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2013年广州市一模文科数学试题及答案(纯word)1


试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

? ? ? 参考公式:线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 b ? y
值. 锥体的体积公式是 V ?

i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? , a ? y ? bx ,其中 x, y 表示样本均

2

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? 2 i 的虚部为 A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2 2.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U ? A ? ? B U

?

?

?

?

?2,4? ,则
? ?

B. U ? ? A ? B U

?

?

?

?

D. U ? ? A ? ? B U U

?

?

3.直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? 1 A.相离 C.直线与圆相交且过圆心 4.若函数 y ? f A. 4 5.已知平面向量 a ? A. ?2 3

?

?

2

? y 2 ? 1的位置关系是
B.相切 D.直线与圆相交但不过圆心

? x ? 是函数 y
B. 2

? 2x 的反函数,则 f ? 2 ? 的值是

? ?2,m ? , b ?
B. 2 3

?1, 3 ? ,且 ? a ? b ? ? b ,则实数 m 的值为
C. 4 3 D. 6 3

C. 1

D. 0

? x ? 2 y ? 1, ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ? A. ?3 B. 0 C. 1 D. 3
7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 8. 已知函数 f B. 1 C.

2 1 正视图 1 侧视图

2

2 3

D.

1 3

2 俯视图 图1

? x?

?

2 sin 2 x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,

只要将 y ? f

? x ? 的图象
B.向左平移

A.向右平移

? 个单位长度 4
? 个单位长度 8

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

C.向右平移

D.向左平移

2 9. m ? 2 ”是“一元二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的 “

A.充分不必要条件 C.充要条件 10.设函数 f

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? 的定义域为 D ,如果 ?x ? D,?y ? D ,使

f ? x? ? f ? y ? 2

? C(C

为常数 )成立,则称函数 f
x

? x ? 在 D 上的均值为 C . 给出下列四个函数:① y

? x3 ;

?1? ② y ? ? ? ;③ y ? ln x ;④ y ? 2 sin x ? 1, 则满足在其定义域上均值为 1 的函 ?2?
数的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f

? x?

?

2 ? x ? ln ? x ? 1? 的定义域是

12.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根 据 上 表 可 得 回 归 方 程 y ? 1.23x ? a , 据 此 模 型 估 计 , 该 型 号 机 器 使 用 年 限 为 10 年 的 维 修 费 用 约
万元(结果保留两位小数) .
* ( 13. 已知经过同一点的 n n ? N ,n ? 3)个平面, 任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个平面将空间分成 f

?n?

个部分,则 f 3 ?

??

,f

?n?

?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)
? 3 ? 在极坐标系中,定点 A ? 2, ? ? ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最 ? 2 ? B

短时,点 B 的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题)


D O

C

如图 2, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , AD ?

16 ,则 AB 的长为 5

A



图2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 cos ? POQ 的值.

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期为 8 .

17. (本小题满分 12 分) 沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获时,该果农随机选取 果 树 20 株 作 为 样 本 测 量 它 们 每 一 株 的 果 实 产 量 ( 单 位 : kg ) 获 得 的 所 有 数 据 按 照 区 间 , 得到频率分布直方图如图 3.已知样本中产量在区间 ? 45, 50 ? ? 40, 45? ,? 45,50? ,? 50,55? ,? 55, 60? 进行分组, ? ? ? ? ? 上的果树株数是产量在区间 50, 60 ? 上的果树株数的 ? (1)求 a , b 的值; (2)从样本中产量在区间 50,60 ? 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 55,60 ? ? ? 上的果树至少有一株被抽中的概率.
a

?

4 倍. 3

?

?

频率 组距

0.06 b 0.02 O 40 45 50 55 60

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60 ,
?

AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB ;

P

M

D

(3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离.
A 图4 B

C

19. (本小题满分 14 分) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 , S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n n ? 2 , Tn 是数列 log 2 an 的 前 n 项和. (1)求数列 an 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 ?1 ?

? ?

?

?

?

?

? ?
? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ?

? 1? 1010 的最大正整数 n 的值. ?1 ? ? ? ? ? Tn ? 2013 ?

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2 , 且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的坐标) 若 ; 1 不存在,说明理由.

?

?

21. (本小题满分 14 分)

* 已知 n ?N ,设函数 f n ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 2 n ?1 ? ??? , x ? R. 2 3 2n ? 1

(1)求函数 y ? f 2 ( x) ?kx(k ? R )的单调区间;
* (2)是否存在整数 t ,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ?t ,t ? 1? 上有唯一实数解,若存在,求 t ? ?

的值;若不存在,说明理由.

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题 是选做题,考生只能选做一题. 11. ?1,2? 12. 12.38 13. 8 , n ? n ? 2
2

14. ?1,

? 11? ? ? ? 6 ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k? ? (k ? Z ). ? 6 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运 算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为 2,且 A ? 0 , ∴A?2. ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ?????1 分

∴T ?

2?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.

?????3 分 ?????4 分

∴ f ( x) ? 2sin(

?

x? ). 4 4

?

