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黑龙江省大庆铁人中学12-13学年高一上学期期中考试数学试题


?

??








( )

时间:120 分钟

总分:150 分

一、选择题(每题只有一个正确的答案,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 M={1,2,3} ,N={2,3,4} ,则 A. M ? N B. M ? N C. M ? N={2,3}

D. M ? N={1,4} ( )

2、已知 M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则 M∩N 等于 A. N B. M C. R D. Φ

(1) 下列各项表示同一函数的是 A.
f (x) ? x ?1
2

( B.
f ( x) ? x ? 1与 g ( x ) ? x ? 1
2



x ?1

与 g (x) ? x ? 1

C.

f (t ) ?

1? t 1? t

与 g (x) ?

1? x 1? x
f (x)

D.

f ( x ) ? 1与 g ( x ) ? x ?

1 x

4、已知定义在 R 上的函数
x

的图象是连续不断的,且有如下对应值表: 1 6.1 2 2.9 3
? 3.5

f (x)

那么函数 A.
( ? ? ,1)

f (x)

一定存在零点的区间是 B.
(1, 2 )

( D.
(3, ? ? )

)

C.

( 2, 3)

5、如图,U 是全集,A、B、C 是它的子集,则阴影部分表示对集合是 ( A. ( A ?
B) ? C



B.(A ? ?UB) ? C D.(A ? ?UB) ? C

U A B C

C.(A ? B) ? ?UC

6、用固定的速度向图中形状的瓶子注水,则水面的高度 h 和时间 t 之间的关 系是 ( )

?

??

7、设函数

?? x, ( x ? 0) f (x) ? ? 2 ? x , (x ? 0)

,若

f (a ) ? 4

,则实数 a

?





A. -4 或 -2

B. -4 或 2

C. -2 或 4

D. -2 或 2 ( D. (2,0) ( D. b
?c? a

8、 函数 y =loga(x-1)+2 的图象过定点 A. (3,2) 9、设 a A. a
?7
0.3



B. (2,1)
7

C. (2,2)

, b ? 0.3 , c ? log 7 0.3 ,则 a , b , c

的大小关系是
? a ?b
1 x



?b?c

B. c

?b? a

C. c

(1) 已知 U={y|y=log2x,x>0} ,P={y|y= A.
[ 1 2 , ?? )

,x>2}则?U P=
1 2 , ?? )





B. ( 0 ,

1 2

]

C.

( 0 , ?? )

D. ( ?? , 0 ] ? [

(2) 某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%) ,仍可获利 10%(相对进货价) ,则该家具的进货价是 A.118 元 12、函数
f ( x) f ( x)

( D. 108 元



B.

105 元

C.

106 元
? 0

是定义域为 R 的奇函数,当 x



f ( x ) ? ? x ? 1 ,则当 x ? 0

时, )

的表达式为 B.
f ( x) ? x ? 1

( C.
f ( x) ? x ? 1

A.

f (x) ? ? x ? 1

D.

f (x) ? ? x ? 1

二、填空题: (把正确的结果填写在横线上,每小题 5 分,共 20 分) 13、 (lg
1 4 ? lg 25 ) ? 100
? 1 2

?

_____________;
? x
a

14、如图,曲线是幂函数① y

, ②y

? x

b

,③ y

? x

c



?

??

④y

? x

d

在第一象限部分图像,则 a , b , c , d , 0 ,1 这六个数

按从小到大的排列顺序是______________(用“<”连接) ; 15、下列五个写法:①{0}∈{0,2,{0}3};②Φ={0};③{0,1,2}? {1,2,0}; ④0∈Φ;⑤{0} ? {0,2,{0}3},其中正确的序号是___________; 16、若点(3,8)在函数 y=f(x)的图像上,y=f-1(x)为 y=f(x)的反函数, 则 f-1(8)=__________ . 三、解答题: (本题有 6 个小题,共 70 分)

17、(10 分)二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围.
18、 (12 分)若 0≤x≤2,求函数 y= 4
x? 1 2

? 3? 2

x

? 5 的最大值和最小值.

19、 (12 分)已知函数

f ( x)

的定义域为(-2,2) ,函数 g ( x ) ?

f ( x ? 1) ? f ( 3 ? 2 x )



(1)求函数 g ( x ) 的定义域; (2)若
f ( x)

为奇函数,并且在定义域上单调递减,求不等式 g ( x ) ? 0 的解集。

20、 (12 分)已知

1 3

? a ? 1 ,若 f ( x ) ? ax

2

? 2 x ? 1 在区间[1,3]上的最大值为

M(a),

最小值为 N(a),令 g(a)=M(a) ? N(a),求 g(a)的函数表达式.

21、 (12 分)已知函数 (1)求函数 (3)若函数
f ( x) f ( x)

f ( x ) ? log a (1 ? x ) ? log a ( x ? 3)(0 < a < 1)

的定义域; (2)求函数

f ( x)

的零点;

的最小值为-4,求 a 的值.

