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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第30课时 同角三角函数的基本关系式、诱导公式 理


课题:同角三角函数的基本关系式
考纲要求: ① 理解同角三角函数的基本关系式,能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明 有关问题.②能利用单位圆的三角函数线推到有关的诱导公式,能利用诱导公式化简任意 角的三角函数值. 重点:理解同角三角函数的基本关系式及诱导公式;并能进行求值、化简与证明. 难点:公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取. 教材复习: 1. 同角三角函数的基本关系式: (1)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 sin ? ? csc? ? 1 cos ? ? sec? ? 1 ;

sin ? cos ? , cot ? ? ; cos ? sin ? (3)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? 2. 诱导公式:奇变偶不变,符号看象限.
(2)商数关系: tan ? ? 基本知识方法: 1. 利用平方关系时,要注意开方后符号的选取;

csc2 ? ? 1 ? cot 2 ? .

? ?? 2. 诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为 ?0, ? 内角的三角函数值, 其解题思路 ? 2?
是化负角为正角,化复杂角为简单角,运用时应充分注意符号; 3. 利用商数关系、倒数关系能够完成切割化弦;

4. 涉及 sin ? , cos? 的二次齐次式(如 a sin 2 ? ? b sin ? cos ? ? c cos2 ? )的问题常采用 “ 1 ”代换法求解; 5. 涉及 sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? 的问题常采用平方法求解; a sin ? ? b cos ? 6. 涉及 sin ? ,cos ? 的齐次分式(如 )的问题常采用分式的基本性质进行 c sin ? ? d cos ?
变形. 典例分析: 考点一 利用诱导公式化简三角函数式 问题 1. ?1? ( 07 全国Ⅱ文) cos 330? ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 3 D. ? 2 2

? 2 ? ( 06 黄岗模拟)已知 cos 31? ? m ,则 sin 239?? tan149? ?
A.

1 ? m2 m

B. 1 ? m2

C.

m2 ? 1 m

D. ? 1 ? m2

? 3? ( 2013 聊城模拟)已知 f ( x) ? a sin ?? x ? ? ? ? b cos ?? x ? ? ? ? 4 ( a, b, ? , ? 为非
209

零实数) , f (2011) ? 5 ,则 f (2012) ?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 不能确定

? 4 ? ( 2013 嘉兴模拟)
A. sin 2 ? cos 2

1 ? 2sin ?? ? 2 ? cos ?? ? 2 ? ? B. sin 2 ? cos 2 C. ? ?sin 2 ? cos 2?

D. cos 2 ? sin 2

? 5? 已知 cos ? ?

3 ? 5? ? ? ,求 cos ? ? ? ? 的值. ?? ? ? ? 6 ? ?6 ? 3

?

考点二 同角三角函数基本关系式的应用 问题 2. ?1? ( 2011 重庆)若 cos ? ? ?

3 ? 3? ,且 ? ? ? ? , 5 2 ?

? ? ,则 tan ? ? ?

? 2 ? 化简:

sin(? ? ) ? cos(? ? ) 4 4

?

?

? 3? 求值:已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 9? ) ? ? 5 ,求 tan(? ?

3

11? ) 的值; 2

考点三 关于 sin ? ? cos ? , sin ? cos ? 相互转化的问题

210

问题 3. ?1? ( 2012 辽宁)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? ? 0, ? ? ,则 tan ? ?

A. ?1

B. ?

2 2

C.

2 2
4

D. 1

,则 sin ? ? cos ? ? ? 2 ? ( 2013 东北三校模拟)已知 sin ? ? cos ? ? 3 ( 0 ? ? ? 4 )

?

A.

2 3

B. ?

2 3

C.

1 3

D. ?

1 3

? 3? 若 tan ? ?

2 ,求值①

cos ? ? sin ? 2 2 ;② 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? . cos ? ? sin ?

? 4 ? 已知: sin ? ? cos ? ? 5 ,且 ? ? ? 0, ? ? ,求 sin3 ? ? cos3 ? 的值.

1

? 5? 求值

1 ? sin 6 x ? cos 6 x . 1 ? sin 4 x ? cos 4 x

问题 4. 已知 sin ? ,cos ? 是方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个根,
2

3? ? ? ? 2? , 求角 ? . 2

211

课后作业:

1. 若 ? , ? ? (0, ) ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 2
A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? ?

?

?
2

D. ? ? ? ?

?
2

? ?? ? ? 5? ? 1 2. ( 2013 盐城模拟)已知 cos ? ? ? ? ? ,且 ?? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? 2 ? 12 ? ? 12 ? 3

3. 已知 sin ? ?

1 , sin ?? ? ? ? ? 1,求 sin ? 2? ? ? ? 的值. 3

4. 已知 tan? ?

1 1 ,求 的值 . 2 3 2 sin? cos ? ? cos ?

3? ? tan?? ? ? ? cos ? ? ?? sin ? 2 ? ? ?? 2 ? 5. 化简: cos? ?? ? ? ? sin ? ? ? ? ??

? ? ?.

212

? ? ?? 4. 是否存在 ? 、 ? , ? ? ? ? , ? , ? ? ? 0, ? ? 使等式 sin? 3 ? ? ?? ? ? 2 2?

?? ? 2 cos ? ? ?? , ?2 ?

3 cos ? ?? ? ? ? 2 cos ?? ? ? ? 同时成立?若存在,求出 ? 、 ? 的值;若不存在,请说明
理由.

走向高考:

1. ( 06 湖北文)已知 sin 2 A ?

2 , A ? ? 0, ? ? ,则 sin A ? cos A ? 3

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

2. ( 07 海南)若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
B. ?

A. ?

7 2

1 2

C.

1 2

D.

7 2

3. ( 07 湖北文) tan 690? ?

213

A. ?

3 3

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

4. ( 07 全国Ⅰ) ? 是第四象限角, tan ? ? ? A.

5 ,则 sin ? ? 12
D. ?

1 5

B. ?

1 5
?

C.

5 13

5 13

sin( ? 2? ) 2 ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求θ 的值. 5. ( 06 湖南文)已知 3 sin? ? cos(? ? ? )

214


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