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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.7幂函数


【金榜原创】2014 年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.7 幂函数
一、幂函数定义的应用 1、相关链接 (1)判断一个函数是否为幂函数,只需判断该函数的解析式是否满足:①指数为常数;②底数为自变 量;③幂系数为 1. (2)若一个函数为幂函数,则该函数解析式也必具有以上的三个特征. (3)几个具体函数的定义 ①正比例函数 y ? kx(k ? 0) ; ②反比例函数

y ?

k (k ? 0, x ? 0) ; x

③一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) ; ④二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; ⑤幂函数 y ? x? ( ? ? R ) 2、例题解析 〖例 1〗已知函数 f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m 为何值时,f(x): (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数. 【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征,构建关于 m 的式子求解(1)(2);利用正比例函数、反 比例函数的定义,构建关于 m 的方程,求解(3)(4). 解析:(1)∵f(x)是幂函数,故 m2-m-1=1,即 m2-m-2=0, 解得 m=2 或 m=-1. (2)若 f(x)是幂函数,且又是(0,+∞)上的增函数, 则?

?m 2 ? m ? 1 ? 1 ??5m ? 3>0

, ∴m=-1.

(3)若 f(x)是正比例函数, 则-5m-3=1,解得 m ? ? .

4 5

4 此时 m2-m-1≠0,故 m ? ? . 5
(4)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,

2 2 则m ? ? , 此时 m2-m-1≠0,故 m ? ? . 5 5
2 〖例 2〗已知 y=(m2+2m-2)· x m ?1 +(2n-3)是幂函数,求 m、n 的值.

1

思路解析:本题是求实数 m、n 的值,由于已知幂函数的解析式,因此在解题方法上可从幂函数的定 义入手,利用方程思想解决.

? m 2 ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? ?3 ? 2 3 ? 解答:由题意得: ?m ? 1 ? 0 ,解得 ? 3 ,所以 m ? ?3 , n ? 。 2 n? ? ? 2n ? 3 ? 0 ? 2 ?
二、幂函数的图象与性质 (一)幂函数的图象及应用 1、相关链接 幂函数 y ? x? 的图象与性质由于 ? 的值不同而比较复杂,一般从三方面考查: (1) ? 的正负: ? >0 时,图象过原点和(1,1) ,在第一象限的图象上升;? <0 时,图象不过原点, 在第一象限的图象下降,反之也成立; (2)曲线在第一象限的凹凸性: ? >1 时,曲线下凸;0< ? <1 时,曲线上凸; ? <0 时,曲线下凸; (3) ? =

n ? (其中 m ? N , n ? Z 且 m, n 互质) 。 m

①当 n 为偶数时, f ( x ) 为偶函数,其图象关于 y 轴对称; ②当 m, n 都为奇数时, f ( x ) 为奇函数,其图象关于原点对称; ③当 m 为偶数, n 为奇数时, f ( x ) 为非奇非偶函数,其图象只能在第一象限。 (4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内; (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 注:幂函数的图象无论 ? 取何实数,其必经过第一象限,且一定不经过第四象限。 2、例题解析
1? ? 〖 例 1 〗 已 知 点 ( 2, 2) 在 幂 函 数 f ( x) 的 图 象 上 , 点 ? ?2, ? , 在 幂 函 数 g ( x) 的 图 象 上 . 定 义 4? ?

? ?? g ? x ?, ?f ? x?, f? x h ? x? ? ? 试求函数 h(x)的最大值以及单调区间. g x , f x ? g x . ? ? ? ? ? ? ? ?
【方法诠释】本题是求函数 h(x)的最大值以及单调区间,只需作出其图象,数形结合求解即可,但由 于在条件中已知函数 h(x)在相应段上的解析式,所以,在求解方法上,应在每一段上求最大值及函数的单 调区间,同时要注意函数端点值. 解析:设幂函数为 f(x)=xα ,因为点 ( 2, 2) 在 f(x)的图象上,所以

? 2?

?

所以α =2,即 f(x)=x2; ? 2,

1 1 又设 g(x)=xβ ,点(-2, )在 g(x)的图象上,所以(-2)β = ,所以β =-2, 4 4
即 g(x)=x-2.在同一直角坐标系中画出函数 f(x)与 g(x)的图象,如图所示:

?x-2, ? 则有: h ? x ? ? ?x 2, ?x-2, ?

x ? -1 -1 ? x<0或0<x ? 1, x ?1

根据图象可知:函数的最大值等于 1,单调递增区间是(-∞,-1)和(0,1),单调递减区间是(-1, 0)和(1,+∞). 注:解决与幂函数图象有关的问题,常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用,而 与幂函数有关的函数的性质的研究,常利用其相应幂函数的图象,数形结合求解. 〖例 2〗 已知函数 f ( x) ?

