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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期):A单元 集合与常用]


【名校精品解析系列】12 月份名校试题解析分类汇编第三期 A 单元 集合与常用 A 单元集合与常用逻辑用语 目录 A1 集合及其运算 - 1 A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 - 3 A3 基本逻辑联结词及量词 - 10 A4 单元综合 - 10 -

A1 集合及其运算 【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word

版】1.已知集合

A ? x x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 , B ? x 2 x ? 2
A.

?

?

?

?,则 A ? B ? (
?x ? 6 ? x ? 2?

) D.

?x x ? 6?

B.

? x 1 ? x ? 2?

C.

?x x ? 2?

【知识点】不等式解法;集合运算. A1 D1

? x 1 ? x ? 2? ,故选 B. 【答案】 【解析】B 解析:A={x|-6<x<2}, B={x|x>1},则 A ? B ?
【思路点拨】化简集合 A、B ,再用交集定义求解.

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 2.已知集合 A.

A ? Z,B ? ? x | y ? ln(9 ? x 2 )?
B.

,则 A

B 为()
D.

? 1, 0? ??2,

? 1,, 0 1, 2? ??2,

C.

1, 2? ?0,

0 1, 2? ??1,,

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】B 解析:因为

B ? ? x | y ? ln(9 ? x 2 )? ? ? x | 9 ? x 2 ? 0?

,所以

B ? ? x | ?3 ? x ? 3?

,又 A ? Z, 所以

A B ? ??2, ? 1,, 0 1, 2?

,故选 B.

【思路点拨】先解出集合

B ? ? x | ?3 ? x ? 3?

,再求交集即可.

【数学理卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】1.已 知全集为 R ,集合 (A)

A ? x 2x ? 1 , B ? x x2 ? 6 x ? 8 ? 0

?

?

?

? ,则 A

CR B ? ()

?x x ? 0?(B) ?x 2 ? x ? 4? (C) ?x 0 ? x ? 2或x ? 4? (D) ?x 0 ? x ? 2或x ? 4?

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】C

解析:因为

A ? x2 x ? 1 ? 0 , B ? 2x x ?6 x?8 ?? 0 ? x x ??
,则选 C.

?

?

?

?

? x2 ? ?x ? 4

,所以

CR B ? ? x x ? 2或x ? 4? , A CR B ? ? x 0 ? x ? 2或x ? 4?

【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时,可先对不等式求解,再对集合进行运算.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 河 北 省 唐 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】1.已知集合 A={x|y= 2 ? x }, B={y|y= 2 ? x },则 A∩B= ( A. B.R C.(-∞,2 ] D.[0,2] )

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】D 解析:集合 故选择 D. 【思路点拨】先求得集合 A 与 B,在根据集合的交集运算求得集合 A ? B 的值.

A ? ? x x ? 2?,B= ? y y ? 0?

,所以

A ? B= ? x 0 ? x ? 2?



【 数 学 理 卷 · 2015 届 云 南 省 部 分 名 校 高 三 12 月 统 一 考 试 ( 201412 ) 】1.已知集合

A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A ? B =()
A. [1, 2) B. [ ?1,1] C. [?1, 2) D. [?2, ?1] 【知识点】集合及其运算 A1 【答案】D 【解析】解得 A={x

x ? 3或x ? ?1

}则 A ? B = [?2, ?1]

【思路点拨】先化简集合 A,再求交集。

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】1.已知全集

U ?? 1,2,3,4,5,6?, A ? ?2,3,6?,则 ?U A ? ( 1,4, 5? A. ?
B. ?2,3,6?



1,4,6? C. ?

D. ?4,5,6?

【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】A 解析:易得

CU A ? {1, 4,5} ,故选 A。

【思路点拨】根据补集定义求结果.

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】1.全

集 U={1,2,3,4,5,6) ,M={2,3,4) ,N={4,5},则 A.{1,3,5} B.{1,5} C.{l,6} D.{2,4,6} 【知识点】集合及其运算 A1 【答案】C

? (M

N ) 等于

? (M 【解析】由题意得 M ? N ? {2,3, 4,5} ,则

N ) ={l,6}

【思路点拨】根据题意先求出 M ? N ? {2,3, 4,5} 再求出结果。

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】1. 已 知全集为 R ,集合 A.

A ? x 2x ? 1 , B ? x x2 ? 6 x ? 8 ? 0

?

?

?

