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高二数学两条直线位置关系试卷(有详细答案)


高二数学两条直线位置关系试卷 一.选择题(共 13 小题) 1.直线 l1:x+my+6=0 和直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行,则 m 的取值为( A.﹣1 或 3 B.3 C.﹣1 D.1 或﹣3 考点: 两条直线平行的判定. 专题: 计算题. )

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分析: 利用两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,解方程求的 m 的值. 解答: 解:由于直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行, ∴ 故选 C. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之 比. ,∴m=﹣1,

2.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则 m,的值分别 为( ) A.4 和 3

B.﹣4 和 3

C.﹣4 和﹣3

D.4 和﹣3

考点: 两条直线平行的判定;直线的截距式方程. 专题: 待定系数法. 分析: 由直线在 y 轴上的截距为 ,可得 求出 m. 解答: 解:由题意得 ∴ = ≠ ,

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= ,解出 n,再由直线平行可得 =

≠ ,

= ,n=﹣3,直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,

∴m=﹣4. 故选 C. 点评: 本题考查直线在 y 轴上的截距的定义,两直线平行的性质. 3.三条直线 l1:x﹣y=0,l2:x+y﹣2=0,l3:5x﹣ky﹣15=0 构成一个三角形,则 k 的取值 范围是( ) A.k∈R B.k∈R 且 k≠±1,k≠0C.k∈R 且 k≠±5,k≠ D.k∈R 且 k≠±5,k≠1 ﹣10

考点: 两条直线平行的判定;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 如果三条直线组不成三角形,则必存在平行线,或三条直线过同一点,由此求出不能 构成三角形的条件再求此条件的补集. 解答: 解:由 l1∥l3 得 k=5,由 l2∥l3 得 k=﹣5,
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若(1,1)在 l3 上,则 k=﹣10. 故若 l1,l2,l3 能构成一个三角形,则 k≠±5 且 k≠﹣10. 故选 C. 点评: 本题考查两条直线平行的判定,直线的一般式方程,考查逻辑思维能力,计算能力, 是基础题. 4. 若方程 (6a ﹣a﹣2) (3a ﹣5a+2) x+ y+a﹣1=0 表示平行于 x 轴的直线, a 的值是 则 ( A. B. C. D.1 ,
2 2



考点: 两条直线平行的判定.

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专题: 计算题. 分析: 根据直线 ax+by+c=o 与 x 轴平行?a=0,b≠0,c≠0
2 2 解答: 解:∵方程(6a ﹣a﹣2)x+(3a ﹣5a+2)y+a﹣1=0 于 x 轴平行 2 2 ∴6a ﹣a﹣2=0 3a ﹣5a+2≠0 a﹣1≠0

解得:a=﹣ 故选 B. 点评: 本题考查了两直线平行的判定,要注意 ax+by+c=o 与 x 轴平行 c≠0,如果等于 0 就与 x 轴重合了.属于基础题. 5.直线 3x﹣2y+m=0 与直线(m ﹣1)x+3y﹣3m+2=0 的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交 D.不能确定 考点: 两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 由两直线平行则斜率相等且在 y 轴上的截距不相等求解. 解答:
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2

解: 若两直线平行 则有 k1=k2,

2m =﹣7,无解 ∴两直线相交 故选 C. 点评: 本题主要考查两直线的位置关系. 6.直线 x+a y+6=0 和(a﹣2)x+3ay+2a=0 无公共点,则 a 的值是(
2

2



A.3

B.0

C.﹣1

D.0 或﹣1

考点: 两条直线平行的判定. 专题: 分类讨论.

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分析: 首先讨论 a 是否为 0,然后由两直线平行的条件解之. 解答: 解:当 a=0 时,两直线方程分别为 x+6=0 和 x=0,显然无公共点; 当 a≠0 时, 解得 a=﹣1. 所以 a=0 或﹣1. 故选 D. 点评: 本题考查两直线平行的条件及分类讨论的方法. 7. (2010?上海)已知直线 l1: (k﹣3)x+(5﹣k)y+1=0 与 l2:2(k﹣3)x﹣2y+3=0 垂直, 则 K 的值是( ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.1 或 4 D.1 或 2 ,

考点: 两条直线垂直的判定.