x2 ? 4 x ? 5 x2 ? 4 x ? 4

(1) 求 f ( x ) 的单调区间; (2) 比较 f (?? ) 与 f ( ? 解答: (1)方法一:

2 ) 的大小 2

f ( x) ?

x2 ? 4 x ? 5 ?2 ?2 =1+ ( x ? 2) ,其图象可由幂函数 y ? x 向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单 2 x ? 4x ? 4

位得到,如图:

所以该函数在 (?2, ??) 上是减函数,在 (??, ?2) 上是增函数。 方 法 二 :

x2 ? 4 x ? 5 ?2 f ( x) ? 2 =1+ ( x ? 2) , 设 在 定 义 域 内 x1 ? x2 , 则 x ? 4x ? 4
?2 ?2

f ( x2 ) ? f ? x1 ? ? [1 ? ? x2 ? 2 ? ] ? [1 ? ? x1 ? 2 ? ] ?

1

? x2 ? 2 ?

2

?

1

? x1 ? 2 ?

2

?

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 4 ? 2 2 ? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?

即增区间为? ??, ? 2?;

当x1, x2 ?? ??, ? 2?时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, y ? f ( x)在? ??, ? 2? 上是增函数,

当x1,x2 ?? -2,+??时,f(x2 )-f(x1 )<0,y=f(x)在? -2,+?? 上是减函数,即减区间为? -2,+??。

(2)∵图象关于直线 x ? ?2 对称,又∵

?2 ? (?? ) ? ? ? 2 ? ?

? 2? 2 2 ? ? (?2) ? 2 ? , ? f (?? ) ? f ? ? 2 ? ?。 2 2 ? ?

(二)幂函数的性质与应用 1、相关链接 <一>比较幂值大小的类型及方法 (1)当幂的底数相同,指数不相同时,可以利用指数函数的单调性比较; (2)当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调性比较; (3)当幂的底数与指数都不同时,一种方法是作商,比较商值与 1 的大小关系,确定两个幂值的大小关 系;另一种方法是找中介值,即找中间量,通过比较两个幂值与中间量的大小,确定两幂值的大小关系; (4)比较多个幂值的大小,一般也采用中间量法,即先判断每个幂值与 0、1 等数的大小关系,据此将 它们分成若干组,然后将同一组内的各数再比较大小,最后确定各数间的大小关系. <二>幂函数 y=xα 的性质 (1)定义域、值域及奇偶性,要视α 的具体值而定. (2)当α >0 时,幂函数在(0,+∞)上是增函数,当α <0 时,幂函数在(0,+∞)上是减函数. 2、例题解析 【例 1】(1)试比较 0.40.2,0.20.2,20.2,21.6 的大小. (2)已知幂函数 y=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随 x 的增大而减小,求 满足 ? a ? 1?
? m 3

? ? 3 ? 2a ?

?

m 3

的 a 的取值范围.

【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数 y=x0.2 的单调性比较,而后两个同底数的幂值利用指 数函数 y=2x 的单调性比较. (2)利用幂函数的性质, 构建出 m 的不等式, 并求出 m 的值, 再根据其单调性, 由关于 a 的已知不等式, 构建 a 的不等式,从而求出 a 的范围. 【规范解答】(1)因为函数 y=x0.2 在 R 上为增函数, 且 0.2<0.4<2, ∴0.20.2 <0.40.2<20.2, 又函数 y=2x 在 R 上为增函数,且 0.2<1.6, ∴20.2<21.6, ∴0.20.2<0.40.2<20.2<21.6. (2)∵函数在(0,+∞)上递减, ∴3m-9<0,∴m<3, ∵m∈N*,∴m=1,2.

又∵函数的图象关于 y 轴对称, ∴3m-9 为偶数, 当 m=1 时,3m-9=-6 为偶数, 当 m=2 时,3m-9=-3 为奇数,

? m ? 1,??
? 1 3

m 1 ?? . 3 3

而 y ? x 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,

? ? a ? 1?

?

1 3

? ? 3 ? 2a ? 3 等价于
?

1

a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a, 解得 a<-1 或

2 3 ?a? , 3 2 2 3 ? a ? }. 3 2

∴a 的取值范围是{a|a<-1 或

三、幂函数中的三类讨论题 所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略. 分类讨论时应注重理解和 掌握分类的原则、方法与技巧,做到确定对象的全体,明确分类的标准,不重、不漏的分类讨论.在幂函 数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据幂函数的图象和性质,依据幂函数的单调性分类讨论, 使得结果得以实现. 类型一:求参数的取值范围

〖例 1〗已知函数
f ( x)

f ( x) ? x?2m
2

2

? m?3

(m ? Z) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) ,求 m 的值,并确定

的解析式. 分析:函数

f ( x) ? x?2m

? m?3

(m ? Z) 为偶函数,已限定了 ?2m2 ? m ? 3 必为偶数,且 m ? Z ,

f (3) ? f (5) ,只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值,从而确定 f ( x) 的解析式.
2 解:∵ f ( x) 是偶函数,∴ ?2m ? m ? 3 应为偶数.

