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高中数学课件:第二章 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项和


2 . 5

课前预习·巧设计

第 二 章 数 列

等 比 数 列 的 前

第一 课时 等比 数列 的前 n项 和

名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关

考点一 考点二 考点三

n
项 和

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[读教材·填要点]

等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比和项数
?na1?q=1? ? Sn= ?a1?1-qn? ? 1-q ?q≠1? ?

首项、末项和公比
?na1?q=1? ? Sn= ?a1-anq ? 1-q ?q≠1? ?

公式

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[小问题·大思维] 1.等比数列前n项和公式中共涉及哪几个基本量?这几个 基本量中知道其中几个可以求出另外几个? 提示:共四个基本量{Sn,a1,q,n或Sn,a1,an,q},

只要知道其中三个可求另外一个.

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2.求数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和.
提示:当 a=0 时,前 n 项和为 0; 当 a=1 时,前 n 项和为 n; a?1-an? 当 a≠0 且 a≠1 时,前 n 项和 Sn= . 1-a

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3.你能用函数的观点来研究等比数列的前n项和吗?

提示:函数观点下的等比数列前 n 项和公式 (1)若数列{an}是非常数列的等比数列,则其前 n 项和 公式为:Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*). (2)注意到指数式的系数和常数项互为相反数,且 A a1 = . 1-q
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(3)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y =-Aqx+A图象上一群孤立的点; 当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例 函数y=a1x图象上一群孤立的点.

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[研一题] [例 1] 在等比数列{an}中,

(1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6=4,求 a4 和 S5; (3)若 q=2,S4=1,求 S8.

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[自主解答]

a1?1-qn? (1)法一:由 Sn= ,an=a1qn-1 以及 1-q

a1?1-2n? ? ?189= , 1-2 已知条件得? ?96=a ·n-1, ? 12

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192 ∴a1· =192.∴2 = a . 2 1
n n

192 ∴189=a1(2 -1)=a1( a -1).∴a1=3. 1
n

又∵2

n-1

96 = 3 =32,∴n=6.

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a1-anq 法二:由公式 Sn= 及条件得 1-q a1-96×2 189= ,解得 a1=3,又由 an=a1·n-1, q 1-2 得 96=3·n-1,解得 n=6. 2

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(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 ?a1+a1q2=10, ? ? 3 即 5 5 ?a1q +a1q =4, ? ?a1?1+q2?=10, ① ? ? 3 5 2 ?a1q ?1+q ?=4, ② ?

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∵a1≠0,1+q2≠0,∴②÷ ①得, 1 1 q =8,即 q=2,∴a1=8.
3

13 ∴a4=a1q =8×(2) =1,
3

15 a1?1-q5? 8×[1-?2? ] 31 S5= = =2. 1 1-q 1-2

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(3)设首项为 a1, a1?1-24? 1 ∵q=2,S4=1,∴ =1.即 a1=15. 1-2 1 ?1-28? a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2
8

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[悟一法] (1)熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式, 运用方 程的思想,求出基本量 a1 和 q,然后求出其他量,是解这类题 的常用方法. a1-anq a1?1-qn? (2)已知 an 时用 Sn= 较简便,而 Sn= 在将 1-q 1-q 已知量表示为最基本元素 a1 和 q 的表达式中发挥着重要作用.

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[通一类] 1.在等比数列{an}中,a1=-3,an=-46 875,Sn=- 39 063,求q和n.

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a1-anq 解 : 易 知 q≠1 , 由 Sn = 得 - 39 063 = 1-q -3+46 875q 得 q=-5. 1-q 由 an=a1qn 1 得-46 875=-3· (-5)n 1,得 n=7. 故 q=-5,n=7.
- -

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[研一题]

[例2]

在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
法一:∵S2n≠2Sn,∴q≠1, ① ②

[自主解答]

?a1?1-qn? ? =48, ? 1-q 由已知得? a1?1-q2n? ? ? 1-q =60, ?

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5 1 n ②÷ ①得 1+q =4,即 q =4,
n



a1 ③代入①得 =64, 1-q
? a1?1-q3n? 1? ∴S3n= =64?1-43?=63. 1-q ? ?

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法二:∵{an}为等比数列,显然公比不等于-1, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列. ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n). ?S2n-Sn?2 ?60-48?2 ∴S3n= +S2n= 48 +60=63. Sn

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若保持例2条件不变,且an>0,前n项中最小的项为 4,求a1和q.

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解:∵S2n≠2Sn,∴q≠1, ?a1?1-qn? ? =48, 1-q ? 由已知得? a1?1-q2n? ? ? 1-q =60, ? ② 5 1 n n 得 1+q =4,∴q =4<1. ① ① ②

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1 ∴前 n 项中 an 最小,将 qn=4代入①得 a1=64-64q, 又∵an=a1q
n-1

1 ,∴an· q=a1q .即 4q=4a1.
n

4 ∴64-64q=16q.即 80q=64.∴q=5, 4 64 a1=64-64×5= 5 .