? ,则 A

CR B ? ()

?x x ? 0?B. ?x 2 ? x ? 4? C. ?x 0 ? x ? 2或x ? 4? D. ?x 0 ? x ? 2或x ? 4?
A ? x2 x ? 1 ? 0 , B ? 2x x ?6 x?8 ?? 0 ? x x ??
,则选 C.

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】C 解析:因为

?

?

?

?

? x2 ? ?x ? 4

,所以

CR B ? ? x x ? 2或x ? 4? , A CR B ? ? x 0 ? x ? 2或x ? 4?

【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时,可先对不等式求解,再对集合进行运算.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 唐 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 1. 设 集 合

A ? {x | 2 x ? 2 ? 1}, B ? {x |1 ? x ? 0} ,则 A B 等于()
A. {x | x ? 1} B. {x | 1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} 【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】A 解析:因为集合 故选择 A. 【思路点拨】先求得集合 A 与 B,在根据集合的交集运算求得集合 A ? B 的值.

A ? ? x x ? 2?



B ? ? x x ? 1?

,所以

A ? B ? ? x x ? 1?



A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】16.(本题满分 12 分)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2 已知函数 ( x?R ) ,
(1)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (2)已知 m ? R , p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;

q :函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,求实数 m 的取值
范围. 【知识点】复合命题的真假;分段函数的解析式求法及其图象的作法.A2 B8 【答案】 【解析】 (1)1; (2) (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 作出图像,可知f (x) min =f(-2)=1 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2 解析: (1)

(4 分)

?p:m2 +2m-2 ? 1 ? -3 ? m ? 1
(2) ?q:m -1>1 ? m> 2或m<- 2
2

(8 分)

? ?-3 ? m ? 1 p或q为真,p且q为假 ?10若p真q假时,则 ? ,解得- 2 ? m ? 1 - 2?m? 2 ? ? ∵ (10 分)

? ?m>1或m<-3 20若p假q真时,则 ? ,解得m<-3或m> 2 m <2 或 m > 2 ? ?
故实数 m 的取值范围是 (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?) (12 分)

【思路点拨】 (1)题目给出的是分段函数,借助于单调性求出函数在各个区间上的范围,则 函数的值域可求, 最小值可求; (2) 运用 (1) 中求出的 f (x) 的最小值代入不等式 f (x) ≥m2+2m ﹣2,求出对任意 x∈ R 恒成立的 m 的范围,根据函数 y=(m2﹣1)x 是增函数求出 m 的范围, 然后分情况讨论“p 或 q”为真,“p 且 q”为假时的实数 m 的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】15. 下列命题中,真命题 有_______________(写出所有真命题的序号) ⑴在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件;

( , 0) f ( x) ? tan(2 x ? ) 4 的一个对称中心; ⑵点 8 为函数
⑶若 | a |? 1,| b |? 2 ,向量 a 与向量 b 的夹角为 120 °,则 b 在向量 a 上的投影为 1 ; ⑷ ?a ? 0,函数f ( x) ? ln x ? ln x ? a有零点.
2

?

?

【知识点】命题的真假判断与应用。A2 【答案】 【解析】(1)(2)(4) 解析: (1)解:sinA>sinB? 2RsinA>2RsinB? a>b? A>B(其中 R 为△ ABC 外接圆半径) ,故(1) 正确; (2)函数 f(x)=tan(2x+ 0)为函数 f(x)=tan(2x+ )的对称中心坐标为( ,0) ,k∈ Z,当 k=1 时,点( ,

)的一个对称中心,故(2)正确;

(3)若| |=1,| |=2,向量 与向量 的夹角为 120°,则 在向量 上的投影为| |cos120°= ﹣1,故(3)错误; (4)当 a>0 时,令 t=lnx,则 y=t2+t﹣a,由△ =1+4a>0 可得方程有两相异的根,存在 t=lnx, 使 f(x)=ln2x+lnx﹣a=0 成立,即函数 f(x)=ln2x+lnx﹣a 有零点. 故正确的命题有: (1) , (2) , (4) , 故答案为: (1) , (2) , (4) 【思路点拨】根据正弦定理,及三角形的性质,可判断(1) ;根据正切函数的对称性,可判 断(2) ;根据向量投影的定义,可判断(3) ;根据对数函数的图象和性质,二次函数的图象 和性质,可判断(4) .