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分析: 由两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直?am+bn=0 解得即可. 解答: 解:由题意得 2(k﹣3) ﹣2(5﹣k)=0, 2 整理得 k ﹣5k+4=0, 解得 k=1 或 k=4. 故选 C. 点评: 本题考查两直线垂直的条件. 8.已知 b>0,直线(b +1)x+ay+2=O 与直线 x﹣b y﹣1=O 互相垂直,则 ab 的最小值等于 ( ) A.1 B.2 C. D. 考点: 两条直线垂直的判定.
2 2 2

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专题: 计算题. 分析: 由题意可知直线的斜率存在,利用直线的垂直关系,求出 a,b 关系,然后求出 ab 的 最小值. 2 2 解答: 解:b>0,两条直线的斜率存在,因为直线(b +1)x+ay+2=O 与直线 x 一 b y 一 1=O 互相垂直, 所以(b +1)﹣ab =0,ab=b+ ≥2 故选 B 点评: 本题考查两条直线垂直的判定,考查计算推理能力,是基础题. 9.直线 xsinα+ycosα+1=0 与 xcosα﹣ysinα+2=0 直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.视 α 的取值而定
2 2

考点: 两条直线垂直的判定. 专题: 计算题;分类讨论.

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分析: 当这两条直线中有一条斜率不存在时,检验他们的位置关系式垂直关系.当它们的斜 率都存在时,求出他们的斜率, 发现斜率之积等于﹣1,两条直线垂直. 解答: 解:当 cosθ=0 或 sinθ=0 时,这两条直线中,有一条斜率为 0,另一条斜率不存在, 两条直线垂直. 当 cosθ 和 sinθ 都不等于 0 时,这两条直线的斜率分别为 积等于﹣1, 故两直线垂直.综上,两条直线一定是垂直的关系, 故选 C. 点评: 本题考查两条直线垂直的条件是斜率之积等于﹣1, 或者它们的斜率中一个等于 0, 而 另一个不存在.体现了分类讨论的数学思想. 10. (2007?四川)如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2, 正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、 2、 3 上, l l 则△ABC 的边长是 ( ) 和﹣tanθ,显然,斜率之

A.

B.

C.

D.

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 压轴题. 分析: 由题意可知,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,说明三边长度相等,需要 用解析法来解,即建立适当的直角坐标系,设点的坐标,利用边长相等来逐一验证即 可得到正确答案. 解答: 解:过点 C 作 l2 的垂线 l4,以 l2、l4 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设 A(a,1) 、B(b,0) 、C(0,﹣2) ,由 AB=BC=AC 知
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(a﹣b) +1=b +4=a +9=边长 ,检验 A: (a﹣b) +1=b +4=a +9=12,无解; 检验 B: (a﹣b) +1=b +4=a +9= 检验 D: (a﹣b) +1=b +4=a +9=
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

,无解; ,正确.

故选 D. 点评: 本题是把关题. 在基础中考能力, 在综合中、 在应用中、 在新型题中考能力全占全了. 是 一道精彩的好题.区分度较小.

11.已知点 A(﹣1,﹣2) ,B(2,3) ,若直线 l:x+y﹣c=0 与线段 AB 有公共点,则直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( ) A.[﹣3,5] B.[﹣5,3] C.[3,5] D.[﹣5,﹣3]

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 计算题.

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分析: 确定直线在 y 轴上的截距,说明直线是平行直线系,代入 A、B 坐标,求出 c 的值, 即可得到选项. 解答: 解:直线 l 在 y 轴上的截距是 c,点 A(﹣1,﹣2) ,B(2,3) ,若直线 l:x+y﹣c=0 与线段 AB 有公共点,直线是平行线系,代入 A、B 两点, 可得 c=﹣3,c=5,所以﹣3≤c≤5; 故选 A. 点评: 本题是基础题,考查直线与线段的交点问题,直线的截距的应用,考查计算能力. 12.若直线 l:y=kx﹣1 与直线 x+y﹣1=0 的交点对称的直线方程,则实数 k 的取值范围是 ( ) A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,﹣1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

考点: 两条直线的交点坐标.