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[悟一法] 等比数列前 n 项和的性质: (1)在公比不等于-1 的等比数列{an}中,连续相同项数和 也成等比数列,即:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列. (2)当 n 为偶数时, 偶数项之和与奇数项之和的比等于等比 S偶 数列的公比,即 =q. S奇

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(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0, n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A?数列{an}为 等比数列. (4)若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qn·m. S

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[通一类]

2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9求数列
的公比q. 解:法一:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1, 但a1≠0,即S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.同理可得 q≠-1,依题意S3+S6=2S9.

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a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? ∴ + =2× . 1-q 1-q 1-q 整理,得 q3(2q6-q3-1)=0,由于 q≠0,得 2q6-q3-1=0. 1 ∵q≠-1,∴q ≠-1,∴q =-2,
3 3

4 ∴q=- 2 .

3

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法二:S3+S6=2S9,∴S3,S9,S6 成等差数列. ∴S9-S3=S6-S9, ∴a1q3+a1q4+…+a1q8=-a1q6-a1q7-a1q8, ∴a1q3(1+q+q2)(2q3+1)=0. ∵a1≠0,q≠0,1+q+q2≠0,∴2q3+1=0, 3 3 1 4 q=- 2=- 2 .

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法三:∵S3+S6=2S9,又 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列.
?S3+S6=2S9, ? ∴由? ?S3?S9-S6?=?S6-S3?2. ?

消去 S9,得 S3=2S6,又由法

一知 q≠1, 3 S6-S3 1 4 3 ∴q = S =-2,∴q=- 2 . 3

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[研一题]
[例3] 陈老师购买安居工程集资房92 m2,单价为1

000元/m2,一次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期 付款每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一 次再经过一年又付款一次,共付10次,10年后付清,如果 按年利率7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少

元?(计算结果精确到百元)
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[自主解答]

设每年应付款x元,那么到最后一次付款时(即

购房十年后),
第一年付款所生利息之和为x×1.0759元, 第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元,… 第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元, 第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92-(28 800+14 400)]×1.07510 返回

=48 800×1.07510(元). 因此有 x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=48 800×1.07510, 1.075-1 ∴x=48 800×1.075 × ≈48 1.07510-1
10

800×2.061×0.071≈7 141(元). 故每年需交款 7 141 元.

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[悟一法] 在数列的实际应用中,把数学问题背景中的数列知识 挖掘出来(投入资金数列和收入资金数列),然后用数列的 知识进行加工和整理(如本题中的构建不等式并求解)是常

见的解题方法,应注意合理安排,解题中要明确数学问题
的实际意义,以便进行合理取舍.

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[通一类]

3.某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生
人数为b,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年 初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一 半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长 率增加新设备,同时每年淘汰x套的旧设备.

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(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目
前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?

(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换
的旧设备?

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下列数据供计算时参考:

1.19=2.38
1.110=2.60 1.111=2.85

1.004 99=1.04
1.004 910=1.05 1.004 911=1.06

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解:(1)设今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+
4.9‰)10=1.05b,

由题设可知,1年后的设备为
a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x

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=1.12a-x(1+1.1),…, 10 年后的设备为 a×1.110-x(1+1.1+1.12+…+1.19) 1×?1-1.110? =2.6a-x× =2.6a-16x, 1-1.1

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2.6a-16x a 1 由题设得 1.05b =2×b,解得 x=32a. 1 每年更换旧设备为32a 套; 1 a (2)全部更换旧设备需2a÷ =16 年. 32 按此速度全部更换旧设备需 16 年.

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1 1 1 2 n 求和:(x+ y)+(x +y2)+…+(x +yn)(xy≠0).

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[巧思]

式子中均由两项组成,显然不是等比数列.如
2 n

1 1 果将括号去掉,且重新组合,会得到 x+x +…+x 与 y+y2 1 1 +…+yn两个等比数列的 n 项和,它们的公比 x, y 是否为 1 不确定, 故需分 x=1 且 y=1; x=1, y≠1; x≠1, y=1 与 x≠1, y≠1 四种情况讨论.

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[妙解]

1 1 1 2 n 设 Sn=(x+ y)+(x +y2)+…+(x +yn),则 Sn=
n

1 1 1 (x+x +…+x )+(y+y2+…+y ), n
2

当 x=1,y=1 时,Sn=2n.

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1 1 y-yn+1 yn-1 当 x=1,y≠1 时,Sn=n+ 1 =n+yn+1-yn. 1- y x-xn+1 当 x≠1,y=1 时,Sn= +n. 1-x x-xn+1 yn-1 当 x≠1,y≠1 时,Sn= + n+1 n. 1-x y -y

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