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】16.(本题满分 12 分)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2 已知函数 ( x?R ) ,
(1)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (2)已知 m ? R , p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;

q :函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,求实数 m 的取值
范围. 【知识点】复合命题的真假;分段函数的解析式求法及其图象的作法.A2 B8 【答案】 【解析】 (1)1; (2) (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 作出图像,可知f (x) min =f(-2)=1 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2 解析: (1)

(4 分)

?p:m +2m-2 ? 1 ? -3 ? m ? 1
2 2

(2) ?q:m -1>1 ? m> 2或m<- 2

(8 分)

? ?-3 ? m ? 1 p或q为真,p且q为假 ?10若p真q假时,则 ? ,解得- 2 ? m ? 1 - 2?m? 2 ? ? ∵ (10 分)

? ?m>1或m<-3 20若p假q真时,则 ? ,解得m<-3或m> 2 ? ?m<- 2或m> 2
故实数 m 的取值范围是 (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?) (12 分)

【思路点拨】 (1)题目给出的是分段函数,借助于单调性求出函数在各个区间上的范围,则 函数的值域可求, 最小值可求; (2) 运用 (1) 中求出的 f (x) 的最小值代入不等式 f (x) ≥m2+2m ﹣2,求出对任意 x∈ R 恒成立的 m 的范围,根据函数 y=(m2﹣1)x 是增函数求出 m 的范围, 然后分情况讨论“p 或 q”为真,“p 且 q”为假时的实数 m 的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】15. 下列命题中,真命题 有_______________(写出所有真命题的序号) ⑴在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件;

( , 0) f ( x) ? tan(2 x ? ) 4 的一个对称中心; ⑵点 8 为函数
⑶若 | a |? 1,| b |? 2 ,向量 a 与向量 b 的夹角为 120 °,则 b 在向量 a 上的投影为 1 ; ⑷ ?a ? 0,函数f ( x) ? ln x ? ln x ? a有零点.
2

?

?

【知识点】命题的真假判断与应用。A2 【答案】 【解析】(1)(2)(4) 解析: (1)解:sinA>sinB? 2RsinA>2RsinB? a>b? A>B(其中 R 为△ ABC 外接圆半径) ,故(1) 正确; (2)函数 f(x)=tan(2x+ 0)为函数 f(x)=tan(2x+ )的对称中心坐标为( ,0) ,k∈ Z,当 k=1 时,点( ,

)的一个对称中心,故(2)正确;

(3)若| |=1,| |=2,向量 与向量 的夹角为 120°,则 在向量 上的投影为| |cos120°=

﹣1,故(3)错误; (4)当 a>0 时,令 t=lnx,则 y=t2+t﹣a,由△ =1+4a>0 可得方程有两相异的根,存在 t=lnx, 使 f(x)=ln2x+lnx﹣a=0 成立,即函数 f(x)=ln2x+lnx﹣a 有零点. 故正确的命题有: (1) , (2) , (4) , 故答案为: (1) , (2) , (4) 【思路点拨】根据正弦定理,及三角形的性质,可判断(1) ;根据正切函数的对称性,可判 断(2) ;根据向量投影的定义,可判断(3) ;根据对数函数的图象和性质,二次函数的图象 和性质,可判断(4) .

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 3.下列命题错误的是() A.命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为
2 2

“若 x, y 中至少有一个不为 0,则 x ? y ? 0 ”
2 2

?x ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 B.若命题 p : 0
2 2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 【知识点】命题的真假判断 A2 【答案】 【解析】D 解析:A 中由逆否命题的概念可知正确;B 中特称命题的否定是全称命题, 正确;C 中根据三角形中大边对大角可知正确;D 中 p 、 q 至少有一个是假命题,所以错.故选 D. 【思路点拨】根据所学知识逐个进行检验即可得到正确答案.

【数学理卷· 2015 届湖北省八校高三第一次联考 (201412) 】 5. “ a ? 5 且 b ? ?5 ” 是 “a?b ? 0” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件[] C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 【知识点】充分条件、必要条件. A2 【答案】 【解析】D 解析: a ? 5, b ? ?5 推不出 a ? b ? 0 ,例如 a ? 2, b ? ?2 时, a ? b ? 0 ,

a ? b ? 0 也推不出 a ? 5且b ? ?5 ,所以“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ” 既非充分条件也
非必要条件,所以选 D 【思路点拨】根据两条件的相互关系可判定它们非充分与非必要条件.