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分析: 从题目看 y=kx﹣1 是过(0,﹣1)点的直线系,与直线 x+y﹣1=0 的交点对称的直线 方程,只须看直线的斜率即可. 解答: 解:直线 y=kx﹣1,恒过 A(0,﹣1) ,直线 x+y﹣1=0,与坐标轴的交点为 B(1,0) 和 C(0,1) , 只须 k>kAB 即可,又 kAB=1 所以 k>1 故选 C 点评: 也可以这样解:交点位于第一象限,就是横坐标和纵坐标同时大于 0,进而求实数 k 的取值范围. 13.已知点 M(2,﹣3) ,N(﹣3,﹣2) ,直线 l:y=ax﹣a+1 与线段 MN 相交,则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. a≥ 或 a≤﹣4 ﹣4≤a≤ ﹣

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 计算题;直线与圆.

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分析: 直线 l:y=ax﹣a+1 与线段 MN 相交,可得 M,N 在 ax﹣y﹣a+1=0 的两侧,或在 ax ﹣y﹣a+1=0 上,由此可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵直线 l:y=ax﹣a+1 与线段 MN 相交, ∴M,N 在 ax﹣y﹣a+1=0 的两侧,或在 ax﹣y﹣a+1=0 上 ∵M(2,﹣3) ,N(﹣3,﹣2) , ∴(2a+3﹣a+1) (﹣3a+2﹣a+1)≤0 ∴(a+4) (﹣4a+3)≤0 ∴a≥ 或 a≤﹣4

故选 A. 点评: 本题考查直线与线段的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题. 二.填空题(共 10 小题) 14. (2007?上海模拟)若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行且 不重合,则 a 的值是 ﹣1 考点: 两条直线平行的判定.
2

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分析: 已知两条直线:1: 1x+B1y+C1=0 与 l2: 2x+B2y+C2=0.1∥l2? l A A l
2



根据直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 的方程,代入构造方 程即可得到答案. 2 解答: 解:若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行 则 a(a﹣1)﹣2=0,即 a ﹣a﹣2=0 解得:a=2,或 a=﹣1 又∵a=2 时,l1:x+y+3=0 与 l2:x+y+3=0 重合 故 a=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2? 或
2

15. (2008?上海)已知 A(1,2) ,B(3,4) ,直线 l1:x=0,l2:y=0 和 l3:x+3y﹣1=0、 设 Pi 是 li(i=1,2,3)上与 A、B 两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3 的面积是 .

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题;综合题;压轴题;函数思想;方程思想. 分析: 设出 P1,P2,P3,求出 P1 到 A,B 两点的距离和最小时,P1 坐标,求出 P2,P3 的坐 标,然后再解三角形的面积即可. 解答: 解:设 P1(0,b) 2(a,0) 3(x0,y0) ,P ,P
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由题设点 P1 到 A,B 两点的距离和为

显然当 b=3 即 P1(0,3)时,点 P1 到 A,B 两点的距离和最小 同理 P2(2,0) 3(1,0) ,P ,所以 故答案为: 点评: 本题考查得到直线的距离公式,函数的最值,考查函数与方程的思想,是中档题.

16. (2011?惠州一模)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离 是 2 . 考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 计算题.

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分析: 先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的,利用两平行线间的距离公式进行运 算. 解答: 解:直线 3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0,它直线 6x+my+14=0 平行,∴m=8,则它们 之间的距离是 d= = =2,

故答案为:2. 点评: 本题考查两平行线间的距离公式的应用,注意需使两平行线方程中一次项的系数相 同. 17. (2007?静安区一模) (理)点 A(1,1)到直线 xcosθ+ysinθ﹣2=0 的距离的最大值是 . 考点: 点到直线的距离公式;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数;正弦函 数的定义域和值域.
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专题: 计算题. 分析: 先由点到直线的距离求得距离模型, 再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求 得最值. 解答: 解:由点到直线的距离公式可得, d= =

故答案为: 点评: 本题主要考查了点到直线的距离公式及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应 用,考查了建模和解模的能力. 18. (2013?海淀区二模)直线 l1 过点(﹣2,0)且倾斜角为 30°,直线 l2 过点(2,0)且与 直线 l1 垂直,则直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为 .

