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必修4 三角函数的图象与性质 (2)


第 4 讲 三角函数的图象与性质 【2013 年高考会这样考】 考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性. 【复习指导】 1.要熟记本节的基础知识,并会将 ωx+φ 看作一个整 体进行解题. 2.解题时要注意图象的应用,如利用图象求函数的最 值、值域等. 3.注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题, 这是近几年高考的热点. 4.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想

等数 学思想方法的运用.



?2kπ-π ,2kπ+ 2 ?
π? 2?(k∈Z);单调减 π 区间? ?2kπ+2 ,2kπ 3π + 2? ?(k∈Z)

π,2kπ](k ∈Z);单 调减区间 [2kπ,2kπ +π](k∈ Z)

?kπ-π , 2 ?
π kπ+ 2? ? (k∈Z)

奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数

(1)周期性 基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π ? ?3π ? (0,0),? ?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π ? ?3π ? (0,1),? ?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1) . 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x y=cos x y=tan x {x|x≠kπ+ R R π ,k∈Z} 2 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 2π π ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐 步分析 ωx+φ 的范围, 根据正弦函数单调性写出函数的 值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函 数在区间上的值域(最值)问题. 双基自测 对称轴:x= π kπ+ (k∈Z) 2 对称性 对称中心: (kπ,0)(k∈ Z) 周 期 单 调 2π 对称轴:x= kπ (k∈Z) 对称中心: 对称中心: 无对称轴 π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos? ?x+3?,x∈ R( ). B.既是奇函数又是偶函数 D. 是偶函数

A.是奇函数

?kπ+π,0? 2 ? ?
(k∈Z) 2π 单调增区 间[2kπ-

?kπ,0?(k∈ ?2 ?
Z) π 单调增区 间
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C.既不是奇函数也不是偶函数 答案 C π ? 2.函数 y=tan? ?4-x?的定义域为(
? ? π x≠kπ- ,k∈Z? A.?x? 4 ? ? ? ? ? π ? C.?x? ?x≠kπ+4 ,k∈Z ? ? ?

).

? ? π x≠2kπ- ,k∈Z ? B.?x? 4 ? ? ? ? π ? D.?x? ?x≠2kπ+4 ,k∈Z ? ?

单调增区间

答案 A 3.(2012· 成都质检)函数 y=4sin x,x∈[-π,π]的单调 性是( ).

(2)设 sin x=t,则 t∈?-

?

2 2? . , 2 2?

1?2 5 2 2? ? ∴y=1-sin2x+sin x=-? ?t-2? +4,t∈?- 2 , 2 ?, 1 π 5 故当 t= ,即 x= 时,ymax= , 2 6 4 当 t=- 1- 2 2 π ,即 x=- 时,ymin= . 2 4 2

A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数 π π π π - , ?上是增函数,在?-π,- ?和? ,π?上都 B.在? 2 2 2 ? ? ? ? ?2 ? 是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数 π ? ? π? ? π π? D. 在? ?2,π?∪?-π,-2?上是增函数,在?-2,2?上是 减函数 解析 由 y=sin x 的单调性可知 B 正确. 答案 B π? 4.y=sin? ?x-4?的图象的一个对称中心是( A.(-π,0) ).

【方法总结】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的 三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求 解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题 目:①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y= Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x =t,化为关于 t 的二次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数, 可 先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最 值). 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? ? π? sin?x+π?,求 (2)已知函数 f(x)=cos? ?2x-3?+2sin?x-4?· ? 4? π π? 函数 f(x)在区间? ?-12,2?上的最大值与最小值. 解 (1)要使函数有意义,必须使 si n x-cos x≥0.利用

3π ? ?3π ? ?π ? B.? ?- 4 ,0? C.? 2 ,0? D.?2,0?

解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x- π π 3 =kπ(k∈Z),x=kπ+ (k∈Z),由 k=-1,x=- π 得 4 4 4 π? ? 3π ? y=sin? ?x-4?的一个对称中心是?- 4 ,0?. 答案 B π? 5.(2011· 合肥三模)函数 f(x)=cos? ?2x+6?的最小正周期 2π 为________.解析 T= =π. 2 答案 π

图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.

考向一 三角函数的定义域与值域 【例 1】?(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x 的定义域. π? (2)求函数 y=cos2x+sin x? ?|x|≤4?的最大值与最小值. [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大 于等于零,再利用单位圆或图象求 x 的范围. (2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一 元二次函数解决.
?sin 2x>0, ? 解(1)依题意? 2 ?9-x ≥0 ?
2

π 5π 在[0,2π]内, 满足 sin x=cos x 的 x 为 , , 再结合正弦、 4 4 余弦函数的周期是 2π,所以定义域为
? ? ? π 5π ?x 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. 4 4 ? ? ?

