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高中数学 (2.1.4 平面与平面之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修2


张喜林制

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

整体设计 教学分析 空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系, 平面与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的, 要求学生在公理 3 的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空 间中平面与平面之间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.培养学生全面思考问题的能力. 重点难点 平面与平面的相交和平行. 课时安排 1 课时 教学过程 复习 1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系: ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 导入新课 思路 1.(情境导入) 拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种? 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,围成长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面,两两之间的位置关系 有几种?

图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做两个平面平行? ②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
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活动:先让学生思考,后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答 不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果: ①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行,如图 2.

图2 图3 ③如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说 两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理 3.如图 3,用符号语言表示为:P∈α 且 P∈β ? α ∩β =l,且 P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点,则两平面平行 ? 若 α ∩β = ? ,则 α ∥β . 如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交 ? 若 α ∩β =AB,则 α 与 β 相交. 两平面平行与相交的图形表示如图 4.

图4 应用示例 思路 1 例 1 已知平面 α ,β ,直线 a,b,且 α ∥β ,a ? α ,b ? β ,则直线 a 与直线 b 具有怎样的位 置关系? 活动:学生自己思考或讨论,再写出正确的答案 .教师在学生中巡视,发现问题及时纠正, 并及时评价. 解:如图 5,直线 a 与直线 b 的位置关系为平行或异面.

图5 例 2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论. 解:三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条,如图 6.
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图6 变式训练 α 、β 是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定 α ∥β 的是( A.α 、β 都平行于直线 l、m B.α 内有三个不共线的点到 β 的距离相等 C.l、m 是 α 内的两条直线,且 l∥β ,m∥β D.l、m 是两条异面直线,且 l∥α 、m∥α 、l∥β ,m∥β 分析:如图 7,分别是 A、B、C 的反例. )

图7 答案:D 点评:判断正误要结合图形,并善于发现反例,即注意发散思维. 思路 2 例 1 α ∩β =l,a ? α ,b ? β ,试判断直线 a、b 的位置关系,并画图表示. 活动:学生自己思考或讨论,再写出正确的答案.教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并 及时评价. 解:如图 8,直线 a、b 的位置关系是平行、相交、异面.

图8 变式训练 α ∩β =l,a ? α ,b ? β ,b∩β =P,试判断直线 a、b 的位置关系,并画图表示. 解:如图 9,直线 a、b 的位置关系是相交、异面.

图9 直线 a、b 不可能平行,这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会,学完下一节后 可以证明. 点评: 结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系, 目的在于培养学生的空间想象能力. 例 2 如图 10,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AA1、D1C1 的中点,过 D、
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M、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l,

图 10 (1)画出 l 的位置; (2)设 l∩A1B1=P,求 PB1 的长. 解: (1)平面 DMN 与平面 AD1 的交线为 DM, 则平面 DMN 与平面 A1C1 的交线为 QN. QN 即为所求作的直线 l.如图 10. (2)设 QN∩A1B1=P, ∵△MA1Q≌△MAD,∴A1Q=AD=a=A1D1, ∴A1 是 QD1 的中点.又 A1P∥D1N,

1 1 1 D1N= C1D1= a. 2 4 4 1 3 ∴PB1=A1B1-A1P= a ? a ? a . 4 4
∴A1P= 变式训练 画出四面体 ABCD 中过 E、F、G 三点的截面与四面体各面的交线. 解:如图 11,分别连接并延长线段 EF、BD,

图 11 ∵线段 EF、BD 共面且不平行,∴线段 EF、BD 相交于一点 P. ∴连接 GP 交线段 CD 于 H,分别连接 EG、GH、FH 即为所作交线. 点评:利用公理 3 作两平面的交线是高考经常考查的内容,是两平面关系的重点. 知能训练 三棱柱的各面把空间分成几部分? 解:分为 21 部分. 拓展提升 已知平面 α ∩平面 β =a,b ? α ,b∩a=A,c ? β 且 c∥a, 求证:b、c 是异面直线. 证明:反证法:若 b 与 c 不是异面直线,则 b∥c 或 b 与 c 相交. (1)若 b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与 a∩b=A 矛盾. (2)若 b、c 相交于 B,则 B∈β .又 a∩b=A,∴A∈β . ∴AB ? β ,即 b ? β .这与 b∩β =A 矛盾. ∴b,c 是异面直线.
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课堂小结 本节主要学习平面与平面的位置关系,平面与平面的位置关系有两种: ①两个平面平行——没有公共点; ②两个平面相交——有一条公共直线. 另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业 课本习题 2.1 B 组 1、2、3. 设计感想 本节内容较少,与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质,只介绍了平面 与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系,虽没有严格推理和 证明,却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.

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