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 用点斜式求出两条直线的方程, 再联立方程组, 解方程组求得直线 l1 与直线 l2 的交点 坐标. 解答: 解:由题意可得直线 l1 的斜率等于 tan30°= ,由点斜式求得它的方程为 y﹣0=
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(x+2) , 即 x﹣3y+2

=0.

直线 l2 过的斜率等于 即 由 ,

=﹣

,由点斜式求得它的方程为 y﹣0=﹣

(x﹣2) ,

x+y﹣2

=0. ,解得 ,故直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为

故答案为 . 点评: 本题主要考查用点斜式求直线的方程, 两条直线垂直的性质, 求两条直线的交点坐标, 属于基础题.

19. (2013?宝山区二模)若关于 x、y 的二元一次方程组

有唯一一

组解,则实数 m 的取值范围是



考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 数形结合.

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分析: 把给出的二元一次方程组 斜截式,由斜率不等即可解得答案. 解答: 解:二元一次方程组

中的两个方程看作两条直线,化为

的两个方程对应两条直线,方程组的解

就是两直线的交点, 由 mx﹣y+3=0,得 y=mx+3,此直线的斜率为 m. 由(2m﹣1)x+y﹣4=0,得 y=﹣(2m﹣1)x+4. 若二元一次方程组 有唯一一组解,

则两直线的斜率不等,即 m≠1﹣2m,所以 m 故答案为 .



点评: 本题考查了二元一次方程组的解法,考查了数形结合的解题思想,二元一次方程组的 解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标,是基础题. 20. (2010?广东模拟) 已知点 A (1, ﹣1) 点 B , (3, , P 是直线 y=x 上动点, 5) 点 当|PA|+|PB| 的值最小时,点 P 的坐标是 (2,2) .

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 计算题.

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分析: 根据图形可知,当 P 运动到直线 y=x 与直线 AB 的交点 Q 时,|PA|+|PB|的值最小时, 所以利用 A 和 B 的坐标求出直线 AB 的方程, y=x 联立即可求出交点的坐标即为 P 与 的坐标. 解答: 解: 连接 AB 与直线 y=x 交于点 Q, 则当 P 点移动到 Q 点位置时, |PA|+|PB|的值最小. 直线 AB 的方程为 y﹣5= (x﹣3) ,即 3x﹣y﹣4=0.

解方程组







于是当|PA|+|PB|的值最小时,点 P 的坐标为(2,2) . 故答案为: (2,2)

点评: 此题考查学生会根据两点坐标写出直线的方程,会求两直线的交点坐标,是一道中档 题. 21.经过两直线 11x+3y﹣7=0 和 12x+y﹣19=0 的交点,且与 A(3,﹣2) ,B(﹣1,6)等 距离的直线的方程是 7x+y﹣9=0 或 2x+y+1=0 . 考点: 过两条直线交点的直线系方程. 分析: 直接求两直线的交点,与 A(3,﹣2) ,B(﹣1,6)等距离的直线,一条过 AB 的中 点,一条平行 AB.
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解答: 解:两直线 11x+3y﹣7=0 和 12x+y﹣19=0 的交点坐标是(2,﹣5) ,AB 的中点(1, 2) ,所求方程是 7x+y﹣9=0; AB 的斜率是﹣2,所以所求方程是 2x+y+1=0.故所求直线方程是 7x+y﹣9=0 或 2x+y+1=0. 故答案为:7x+y﹣9=0 或 2x+y+1=0. 点评: 本题考查直线交点,直线的平行等知识,还可以用直线系方程求解,是基础题. 22.已知 0<k<4,直线 l1:kx﹣2y﹣2k+8=0 和直线 l:2x+k y﹣4k ﹣4=0 与两坐标轴围成 一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为 .
2 2

考点: 过两条直线交点的直线系方程;方程组解的个数与两直线的位置关系.