1 3 (2)由题意得: f(x)= cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)· (sin 2 2 1 3 1 x+cos x)= cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x= cos 2x+ 2 2 2 π? 3 sin 2x-cos 2x=sin? ?2x-6?. 2 π π? π ? π 5π? 又 x∈? ?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, π? ? 3 ? ∴sin? ?2x-6?∈?- 2 ,1?.
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π ? ?kπ<x<kπ+2,k∈Z, ? ? ?-3≤x≤3,

? π π? -3≤x<- ,或0<x< ?. ??x? 2 2? ? ?

π 故当 x= 时,f(x)取最大值 1; 3 π 3 当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 考向二 三角函数的奇偶性与周期性 π x- ? - 1 是 【例 2】 ? (2011· 大同模拟) 函数 y = 2cos2? ? 4? ( ).

【方法总结】求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时, 只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区 间内即可,注意要先把 ω 化为正数. π? 【训练 3 】 函数 f(x) = sin ? ?-2x+3? 的单调减区间为 ______. 解析 π? π? ? f(x)=sin? 它的减区间是 ?-2x+3?=-sin?2x-3?,

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 [审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和 奇偶性. π? π? ? 解析 y=2cos ? ?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函
2

π? y=sin? ?2x-3?的增区间. π π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得:kπ- ≤x≤kπ 2 3 2 12 + π 5π 5π kπ- ,kπ+ ?(k ,k∈Z.故所求函数的减区间为? 12 12? ? 12 π 5π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 答案 ? 12 12? ? 考向四 三角函数的对称性 π 2x+ ?图象的对称轴方程可能 【例 4】?(1)函数 y=cos? 3? ? 是( ). π π C.x= D.x= 6 12

∈Z).

2π 数,T= =π. 2

答案 A

【方法总结】求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般 先要进行三角恒等变换,把三角函数式化为一个角的一 个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶 性规律、三角函数的周期求解公式进行. 【训练 2】 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________. 解析 由 f(x)=(sin x-cos x)sin x=sin2x-sin xcos x= 1-cos 2x 1 π? 1 2 - sin 2x=- sin? ?2x+4?+2. 2 2 2 ∴最小正周期为 π 答案 π 考向三 三角函数的单调性 π ? 【例 3】?已知 f(x)=sin x+sin? ?2-x?,x∈[0,π],求 f(x) 的单调递增区间. [审题视点] 化为形如 f(x)=Asin(x+φ)的形式, 再求单调 区间. π ? ? π? 解 f(x)=sin x+sin? ?2-x?=sin x+cos x= 2sin?x+4?. π π π 由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得:- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z, 4 4 π? 又 x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为? ?0,4?.
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π π A.x=- B.x=- 6 12

π π ? (2)若 0<α< ,g(x)=sin? ?2x+4+α?是偶函数,则 α 的 2 值为________. [审题视点] (1)对 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,把“ωx+ φ”看作一个整体,即可求. π π (2)利用 +α=kπ+ (k∈Z),求解限制范围内的 α. 4 2 解析 kπ π π (1)令 2x+ =kπ(k∈Z),得 x= - (k∈Z), 3 2 6

π 令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x=- .本题也可用代 6 入验证法来解. π π ? (2)要使 g(x)=cos? ?2x+4+α?为偶函数,则须4+α=kπ+ π π π π ,k∈Z,α=kπ+ ,k∈Z,∵0<α< ,∴α= . 2 4 2 4 答案 π (1)A (2) 4

【方法总结】正、余弦函数的图象既是中心对称图形, 又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形, 应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想 的应用.

π |φ| ? 【训练 4】 (1)函数 y=2sin(3x+φ)? ? <2?的一条对称轴 π 为 x= ,则 φ=________. 12 (2) 函数 y = cos(3x + φ) 的图象关于原点成中心对称图 形.则 φ=________. 解析 π (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z), 2

π 7π? (k∈Z),单调递减区间为? ?kπ+12,kπ+12?(k∈Z),则 ω 的值为________.

π π π 即 3× +φ=kπ+ (k∈Z),得 φ=kπ+ (k∈Z), 12 2 4 π π 又|φ|< ,∴k=0,故 φ= . 2 4 (2)由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数, π ∴φ=kπ+ ,k∈Z.答案 2 π π (1) (2)kπ+ ,k∈Z 4 2 三、根据三角函数的周期性求解参数 π? 【示例】? (2011· 合肥模拟)若函数 y=sin ωx· sin? ?ωx+2? π (ω>0)的最小正周期为 ,则 ω=________. 7 四、根据三角函数的最值求参数 【示例】? (2011· 洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x π 在 x= 处有最小值-2,则常数 a、b 的值是( 3 A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1 ).

难点突破 9——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题, 难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类 问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解 答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利 用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析. 一、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】 ? (2011· 泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3 sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( π A. 6 π B. 3 π C.- 6 π D.- 3 ).

二、根据三角函数的单调性求解参数 【 示 例 】 ? (2011· 镇 江 三 校 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = π 5π π ωx+ ? (ω > 0) 的单调递增区间为 ?kπ- ,kπ+ ? sin ? 3? 12 12? ? ?
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