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【数学】高中数学综合训练系列试题(8)


知识改变命运,学习成就未来

高中数学综合训练系列试题(8)
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 AB,全集∪,给出下列四个命题 ⑴若 A ? B ,则 A ? B ? B ; ⑵若 A ? B ? B ,则 A ? B ? B ; ⑶若 a ? ( A ? C? B) ,则 a ? A ; 则上述正确命题的个数为 A1 B2 C3 ⑷若 a ? C? ( A ? B) ,则 a ? ( A ? B) D4

? ? ? ? ? ? ? ? ? a b c ? 2 设非零向量 a b c ,若 p ? ? ? ? ? ? ,那么 p 的取值范围为 a b c
A[0,1] B[0,2] C[0,3] D[1,2] 3 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,当 a1 d 变化时,若 8(a4 ? a6 ? a8 ) ? (a10 ? a12

?a14 ? a16 ) 是一个定值,那么下列各数中也为定值的是
A S7 B S8 C S13 D S15

4 设 OM ? (1, ) , ON ? (0,1) ,则满足条件 0 ? OP ? OM ? 1 , 0 ? OP ? ON ? 1 的动点 P 的变化范围(图中阴影部分含边界)是
y
2 1

???? ?

1 2

????

??? ???? ? ?

??? ???? ?

y
2 1
1
x

y

y

1
x

0

?1

0 1

0

12

x

?2

0 1

x

A

B

C

D

5 在斜三角形 ABC 中, sin A ? ? cos B cos C 且 tan B tan C ? 1 ? 3 ,则∠A 的值为 A

? 6

B

? 3

C

2? 3

D

5? 6

6 设两个非零向量 e1 , e2 不共线,若 ke1 ? e2 与 e1 ? ke2 也不共线,则实数 k 的取值范围为 A (??, ??) C (??,1) ? (1, ??) B (??, ?1) ? (?1, ??) D (??, ?1) ? (?1,1) ? (1, ??)

? ?

?

?

?

?

7 设 ABCD 是半径为 2 的球面上四个不同的点,且满足 AB ? AC ? 0 , AD ? AC ? 0 ,

??? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ???? ? AB ? AD ? 0 ,则 S?ABC ? S?ABD ? S?ACD 的最大值为
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知识改变命运,学习成就未来
A16 B8 C4 D2

8 由方程 x | x | ? y | y |? 1 确定的函数 y ? f ( x) 在 R 上是 A 奇函数 B 偶函数 C 增函数 D 减函数

9 已知函数 f ( x) ? x2 (ax ? b)(a, b ? R) 在 x ? 2 时有极值,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与 直线 3x ? y ? 0 平行,则函数 f ( x ) 的单调减区间为 A(-∞,0) B(0,2) C(2,+∞) D(-∞,+∞)

10 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意的 x 都有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 和 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 且

f (1) ? 1 ,则 f (2005) 的值为
A2002 B2003 C2004 D2005 11 分别把写有 0,1,2,3,4 数字的四张纸片放入一盒中,每次取一张记数字为 m,放回后 再取一张记数字为 n,设 P(m,n)为平面中的点,则点

P(m, n) ?{( x, y) | 9 x2 ? 16 y 2 ? 144} 的概率为
A

4 25

B

9 25

C

12 25

D

13 25

12 下列三图中的多边形均为正多边形,M,N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1,F2 为 焦点,设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 e1,e2,e3

M
F1

N
F2

M
F1

N
F2
F1

F2

① 则 e1e2e3 的大小关系为 Ae1>e2>e3 Be1<e2<e3

② Ce2= e3 <e1

③ De1= e3>e2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13 在 (1 ? x ? x 2 )(1 ? x)10 的展开式中,含 x 4 的系数为 14 若 a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,且 sin ? ? a , 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156

(? ? [0, ]) ,则 tan = 2 2
15 一个公司有 N 个员工,下设一些部门,现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量 为 n 的样本(N 是 n 的倍数) ,已知某部门被抽取 m 个员工,那么这个部门的员工数为 16 如右图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n(n∈N )行,在 这些数中非 1 的数字之和为
1 1
*

?

?

1 1 2

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1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ……………………… 邮箱:zxjkw@163.com

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17(本题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 3 对称, f (?1) ? 320 且 cos x ? sin x ? 当

3 2 5

? ? ? 15sin 2 x ? 时,求 f ? 的值 ? ? ? cos( x ? ) ? ? 4 ?

18(本题满分 12 分) 某种工作元件有 3 个,它能正常工作的概率均为 0.6,请设计成一个工作系统,使该系 统正常工作的概率不低于 07(要求画出系统图,并计算正常工作的概率) 工作元件

19(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?4 x ? b ,不等式 | f ( x) |? c 的解集为(-1,2)

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(Ⅰ)判断 g ( x) ?

