也是 等比数列.

⒈在等比数列{an}中,a2=-2,a5=54,a8= -1 458 .

⒉在等比数列{an}中,an>0,a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5= _6 . ⒊在等比数列{an}中, a15 =10, a45=90,则 a30 =__________. 30 或-30 ⒋在等比数列{an}中,a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_____. 480

5.

3? 2 3? 2 ?1 的等比中项是___________. 与 3? 2 3? 2

6. 已知正数等比数列

an ? an?1 ? an? 2 {an }中,
5 ?1 =___________. 2

对所有的自然数 n 都成立,则公比 q 7.设数列 {a

是等比数列,且 a5 ? a6 ? 81, } n

20 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ???+log3 a10 ? _______.

证明或判断一个数列为等比数列的方法:
an 1. a =q (n?2 且q≠0)?{an}为等比数列. n ?1

(适用于选择题、填空题和解答题) 2.an=cqn (c,q≠0)?{an}为等比数列.

(适用于选择题、填空题)
3.a2n+1=anan+2?{an}为等比数列. (适用于选择题、填空题)

等比数列的性质:

1.an=amqn-m(n,m∈N*)
2.若m+n=p+q,则aman= apaq(m,n,p,q∈N*) 3.等比数列中,每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得 的新数列仍为等比数列. 4.a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列.

5.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前
后两项的等比中项.

等比数列

1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式

an?1 ?q an

?

等差数列

an?1 ? an ? d
d可以是0
等差中项

?

q不可以是0,
等比中项 ? G ? ? ab

? 2A ? a ? b

an ? am q

an ? a1q

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m )d

n? m

5.性质 (若m+n=p+q)

a m ? a n ? a p ? a q a m ? a n ? a p ? aq


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