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????5 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

?????6 分

?????7 分 ?????10 分
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2

?

3 .??12 分 3
?????5 分

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

?????6 分

?????8 分 ?????10 分

??? ?

??? ?

??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ?????12 分 ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ

? ?? ? ? 解法 3: ∵ f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2cos ? 2 ,?????5 分 4 ?2 4?
?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????6 分 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ?????7 分
O

y

P Q1 P1 Q x

作 PP ? x 轴, QQ1 ? x 轴,垂足分别为 P ,Q1 , 1 1 ∴ OP ?

6, OP ? 2, PP ? 2, OQ ? 3 2 , OQ1 ? 4, QQ1 ? 1 1

2 . ???8 分

设 ?POP ? 1 则 sin ? ?

? ,?QOQ1 ? ? ,
3 6 1 2 2 . ,cos ? ? ,sin ? ? ,cos ? ? 3 3 3 3
?????10 分

∴ cos ?POQ ? cos

??

? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 .???12 分 3

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然 与必然的数学思想) (1)解:样本中产量在区间 45, 50 ? 上的果树有 a ? 5 ? 20 ? 100a (株) ,????1 分 ? 样本中产量在区间 ? 50, 60 ? 上的果树有 ? b ? 0.02 ? ? 5 ? 20 ? 100 ? b ? 0.02 ? (株) , ? ?????2 分 依题意,有 100a ?

?

4 4 ? 100 ? b ? 0.02 ? ,即 a ? ? b ? 0.02 ? .①????3 分 3 3

根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1 , 解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 .

?

?

② ????4 分 ?????6 分

(2)解:样本中产量在区间 50,55 ? 上的果树有 0.04 ? 5 ? 20 ? 4 株,分别记为 ?

?

A1, A2 , A3 , A4 ,

?????? 7 分

产量在区间 55,60 ? 上的果树有 0.02 ? 5 ? 20 ? 2 株,分别记为 B1, B2 . ? 8 分 ? 从这 6 株果树中随机抽取两株共有 15 种情况: A1 , A2 , A1 , A3 , A1 , A4
1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3

?

?

? ?

? ?

?
1

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,

? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? ,? B , B ? .
3 2 4 1 4 2 1 2

?????10 分

其中产量在 55,60 ? 上的果树至少有一株共有 9 种情况: A1 , B1 , A1 , B2 , ?

?

?

? ?
1

?

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? , ? B , B ? . ???11 分
2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2 2

记“从样本中产量在区间 50,60 ? 上的果树随机抽取两株,产量在区间 55,60 ? 上的 ? ? 果树至少有一株被抽中”为事件 M ,则 P ? M ? ?

?

?

9 3 ? . 15 5

?????12 分

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO // AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ?????2 分 ?????1 分

∴ PA // 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ PD ? AD .
? ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD ,

?????3 分

?????4 分
P

∴ BD

2

? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?
? AB2 ? AD2 ? 2 AD2
? AB2 ? AD2 .
?????5 分
A D N O

M

C

∴ AB

2

? AD ? BD .
2

2

B

∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . (3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN // PD 且 MN ? ∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 2 , ∴ MN ? 平面 ABCD , MN ? 1 . 在 Rt△ PCD 中, CD ? AB ? PD ? 2 , DM ? ∵ BC // AD , AD ? PB , ∴ BC ? PB . 在 Rt△ PBC 中, BM ?

?????6 分

?????7 分

?????8 分

1 PD . 2

?????9 分

1 1 PC ? 2 2

PD 2 ? CD 2 ?

2,

1 PC ? 2

2.

在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD . 在 Rt△ ABD 中, BD ? AB ? sin 60 ? 2 ?
?

3 ? 2

3.

在 Rt△ MOB 中, MO ?

BM 2 ? OB2 ?

5 . 2
15 .????11 分 4

∴ S ΔABD ?

1 3 1 , S ΔMBD ? ? AD?BD ? ? BD?MO ? 2 2 2

设点 A 到平面 BMD 的距离为 h , ∵ VM ? ABD ? VA ? MBD , ∴ ?MN ? S ΔABD ?

1 3

1 ?h? SΔMBD . 3

?????12 分



1 3 2 5 15 1 ? ?h? ?1 ? , 解得 h ? . 3 3 2 5 4

?????13 分

∴点 A 到平面 BMD 的距离为

2 5 . 5

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽 象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 . ∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 . (2) 解:由(1)得: log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 an ?????4 分 ?????5 分 ?????3 分

?

?

?????1 分 ?????2 分

? ?

? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1?

?????6 分

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

?????7 分

? n2 .
(3)解: ?1 ?

?????8 分

? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? ?

? 1? ?1 ? ? ? Tn ? ? ?

? ? 1 ?? 1? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2 ?? 3 ? n ? ? ?
? 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 n2 ? 1 ? ? ??? 22 32 42 n2

?????9 分

?

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n2
n ?1 . 2n n ? 1 1010 4 ? ,解得: n ? 287 . 2013 7 2n

?????10 分

?