【数学理卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】4.已 知直线 l , m ,平面 ? , ? 满足 l ? ? , m ? ? ,则“ l ? m ”是“ ? / / ? ”的() (A)充要条件(B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件 A2 【答案】 【解析】C 解析:因为 l ? ? , m ? ? ,若 l ? m ,两面α 、β 可能平行可能相交,所 以充分性不满足,若 ? / / ? ,则 l⊥β ,由线面垂直的性质可得 l ? m ,所以必要性满足,综上 知选 C. 【思路点拨】判断充分条件与必要条件时,可先分清条件与结论,若由条件能推出结论则充 分性满足,若由结论能推出条件,则必要性满足.

【数学理卷· 2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试( 201411 ) 】2. “ a ? 2 ”是

?x ? (0, ??), ax ?


1 ?1 8x ”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件恒成立问题 A2

?x ? (0, ??), ax ?
【答案】 【解析】A 解析:由

1 1 1 a? ? 2 ?1 x 8 x 在 x ? 0 恒成立,即 8x ,可得

?1 1 ? 1 1 1 1 1 2 a?? ? 2 ? ? t ?t ? 0? ? 2 ? ? t 2 ? t ? ? ?t ? 4? ? 2 ? 2 x 8 x ? ?max , 8 8 令x 可得 x 8 x , 即a ? 2,
所以“ a ? 2 ”是“

?x ? (0, ??), ax ?

1 ?1 8x ”的充分不必要条件,故选择 A.

?x ? (0, ??), ax ?
【思路点拨】根据

?1 1 ? 1 a?? ? 2 ? ?1 ? x 8 x ?max ,求得 a ? 2 ,即可得到 8x 转化为

“ a ? 2 ”是“

?x ? (0, ??), ax ?

1 ?1 8x ”的充分不必要条件.

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】2.“x<0” 是“1n(x+1)<0, ,的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案】B 【解析】∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0;∵ln(x+1)<0, ∴0<x+1<1,∴-1<x<0,∴x<0,∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 【思路点拨】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】6、设向量 a =

? 2, x ? 1? ,

b = ? x ? 1, 4 ? ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量共线(平行)的坐标表示.A2 【答案】 【解析】A 解析:当 时,有 2×4﹣(x﹣1) (x+1)=0,解得 x=±3; ”的充分不必要条件.故选 A

因为集合{3}是集合{3,﹣3}的真子集,故“x=3”是“

【思路点拨】由向量共线可得 x 的值,再由集合的包含关系可得答案.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】
2 1.设集合 M ? {1, 2}, N ? {a } ,则“ a ? 1 ”是“ N ? M ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件 【知识点】充分.必要条件 A2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

N ? {1} , 【答案】 【解析】 A 解析: 当 a ? 1 时, 显然满足 N ? M , 所以充分性成立; 因为 N ? M ,
2 2 所以 a ? 1 或 a ? 2 即 a ? ?1 或 a ? ? 2 ,故必要性不成立,所以选 A.

【思路点拨】判断充要条件时,应先明确条件和结论,由条件能推出结论,充分性满足,由 结论能推出条件,则必要性满足.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】4. 设

a , b 是实数,则“ a ? b ? 1 ”是“

a?

1 1 ?b? a b ”的()

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【知识点】充分、必要条件不等式性质 A2 E1

1 ? 1 ? ? a ? b ?? ab ? 1? a ? ??b ? ? ? a ? b? ab 【答案】 【解析】 A 解析:因为 ,所以若 a ? b ? 1 ,显然 1 ? 1 ? ? a ? b ?? ab ? 1? 1 2 a ? ? ?b ? ? ? ?0 a ? ,b ? a ? b? ab 2 3 时显然不等式 ,则充分性成立,当
a? 1 1 ?b? a b 成立,但 a ? b ? 1 不成立,所以必要性不成立,则选 A.

【思路点拨】判断充分必要条件,应先分清命题的条件与结论,若从条件能推出结论,则充 分性满足,若从结论能推出条件,则必要性满足.

A3 基本逻辑联结词及量词 【数学文卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 11. 命题 “ ?x ? R,2 ? 0 ”的否定是 【知识点】全称命题的否定. 【答案】 【解析】 的否定是“ A3
x

?x0 ? R, 2x0 ? 0 .解析:根据全称命题的否定方法得:命题“ ?x ? R,2 x ? 0 ”

?x0 ? R, 2x0 ? 0 ”.

【思路点拨】根据全称命题的否定方法得结果.

A4 单元综合


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