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专题: 数形结合;转化思想. 分析: 先求出两直线经过的定点坐标,再求出直线与 x 轴的交点,与 y 轴的交点,得到所 求的四边形,利用四边形的面积等于三角形 ABD 的面积和梯形 OCBD 的面积之和, 再应用二次函数的性质求出面积最小时的 k 值. 解答: 解:如图所示: 直线 l1:kx﹣2y﹣2k+8=0 即 k(x﹣2)﹣2y+8=0,过定点 B(2,4) , 与 y 轴的交点 C(0,4﹣k) , 2 2 2 直线 l:2x+k y﹣4k ﹣4=0,即 2x﹣4+k (y﹣4)=0, 2 过定点(2,4 ) ,与 x 轴的交点 A(2 k +2,0) , 由题意知,四边形的面积等于三角形 ABD 的面积和梯形 OCBD 的面积之和,故所求 四边形的面积为 ×4×(2 k +2﹣2)+ 故答案为 .
2

=4k ﹣k+8,∴k= 时,所求四边形的面积最小,

2

点评: 本题考查直线过定点问题,二次函数的性质得应用,体现了转化及数形结合的数学思 想. 23.在平面直角坐标系中,若符合点 A(1,2) ,B(m,1)到直线 l 的距离分别为 1,2 的 直线有且仅有 2 条,则实数 m 的取值范围是 (1﹣2 ,1+2 ) . 考点: 两条直线的交点坐标.

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专题: 计算题;直线与圆. 分析: A(1,2) 由 ,B(m,1)到直线 l 的距离分别为 1,2 的直线有且仅有 2 条,知 |AB|= <2+1,由此能求出实数 m 的取值范围.

解答: 解:∵A(1,2) ,B(m,1)到直线 l 的距离分别为 1,2 的直线有且仅有 2 条, 如图:

∴|AB|=

<2+1,

∴1﹣2 <m<1+2 . ∴实数 m 的取值范围是(1﹣2 ,1+2 ) . 故答案为: (1﹣2 ,1+2 ) . 点评: 本题考查点到直线的距离,两直线的位置关系,体现了数形结合的数学思想,得到不 存在和线段 AB 有交点的直线,是解题的关键. 三.解答题(共 7 小题) 24.直线 和 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,在线段 AB 为边在第一象限内作等边 使得△ABP 和△ABC 的面积相等,求 m 的

△ABC,如果在第一象限内有一点 值.

考点: 两条直线平行的判定;恒过定点的直线. 专题: 计算题.

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分析: 先由已知条件得到 CP∥AB,设 CP 的方程为

,先求出 AB

的中点 D 的坐标,由点到直线的距离公式求出点 D 到直线 CP 的距离,从而得到 c 的 值,再把 代入直线 CP 的方程,求出 m 的值. , ) ,

解答: 解:由已知可得直线 CP∥AB,设 CP 的方程为 ∵A( ) ,B(0,1) ,∴AB 的中点 D( , ,

∵△ABC 是等边三角形,∴CD= 点 D 到直线 CP 的距离 d=

∵CP 过



∴ 点评: 本题考查两条直线的位置关系、等边三角形的性质和点到直线的距离公式.解题时要 认真审题,仔细解答. 25.已知两平行直线 ?1:ax﹣by+4=0 与 ?2: (a﹣1)x+y﹣2=0.且坐标原点到这两条直线 的距离相等.求 a,b 的值. 考点: 两条直线平行的判定;点到直线的距离公式. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题意知,?1,?2 在 y 轴上的截距互为相反数,由此求出 b 值,再由 ?1∥?2,且 ?1, ?2 斜率存在,故他们的斜率相等,可求出 a. 解答: 解:坐标原点到这两条直线的距离相等且 ?1∥?2, ∴?1,?2 在 y 轴上的截距互为相反数即 ,∴b=﹣2,