4x 1 ( x ? ) 的单调性,并用定义证明; f ( x) 2

(Ⅱ)解不等式

4x ? m ?0 f ( x)

20(本题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC= 3 ,AA1=1,∠ACB=90° (Ⅰ)求异面直线 A1B 与 CB1 所成角的大小; (Ⅱ)问:在 A1B1 边上是否存在一点 Q,使 得平面 QBC 与平面 A1BC 所成的角为 30°,若存在, 请求点 Q 的位置,若不存在,请说明理由
A1

C1

B1

C
A

B

21(本题满分 12 分) 设 x, y ? R , i , j 为 直 角 坐 标 平 面 内 x 轴 y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , 若
? ?

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? ? ? ? ? ? ? ? a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j ,且 | a | ? | b |? 8

(Ⅰ)求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设曲线 C 上两点 AB,满足(1)直线 AB 过点(0,3) ,(2)若 OP ? OA ? OB ,则 OAPB 为矩形,试求 AB 方程

??? ?

??? ??? ? ?

22(本题满分 14 分) 直线 x ? y ? n(n ? N * ) 与 x 轴 y 轴所围成区域内部(不包括边界)的整点个数为 a n ,所

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围成区域内部(包括边界)的整点个数为 bn , (整点就是横坐标,纵坐标都为整数的点) (Ⅰ)求 a3 和 b3 的值; (Ⅱ)求 a n 及 bn 的表达式; (Ⅲ)对 a n 个整点用红黄蓝白四色之一着色,其方法总 数为 An,对 bn 个整点用红黄两 色之一着色,其方法总数为 Bn,试比较 An 与 Bn 的大小

高中数学综合训练系列试题(8)
参考答案 一、选择题

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1B 2C 3C 4A 5A 6D 7B 8D 9B 10D 11D 12C 二、填空题 13135 14
2 3

15

m? N n

16 2 n ? 2n

三、解答题 17 解:∵ cos x ? sin x ?
3 2 ? 3 ,得 cos(x ? ) ? ……………2(分) 5 4 5

? ? 7 又∵ sin 2x ? ? cos( ? 2x) ? 1 ? 2 cos2 ( x ? ) ? ……4(分) 2 4 25
? ? ? 15 sin 2 x ? ∴ f? ? ? f (7) ………………………………8(分) ? cos(x ? ? ) ? ? 4 ? ? ?

由题意 y ? f (x) 关于直线 x ? 3 对称 ∴ f (3 ? x) ? f (3 ? x) …………………………………………10(分) 即 f (7) ? f (3 ? 4) ? f (3 ? 4 ? f (?1) ? 320…………………12(分) A 18 解法一:利用 2 个工作元件,系统图 …………6(分) B 设工作系统为 N,工作元件 AB 独立 则系统正常工作的概率
P( N ) ? 1 ? P( A ? B ) ? 1 ? (0.4 ? 0.4) ? 0.84

……………………12(分)

(或 P( N ) ? P( A ? B) ? P( A ? B ) ? P( A ? B) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.84 )
A

解法二:利用 3 个工作元件,系统图 设工作系统为 N,工作元件 A=BC 独立 则系统正常工作的概率为

B C

…………6(分)

P( N ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.936………………12(分)

解法三:利用 3 个工作元件,系统图 设工作系统为 N,工作元件 ABC 独立 则系统正常工作的概率为

A

B

C

………6(分)

P( N ) ? 1 ? [ P(C ? A ? B) ? P(C ? A ? B ) ? P(C ? A ? B )]
? 1 ? (0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4) ? 0.744………………12(分)

19 解:∵ | ?4 x ? b |? c 得

b?c b?c ?x? 4 4 又∵ | f ( x) ? c 的解集为(-1,2)

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知识改变命运,学习成就未来
?b ? c ? ?1 ? ? ∴? 4 ?b ? c ? 2 ? 4 ?

得 b=2……………………………………2(分)

(Ⅰ)函数 g ( x) ? 证明:设 x1 ? x 2 ?

1 4x 在 ( ,??) 上为增函数…………4(分) 2 2 ? 4x 1 2
2( x1 ? x 2 ) (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x 2 )

则 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? ∵ x1 ? x 2 ?
1 2

∴ (1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0, x1 ? x2 ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x 2 )

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ∴函数 g ( x) ? (Ⅱ)由 ①当 ? ②当 ? ③当 ?

4x ?1 ? 在 ? ,?? ? 上为增函数………………6(分) 2 2 ? 4x ? ?

m ?? 1? 4x ? m ? ? 0 得 ? x ? ?? x ? ? ? 0 ……………………8(分) 4 ?? 2? ? 4x ? 2 ?

m 1 1 m ? ,即 m ? ?2 时, ? x ? ? 4 2 2 4 m 1 ? ,即 m ? ?2 时,无解 4 2 m 1 m 1 ? ,即 m ? ?2 时, ? ? x ? 4 2 4 2
?1 ?2 m? ? 4?