22、(12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳 健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额 的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万

?

??

元和 0.5 万元, (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资 获得最大收益,其最大收益是多少万元? .


一、CACCB 二、13、-20 15、①③⑤ 三、解答题: BBCBD


DA

参 考 答 案

14、a<0<d<1<c<b ; 16、3

(2)(本题满分 10 分) 解:(1)∵f(x)为二次函数且 f(0)=f(2), ∴对称轴为 x=1. 又∵f(x)最小值为 1,∴可设 f(x)=a(x-1)2+1 ∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1, 即 f(x)=2x2-4x+3. 1 (2)由条件知 2a<1<a+1,∴0<a< . 2 (a>0)

?

??

18、 (本题满分 12 分) 解: y 令2x
? 4
x? 1 2

? 3? 2

x

1 x 2 x ? 5 ? (2 ) ? 3 ? 2 ? 5 2

? t

则 ∴1 ?

1 1 2 y ? ( t ? 3) ? 2 2
t ? 4

∵ x ? [0,2 ] ∴ 当t 当t

? 3 时, y min ? ? 1 时, y max ?

1 2 5 2

19、 (本题满分 12 分) 解: (1)由题意可知: ? 解得
1 2

? ? 2 ? x ?1? 2 ?? 2 ? 3 ? 2 x ? 2

即?
?

?? 1 ? x ? 3
1 2

? x ?
5 2

5 2

? x?

5 2

,故函数 g ( x ) 的定义域为
f ( x ? 1) ? f ( 3 ? 2 x ) ? 0

?1 2

,

?

(2)由 g ( x ) ? 0 得, ∵为 ∴?
?


f ( x)

f ( x ? 1) ? ? f ( 3 ? 2 x )

f ( x)

奇函数



f ( x ? 1) ? f ( 2 x ? 3 )
1 2



在 ( ? 2 , 2 ) 上单调递减

?x ?1 ? 2x ? 3
1 2

? x ?

5 2

解得

? x ? 2

∴不等式 g ( x ) ? 0 的解集为 (

1 2

,2 ]

20、(本题满分 12 分) 解:函数 f(x)=ax2-2x+1 的对称轴为 x ∵
1 3 ? a ?1

?

1 a

,

,



1?

1 a

? 3


f (1) ? 1? a
1 a

∴f(x)在[1,3]上, N ( a ) ? ? 当1 ? ? 当2
? 1 a 1 a ? 3 ? 2

,即 ,即

1 2 1 3

? a ? 1 时, M ( a ) ? f ( 3 ) ? 9 a ? 5 ? a ? 1 2

时, M ( a ) ?

f (1) ? a ? 1

?

??



1 1 ? 9 a ? ? 6, ? a ? 1 ? a 2 g (a ) ? M (a ) ? N (a ) ? ? 1 1 1 ? a ? ? 2, ? a ? a 3 2 ?

21、(本题满分 12 分) 解: (1)要使函数有意义:则有 ? 所以函数的定义域为: (-3,1) .
?1 ? x > 0 ?x ? 3 > 0

,解之得: ? 3 <

x <1,

(2)函数可化为 由
f ( x) ? 0

f ( x ) ? log a (1 ? x )( x ? 3) ? log a ( ? x ? 2 x ? 3)
2

,得 ? x 2

? 2x ? 3 ? 1 ,
3

即 x2

? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1 ?

,∵ - 1 ?

3 ? ( ? 3,1)



∴ f ( x)

的零点是 ? 1 ?

3


2
2

(3)

f ( x ) ? log a (1 ? x )( x ? 3) ? log a ( ? x ? 2 x ? 3) ? lo g a ? ? ( x ? 1) ? 4 ? ? ?
∴ 0 < - ( x ? 1) ? 4 ? 4 .
2
2

∵ ?3 < x < 1

∵ 0 < a < 1 ,∴ lo g a ? ? ( x ? 1) ? 4 ? ? lo g a 4 , ? ?
?4



f ( x ) m in ? log a 4

.由 lo g a

4 ? ? 4 ,得 a

? 4

,∴ a

? 4

?

1 4

?

2 2



?

??

22、(本题满分 10 分) 解:(1)设两类产品收益与投资的函数分别为:f(x)=k1x,g(x)=k1 x 由已知得 f(1)= 1 1 =k1,g(1)= = k2 8 2 1 x 2 (x≥0)

1 所以 f(x)= x 8

(x≥0),g(x)=

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为(20-x)万元. x 1 依题意得:y=f(x)+g(20-x)= + 20-x 8 2 令 t= 20-x (0≤t≤2 5). (0≤x≤20)

20-t2 1 1 则 y= + t=- (t-2)2+3 8 2 8 所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元.


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