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即有 ?1:ax+2y+4=0 与 ?2: (a﹣1)x+y﹣2=0. 由 ?1∥?2,且 ?1,?2 斜率存在.∴ 解之得 a=2 综上:a=2,b=﹣2. 点评: 本题考查两条直线平行的判定,关键是把原点到这两条直线的距离相等转化为:?1, ?2 在 y 轴上的截距互为相反数, 体现了转化的数学思想. 26.已知直线 l1 的方程为 3x+4y﹣12=0. (1)若直线 l2 与 l1 平行,且过点(﹣1,3) ,求直线 l2 的方程; (2)若直线 l2 与 l1 垂直,且 l2 与两坐标轴围成的三角形面积为 4,求直线 l2 的方程. 考点: 两条直线垂直的判定;直线的一般式方程. 分析: 利用平行直线系方程特点设出方程,结合条件,用待定系数法求出待定系数. 解答: (1)由直线 l2 与 l1 平行,可设 l2 的方程为 3x+4y+m=0,以 x=﹣1,y=3 代入,得 解: ﹣3+12+m=0,即得 m=﹣9, ∴直线 l2 的方程为 3x+4y﹣9=0. (2)由直线 l2 与 l1 垂直,可设 l2 的方程为 4x﹣3y+n=0,
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令 y=0,得 x=﹣ ,令 x=0,得 y= , 故三角形面积 S= ?|﹣ |?| |=4 ∴得 n =96,即 n=±4 ∴直线 l2 的方程是 4x﹣3y+4 点评: 待定系数法求直线方程.
2

=0 或 4x﹣3y﹣4

=0.

27. (2010?泉州模拟)在同一平面内,边长为 2 的等边△ABC 的两个顶点 B、C 分别再两 o o 条平行直线 l1,l2 上,另一个顶点 A 在直线 l1、l2 之间,AB 与 l1 的夹角为 θ,0 <θ<60 . o (I)当 θ=45 时,求点 A 到直线 l1 的距离;

(II)若点 A 到直线 l1、l2 的距离分别为 d1、d2,记 d1?d2=f(θ) ,求 f(θ)的取值范围.

考点: 点到直线的距离公式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题;综合题.

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分析: (I)过点 A 作直线 l1 的垂线,垂足为 M,然后解三角形,求点 A 到直线 l1 的距离; (II)过点 A 作直线 l2 的垂线,垂足为 N,点 A 到直线 l1、l2 的距离分别为 d1、d2, 表示出 d1、d2,和 d1?d2=f(θ) ,然后求 f(θ)的取值范围. 解答: (I)过点 A 作直线 l1 的垂线,垂足为 M, 解: 在 Rt△ABM 中,sin45°= ∴|AM|=2sin45°=2× 即:点 A 到直线 l1 的距离为 . ,

(II)过点 A 作直线 l2 的垂线,垂足为 N, ∵AB 与 l2 的夹角为 θ,∴AC 与 l2 的夹角为 60°﹣θ, 在 Rt△ABM,d1=AM=2sinθ 在 Rt△ACN,d2=AN=2sin(60°﹣θ) d1?d2═4sin(60°﹣θ)sinθ = = =2sin(2θ+30°)﹣1 ∵0°<θ<60°∴30°<2θ+30°<150° ∴ <sin(2θ+30°)≤1,∴d1d2∈(0,1] 点评: 本题考查点到直线的距离,正弦函数的定义域和值域,考查学生的计算能力,是中档 题. 28.如图,已知四边形 OABC 是矩形,O 是坐标原点,O、A、B、C 按逆时针排列,A 的 坐标是 ,|AB|=4. (Ⅰ) 求点 C 的坐标; (Ⅱ)求 BC 所在直线的方程.

考点: 两点间的距离公式;平行向量与共线向量;直线的一般式方程. 专题: 计算题;直线与圆.