∴当 m ? ?2 时,解集为 ? ,? 当 m ? ?2 时,解集为空集 当 m ? ?2 时,解集为 ? ?

? m 1? , ? …………………………12(分) ? 4 2?

20 建立如示空间直角坐标系,则
A1 ( 3,0,1), B1 (0, 3,0)
C(0,0,0), B(0, 3,1)

C1 A1

z

B1

???? ? ???? ? A1 B ? (? 3, 3, ?1),| A1 B |? 7 ???? ? ???? ? CB1 ? (0, 3,1),| CB1 |? 2

C
A x

B

y

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? A1 B ? CB1 2 7 ? ? cos ? A1 B ? CB1 ?? ???? ???? ? ? 7 | A1 B || CB1 | 2 7
异面直线 A1B 与 CB1 所成的角为 arccos
7 ………………6(分) 7

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(Ⅱ)答:存在这样的点 Q,使得面 QBC 与面 A1BC 成 30°角 解:∵是直三棱柱,又∠ACB=90°,∴BC⊥CA1,BC⊥CC1 ∴∠A1CC1 是二面角 A1-BC-C1 所成的平面角 在 RtΔ A1C1C 中,∠A1CC1=60°……………………………8(分) 在 A1B1 边上取一点 Q,在平面 A1B1C1 中作 QP∥B1C1,交 A1C1 于 P,连 PC 过证 PQBC 共面 ∴∠A1CP 就是 Q—BC—A1 的平面角为 30°…………………10(分) ∵30°<60°,故有在点 P,在角 A1CC1 的平分线上 在 RtΔ PC1C 中,可得 PC1 ?
3 3 2 6 6 处(或距 B1 点 处)……12(分) 3 3

又 A1B1= 6 ,由相似比可得,Q 在距点 A 21(Ⅰ)解:令 M ( x, y), F1 (0,?2), F2 (0,2) 则 a ? F1 M , b ? F2 M

?

????? ? ?

????? ?

即 | a | ? | b |?| F1 M |? | F2 M |

?

?

?????? ?

????? ?

即 | F1 M | ? | F2 M |? 8 又∵ F1 F2 ? 4 ? 2C 所求轨迹方程为

????? ?

????? ?

??????

∴ c ? 2, a ? 4, b 2 ? 12 ……………………3(分)

y2 x2 ? ? 1 …………………………………………6(分) 16 12

(Ⅱ)解:由条件(2)可知 OAB 不共线,故直线 AB 的斜率存在 设 AB 方程为 y ? kx ? 3, A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
? y ? kx ? 3 ? ? (3k 2 ? 4) x 2 ? 18kx ? 21 ? 0 ………………………8(分) x2 ? ?1 ? ? 16 12

则 ? y2

x1 ? x 2 ? ?

18k 3k ? 4
2

x1 ? x 2 ?

?21 3k 2 ? 4
3b ? 48k 2 3k 2 ? 4

y1 ? y 2 ? (kx1 ? 3)(kx 2 ? 3) ? k 2 x1 x 2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ?

∵OAPB 为矩形,∴OA⊥OB ∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 得k ? ?
5 4

OA?OB ? 0 ……………………10(分)

所求直线方程为 y ? ?

5 x ? 3 ……………………………12(分) 4

22(Ⅰ)解:n=3 时,直线 x=0 上有(0,0) (0,1) (0,2) (0,3)个点,直线 x=1 上有 (1,0) (1,1) (1,2) ,直线 x=2 上有(2,0) (2,1) ,直线 x=3 上有(3,0) 所以 a3 ? 1, b3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 10 ……………………………4(分) (Ⅱ)解:n=1 时,b1=3, a1=0

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n=2 时,b1=6, a2=0 当 n≥3 时, bn ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?
(n ? 1)(n ? 2) 2

a n ? bn ? 3(n ? 1) ? 3 ?
当 n=12 时也满足 所以 a n ?

(n ? 1)( n ? 2) 2

n 2 ? 3n ? 2 n 2 ? 3n ? 2 , bn ? (n ? N * ) ……………9(分) 2 2
n 2 ? 3n ? 2 4 2 n 2 ? 3n ? 2 2 2

(Ⅲ)对于 a n 个整点中的每一个点都有 4 种着色方法,故 An ? 对于 bn 个整点中的每一个点都有 2 种着色方法,故 Bn ?
An Bn ?2
( n 2 ? 3n ? 2 ) ? n 2 ? 3n ? 2 2

……11(分)

?

n 2 ?9 n ? 2 2 2

?

9 65 (n? )2 ? 2 4 2 2

当 n=12345678 时 An ? Bn 当 n≥9 且 n∈N 时, An ? Bn …………………………………14(分)
*

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