又∵

f (3) ? f (5)

, 即3

?2 m2 ? m ? 3

? 3? ? ? ?2 m2 ? m ? 3 ?5 , 整理, 得?5?

?2 m2 ? m ? 3

?1

0 , , ∴ ?2m ? m ?3 ? ∴
2

?1? m ?

3 2.

又∵ m ? Z ,∴ m ? 0 或 1.
2 2 当 m=0 时, ?2m ? m ? 3 ? 3 为奇数(舍去) ;当 m ? 1 时, ?2m ? m ? 3 ? 2 为偶数.

2 故 m 的值为 1, f ( x) ? x .

评注:利用分类讨论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才可为正确 解题奠定坚实的基础. 类型二:求解存在性问题

2 例 2 已知函数 f ( x) ? x ,设函数 g ( x) ? ?qf [ f ( x)] ? (2q ? 1) f ( x) ? 1 ,问是否存在实数 q(q ? 0) ,使得

? 4? g ( x) 在区间 ? ?∞, 0) 上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理 是减函数,且在区间 (?4,

由. 分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但要注意问题中 符号的确定,要依赖于自变量的取值区间.
2 4 2 解:∵ f ( x) ? x ,则 g ( x) ? ?qx ? (2q ? 1) x ? 1 .

假设存在实数 q(q ? 0) ,使得 g ( x) 满足题设条件,
4 2 4 2 2 2 设 x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?qx1 ? (2q ? 1) x1 ? qx2 ? (2q ? 1) x2 ? ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 )[q( x1 ? x2 ) ? (2q ? 1)] .



x1,x2 ? ? ?∞, ? 4?

?∞, ? 4? , 易 知 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , 要 使 g ( x) 在 ? 上是减函数,则应有

2 q( x12 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成立.

2 2 ∵ x1 ? ?4 , x2 ≤ ?4 ,∴ x1 ? x2 ? 32 .而 q ? 0 , 2 2 ∴ q( x1 ? x2 ) ? 32q ..

2 2 从而要使 q( x1 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则有 2q ? 1≥ 32q ,即

q≤?

1 30 .

0) 0 要 使 f ( x) 在 (?4, 0) 上 是 增 函 数 , 则 应 有 若 x1,x2 ? (?4, , 易 知 ( x1 ? x2 ) ( x2? x1 )? ,
2 q( x12 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成立.

∵ ?4 ? x1 ? 0 , ?4 ? x2 ? 0 ,
2 2 2 2 ∴ x1 ? x2 ? 32 ,而 q ? 0 ,∴ q( x1 ? x2 ) ? 32q .

2 2 要使 q( x1 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则必有 2q ? 1≤ 32q ,即

q≥?

1 30 .

综上可知,存在实数

q??

1 ? 4? 0) 上是增函数. 30 ,使得 g ( x) 在 ? ?∞, 上是减函数,且在 (?4,

注: 本题是一道综合性较强的题目, 是幂函数性质的综合应用. 判断函数的单调性时, 可从定义入手, 也可根据函数图象和性质进行判断,但对分析问题和解决问题的能力要求较高,这在平时要注意有针对性 的训练. 类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况
2 k 例 3 讨论函数 y ? (k ? k ) x
2

? 2k ?1

在 x ? 0 时随着 x 的增大其函数值的变化情况.

分析:首先应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质讨论.
2 解: (1)当 k ? k ? 0 ,即 k ? 0 或 k ? ?1 时, y ? 0 为常函数; 2 (2)当 k ? 2k ? 1 ? 0 时, k ? 1 ? 2 或 k ? 1 ? 2 ,此时函数为常函数;

?k 2 ? k ? 0, ? ? 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, (3) ? 即 0 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小; ?k 2 ? k ? 0, ? ? 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, (4)当 ? 即 k ? ?1 或 k ? 1 ? 2 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大;
2 ? ?k ? k ? 0, ? 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, (5)当 ? 即 1 ? 2 ? k ? 0 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大;

2 ? ?k ? k ? 0, ? 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, (6)当 ? ,即 ?1 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小.

评注:含参数系数问题,可以说是解题中的一个致命杀手,是导致错误的一个重要因素.这应引起我 们的高度警觉. 幂函数这一知识点,表面上看内容少而且容易,实质上则不然.它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化 等数学思想,是培养同学们数学思维能力的良好载体.下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用.


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