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石家庄市2010-2011学年度第二学期期末考试数学理


石家庄市 2010~2011 学年度第二学期期末考试试卷

高二数学(理科答案)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5 BCCAD 6-10 ABCBD 11-12 DA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 240 14. 0.16 15. 数列 { n Tn } 为等比数列,且通项为 n Tn ? b1 ( q )n ?1 . 16. 18 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)展开式中各项的二项式系数的和为 2 ,……………………3 分 ∴2 ? 32 ,解得 n ? 5. ………………5 分
n
n

(Ⅱ)∵n ? 5 是奇数,∴ 展开式中二项式系数最大的项为中间两项, 它们分别是:

T3 ? C52 ( x 3 )5?2 (3x2 )2 ? 90 x6 , ……………………………………8 分 T4 ? C ( x )
3 5 2 3 5?3

2

(3x ) ? 270 x . ………………………………10 分
2 3

22 3

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)物理成绩好的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率为 (Ⅱ) K ?
2
2

24 12 ? ;……5 分 50 25

50 ? (18 ? 19 ? 6 ? 7) 2 150 ? ? 11.5 ,……………………………………9 分 25 ? 25 ? 24 ? 26 13

∵K >7.879, ∴有 99.5%的把握说学生的物理成绩与数学成绩有关.…………………………12 分 19. (本小题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?6 x ? 2ax ,由已知 f ?( ) ? ?6 ?

1 2

1 3 ? a ? ,……………………2 分 4 2

解得 a ? 3.

? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 .……………………………………5 分
(Ⅱ)解: f ?( x) ? ?6 x ? 2ax ,
2

当 a ? 0 时, 0 ? x ?

a ,使得 f ?( x) ? 0 ; 3

当 a ? 0 时,使得 f ?( x) ? 0 ;

a ? x ? 0 ,使得 f ?( x) ? 0 .…………………8 分 3 a 依题意可得 ? ?2, 3 则 a ? ?6. ………………………12 分
当 a ? 0 时, 20. (本小题满分 12 分) 解:根据给出的几个等式可以猜想第 n 个等式,即一般等式为:

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 (n ? N ? ) …………………4 分
用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, 1 ? 1 ,猜想成立;-------------------6 分
2

(2)假设当 n ? k 时 ,猜想成立,即 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) 2 , 则当 n ? k ? 1 时,

(k ? 1) ? (k ? 2) ? (k ? 3) ? ? ? ? ? (3k ? 2) ? (3k ? 1) ? 3k ? [3(k ? 1) ? 2] ? (2k ? 1) 2 ? k ? (3k ? 1) ? 3k ? [3(k ? 1) ? 2] ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? [2(k ? 1) ? 1]2
即当 n ? k ? 1 时,猜想也正确.………………………10 分 由(1) ,,(2)可知对任意的 n ? N? ,等式

,

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 (n ? N ? ) 恒成立.……………12 分
21. (本小题满分 12 分) 1 解: (Ⅰ)设事件 A=“第二次测出的电池没电”,B=“第三次测出的电池也没电” , 2 4 1 A A 31 则 P( A) ? , P( A ? B) ? 2 6 4 ? ………………2 分 ,15 3 A6 5 所以 P( B | A) ?

P( A ? B) 1 ? P( A) 5

………………………5 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 2,3,4,5;

P( X ? 2) ?

2 A2 1 ? 2 A6 15

1 1 2 C2 C4 A2 2 P( X ? 3) ? ? 3 15 A6 1 2 3 4 C2 C4 A3 A4 1 1 4 ? ? ? ? 4 4 15 5 15 A6 A6 1 3 4 1 3 4 C2 C4 A4 C2 C4 A4 8 ? ? 5 5 15 A6 A6

P( X ? 4) ?

P( X ? 5) ?
∴ 分布列为

X
P

2

3

4

5

1 15

2 15

4 15

8 15
…………………10 分

E? ? 2 ?

1 2 4 8 64 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 15 15 15 15 15 3 2
2

.

………………12 分

22. (本小题满分 12 分)

f x) =ln(x+ ) ? x , 解: (Ⅰ)依题意 (

? x) ? f(

1 3 x? 2

? 2x

从而 f ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

? ? ? .………………2 分 又 f ( x ) 的定义域为 ? ? 2 ,
3 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1 当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2
当? 从而, f ( x ) 的单调增区间为 ? ? , ? 1? , ? ? ? ,单调减区间为 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ?

? ?

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? .……5 分 2?

? ?) , f ?( x) ? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a,
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ? (ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 若a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 无极值.

2或a ? ? 2.

2 , x ? (? 2, ? ?) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x??

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? ? ? 2, 所以 f ( x ) ? ? ? ? ? ? 2 ? 时, f ( x) ? 0 , 2 2 ? ? ? ?

无极值. 若 a ? ? 2 , x ? ( 2, ? ?) , f ?( x) ? (ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值.…………8 分 x? 2

2 或 a ? ? 2 ,则 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根

x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . 2 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点, 故 f ( x ) 无极值. 当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,

由极值判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ? ?) .…………………………10 分

f ( x) 的极值之和为
1 e 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a ) ? x12 ? ln( x2 ? a ) ? x2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln .…12 分 2 2
[附加题] (1)选修 4-1:几何证明选讲 证明:连结 OD、BD. 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB. 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900. 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO. 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC. 故 AB=2BC. (2) 选修 4- 4 :极坐标与参数方程 解:由 ? cos(? ?

?

1 3 ) ? 1 得: ? cos ? ? ? sin ? ? 1 , 3 2 2 1 3 x? y ? 1,即 x ? 3 y ? 2 , 2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为

当 ? ? 0 时, ? ? 2 ,∴M 的极坐标(2,0) ;

当? ?

?
2

时, ? ?

2 3 2 3 ? ,∴N 的极坐标 ( , ). 3 3 2

(3). 选修 4- 5 :不等式选讲 解:若 a ? 1 , f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件;
? ?2 x ? a ? 1, ( x ? a) ? (a ? x ? 1) , ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? 1) ?

若 a ? 1 , f ( x) ? ?1 ? a ,

f ( x) 的最小值为 1 ? a ;

? ?2 x ? a ? 1, ( x ? 1) ? 若 a ? 1 , f ( x) ? ?a ? 1, (1 ? x ? a ) , ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? a) ?

f ( x) 的最小值为 a ? 1 .

所以对于 ?x ? R , f ( x) ? 2 的充要条件是 | a ? 1|? 2 ,从而 a 的取值范围

(??, ?1] [3, ??) .
另解: | x ? 1| ? | x ? a |? x ? 1 ? x ? a ? 2 ,所以 a 的取值范围 (??, ?1] [3, ??) .


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