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分析: (Ⅰ) 求出 OC 所在想的斜率,推出 OC 的直线方程,利用|OC|的距离,求点 C 的坐 标; (Ⅱ)求出 BC 所在直线的斜率,利用点斜式求 BC 所在直线的方程. 解答: 解: (Ⅰ) 因为四边形 OABC 是矩形,OA 所在直线的斜率为:KOA= , 所以 OC 的斜率为:﹣ ,OC 所在直线方程为:y=﹣ x) ,|OC|= x, ,

因为|OC|=|AB|=4,设点 C 的坐标(x,﹣ 解得 x=2(舍)或 x=﹣2; 所以所求 C 的坐标(﹣2,2

) . ,又 C(﹣2,2 ) ,

(Ⅱ)因为 OA∥BC,所以 BC 所在直线的斜率为 所以 BC 所在直线的方程:y﹣2 = (x+2) .

即 BC 所在直线的方程:x﹣ y+8=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,两点间距离公式的应用,点斜式方程的应用,考查计算能 力. 29.如图,已知长方形 ABCD 的两条对角线的交点为 E(1,0) ,且 AB 与 BC 所在的直线 方程分别为:x+3y﹣5=0 与 ax﹣y+5=0. (1)求 a 的值; (2)求 DA 所在的直线方程.

考点: 点到直线的距离公式;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: (1) 先根据 AB 与 BC 所在的直线方程求出它们所在的直线的斜率, 再利用两直线垂
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直的条件得出斜率之积等于﹣1,从而求出 a 值; (2)由于 DA∥BC,可设直线 DA 的方程为:3x﹣y+m=0(m≠5) ,再利用点 E 到 BC 与 DA 的距离相等,列出关于 m 的方程即可求出 m,从而得到 DA 所在的直线方程. 解答: (1)∵AB 与 BC 所在的直线方程分别为:x+3y﹣5=0 与 ax﹣y+5=0 解: ∴AB 与 BC 所在的直线的斜率分别为:﹣ ,a. 由于 AB⊥BC, ∴ ×a=﹣1

则 a=3.﹣﹣﹣﹣(2 分) (2)由于 DA∥BC,则可设直线 DA 的方程为:3x﹣y+m=0(m≠5) , 又点 E 到 BC 与 DA 的距离相等,则 ,﹣﹣﹣(5 分)

因此 m=﹣11,或 m=5(舍去) , 则直线 DA 所在的方程为 3x﹣y﹣11=0.﹣﹣﹣﹣(8 分) (此题也可先解出点 B,再利用点 D 与 B 关于点 E 对称得出点 D 的坐标来完成) 点评: 本小题主要考查两直线垂直的条件、直线的一般式方程、点到直线的距离公式等基础 知识,考查运算求解能力,考查转化思想.属于基础题. 30. 已知两定点 A (2, , 5)B (﹣2, , 和 N 是过原点的直线 l 上的两个动点, 1) M 且 l∥AB,如果直线 AM 和 BN 的交点 C 在 y 轴上; (Ⅰ)求 M,N 与 C 点的坐标; (Ⅱ)求 C 点到直线 l 的距离. 考点: 点到直线的距离公式;两条直线平行与倾斜角、斜率的关系;两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 用点斜式求出直线 l 的方程,设 M(a,a) ,则 N(a+2,a+2) ,设 C(0,b) , 根据点共线得到①和②, 解得 a 和 b 的值,即得 M,N 与 C 点的坐标. (Ⅱ)由两点式求得 AB 的方程,由点到直线的距离公式求得 C 点到直线 l 的距离. 解答: 解:Ⅰ)直线 l 的斜率即 AB 的斜率, ( 为 =1, 故过原点的直线 l 的方程为 y=x. 设M (a, , N a) 则 (a+2, a+2) 设 C , (0, , A、 M 三点共线可得 b) 由 C、 ①. 由 B、C、N 三点共线可得 = ②. = ,

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由①②解得 a=﹣1,b=1,∴M(﹣1,﹣1) ,N(1,1) ,C (0,1) . (Ⅱ)由两点式求得 AB 的方程为 距离为 = . ,即 x﹣y+3=0,故 C 点到直线 l 的

点评: 本题考查用点斜式、两点式求直线方程,三点共线的性质,点到直线的距离公式,求

出点 C 的坐标,是解题的关键.


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