?????11 分



?????13 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 . ?????14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方 法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?a 2 ? 16, ? ? 2 ?b ? 12. ?

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 解得: ?a 2 ? b2 ? 4. ?

?????2 分

x2 y 2 ? ? 1. ∴ 椭圆 C1 的方程为 16 12
解法 2:设椭圆 C1 的方程为

?????3 分

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?????1 分 ?????2 分

根据椭圆的定义得 2a ? AF ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , 1 ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. ∴ 椭圆 C1 的方程为 16 12
(2)解法 1:设点 B ( x1 ,

?????3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x12 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, ∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?????4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ① ( 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?????5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 1 2 x1 x1 ? ( x ? x1 ) , 4 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

即y?

x1 1 x ? x12 . 2 4



?????7 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x2 1 2 x ? x2 . 2 4

③ ?????8 分

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
?????9 分 ?????10 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

1 x1 x 2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为

y ? x ? 3.

?????11 分

若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 1 1 ?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 1 解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ? ?????13 分 ?????14 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

?????4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????5 分

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

??8 分

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3 .

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,?12 分 1 1 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 1 ?????13 分 ?????14分

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

?????4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

?????5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2
x1 ( x ? x1 ) , 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????7 分

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x1 x? ?y ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x1 ? x2 1 2 x1 , ? 2k , ?x ? ? 2 4 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

∴ P 2k , 2k ? 3 .

?

?

?????10 分

∵ PF ? PF2 ? AF ? AF2 , 1 1 ∴点 P 在椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

?????11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

? 1.
?????12 分 ?????13 分

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识,考查数形结合、 函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新 意识)

x 2 x3 ? ? kx, (1)解:∵ y ? f 2 ( x) ? kx ? 1 ? x ? 2 3
∴ y? ? ?1 ? x ? x 2 ? k ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) . 方程 x ? x ? k ? 1 ? 0 的判别式 Δ ? ?1
2

?????1 分

?????2 分
2

? ?

? 4 ? k ? 1? ? ?3 ? 4k .

当k ? ?

3 时, Δ ? 0 , y? ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) ? 0 , 4
?????3 分

故函数 y ? f 2 ( x) ?kx 在 R 上单调递减; 当k ? ?

3 1? 2 时,方程 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 ? 4

?3 ? 4k , 2

x2 ?

1?

?3 ? 4k . 2

?????4 分

则 x ? ??, x1 时, y? ? 0 ; x ? x1 , x2 时, y? ? 0 ; x ? x2 ,?? 时, y? ? 0 ; 故函数 y ? f 2 ( x) ?kx 的单调递减区间为 ??, x1 和 x2 ,?? , 单调递增区间为 x1 , x2 .

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?????5 分

* (2)解:存在 t ? 1 ,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ?t ,t ? 1? 上有唯 ? ?

一实数解,理由如下: 当 n ? 1 时, f1 ( x) ? 1 ? x ,令 f1 ( x) ? 1 ? x ? 0 ,解得 x ? 1 , ∴关于 x 的方程 f1 ( x) ? 0 有唯一实数解 x ? 1 . ?????6 分

当 n ? 2 时,由 f n ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 2 n ?1 ? ??? , 2 3 2n ? 1
?????7 分

2 2 n ?3 ? x 2n?2 . 得 f n? ( x) ? ?1 ? x ? x ? ? ? x

若 x ? ?1 ,则 f n? ( x) ? f n? (?1) ? ?(2n ? 1) ? 0 , 若 x ? 0 ,则 f n? ( x) ? ?1 ? 0 , 若 x ? ?1 且 x ? 0 时,则 f n? ( x) ? ? 当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0, x
2 n ?1

?????8 分

x 2 n ?1 ? 1 , x ?1

?????9 分

? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0 , ? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0 ,
?????10 分

当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0, x

2 n ?1

∴ f n? ( x ) ? 0 ,故 f n ( x) 在 (??, ??) 上单调递减. ∵ f n (1) ? (1 ? 1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 2

1 3

1 4

1 5

1 1 ? ) ? 0 , ???11 分 2n ? 2 2 n ? 1

f n (2) ? (1 ? 2) ? (

22 23 24 25 22 n ? 2 22 n?1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1

1 2 1 2 1 2 ? ?1 ? ( ? )22 ? ( ? )24 ? ? ? ( ? )22 n ? 2 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1

? ?1 ?

1 2 3 4 2n ? 3 2 ? 2 ??? 22 n?2 ? 0 . ????12 分 2?3 4?5 (2n ? 2)(2n ? 1)
?????13 分

∴方程 f n ( x) ? 0 在 ?1,2? 上有唯一实数解. 当 x ? ??,1 时, f n x

?

?

? ?
*

? f n ?1? ? 0 ;当 x ? ? 2,?? ? 时, f n ? x ? ? f n ? 2 ? ? 0 .

综上所述,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ?1,2 ? 上有唯一实数解. ? ? ∴t ? 1. ?????14 分


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