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高中数学公式及结论总结(完整版)


高中数学常用公式及结论

1. 元素与集合的关系

x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .
2. 包含关系

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A CU B ? ? ? CU A B ? R
3

. 容斥原理

card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B)

card ( A B C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B) ? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C
4. 德摩根公式

A) ? card ( A B C )

CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B
5. 集合 {a1 , a2 ,

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1
n

个;非空的真子集有 2 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0

? | f ( x) ?

M ?N M ?N f ( x) ? N |? ?0 ? 2 2 M ? f ( x)

?

1 1 . ? f ( x) ? N M ? N

8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值

k ? k2 b ? 1 ,或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区 2a

间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, 若x ? ?

b b ? ? p, q ?, ( ) nm ? f ( ? ,) (f )x 则 fx i 2a 2a

xm a xm a

? (f,)p ( )? fq

?;

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? ,若 (2)当 a<0 时,若 x ? ? 2a b x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a x??
10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2

? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2
或?

? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 或? ; ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0

? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( ??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ? ,?? ,??? 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?
4 2

12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q

?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系

原命题 若p则q 互 互 否 逆 否 否命题 若非p则非q 为

互逆

逆命题 若q则p 互 为 互 否 逆 否 逆否命题

互逆

若非q则非p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果

f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.
17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

y ? f [ g ( x)] 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 y ? f ( x) 是偶函数, 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函 数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 函数 x ?

a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 2

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.
22.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ?

? a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x )

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图

象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] ,并不是

y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?
28.几个常见的函数方程

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

(1)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3) 正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 或 f ( x ? a) ?

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)

或 f ( x ? a) ? ?



1 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a;

(3) f ( x) ? 1 ?

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a)

(4) f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

f ( x) 的周期 T=4a;

(5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a)

? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a;
(6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.

30.分数指数幂 (1) a n ?
? m n

m

1
n

a
1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(2) a

?

a

m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a n ?| a |? ?
n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质 (1)

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) .
r s rs

(2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r r

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

推论 log a m b ?
n

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 36.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若a ? 0,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有
2

m?n . 2

y ? N (1 ? p) x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
40.等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41. 等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; , q ? 1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
42. 等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1
43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1

44.常见三角不等式

(1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

?
2

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

(3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 45.同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =
46.正弦、余弦的诱导公式

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?

n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数)

n ? 2 ( ? 1 ) co ? s , n? ? co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ?( ? 1 )2 s i ?n , ?

(n 为奇数)

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ;

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? . 1 tan ? tan ?

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决
定, tan ? ?

b ). a 2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

48.二倍角公式

tan 2? ?

sin 2? ? sin ? cos ? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

49. 三倍角公式

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3

?

?

?

?

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A

≠0,ω >0)的周期 T ? 51.正弦定理

? . ?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . (3) S ?OAB ? 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) .
co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) .
tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) .
co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .
tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?
57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c.

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ .
61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB
? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

66.线段的定比分公式 设P 1 2 的分点, ? 是实数,且 PP 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 1 ? ? PP 2 ,则

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 OP ? ? OP2 1? ? ? OP ? 1 y1 ? ? y2 1? ? 1? ?
1 ). 1? ?

t? ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2(
67.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

68.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ? ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P' ( x ' , y ' ) ,且 PP' 的 坐标为 ( h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

'

(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
' '

为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数
' '

解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为
' '

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

2

2

2

(2) a, b ? R ?

?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x , y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2 xy
2 2

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与
2 2

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式

(1)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? g ( x ) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(2)

(3)

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

77.斜率公式

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(4)截距式

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A ; 1 A2 ? B 1B2 ? 0 80.夹角公式 (1) tan ? ?|

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) (2) tan ? ?|

A1 B2 ? A2 B1 |. A1 A2 ? B1B2

( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0

直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l2 的角公式 (1) tan ? ?

? . 2

k2 ? k1 . 1 ? k2 k1

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) (2) tan ? ?

A1B2 ? A2 B1 . A1 A2 ? B1B2

( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线

? . 2

x ? x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数.
(2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? ? ( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
83.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域

设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若B?0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A ,则 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A 1A 2B 1B2 ? 0 )

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直线
AB 的方程,λ 是待定的系数.
2 2 (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程

是 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2

2 2 (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ? 0 的交

2 2 点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ) ? 0 ,λ 是待定的

系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
89.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . 92.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 ) , PF2 ? e( ? x) . c c

93.椭圆

PF1 ? e( x ?

94.椭圆的的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的外部 a 2 b2 a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

x2 y 2 (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

(3)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 a 2 b2

A2 a 2 ? B2b2 ? c2 .
96.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a 2 b2

a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? ?1. ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? ?1 . ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的外部 a 2 b2 a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b
x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b
2 2

(2)若渐近线方程为 y ? ?

(3)若双曲线与

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 有公共渐近线,可设为 a2 b2 a2 b2

轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

(2)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
(3)双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 a 2 b2

A2 a 2 ? B2b2 ? c2 .

100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? 过焦点弦长 CD ? x1 ?
2

p . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2
2

y 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x , y ) ,其中 2p

y2 ? 2 px .
102.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: (1)顶 2a 4a

点坐标为 (?

b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); (2)焦点的坐标为 (? (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a

y?

4ac ? b 2 ? 1 . 4a
103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py( p ? 0) .
2 2

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2) 过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2
2 2 (3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC .

105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

x2 y2 ? ? 1 ,其中 k ? max{a 2 , b2 } .当 a 2 ? k b2 ? k

k ? min{a2 , b2 } 时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 ?F( x, y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 x0 x 代 x , 用 y0 y 代 y ,
2 2
2

2



x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理

对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB .

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x , y ,使 p ? ax ? by . 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x , y ,使 MP ? xMA ? yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x , y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB . 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC (x? y?z ?k) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.

A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? yAC ?

OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC).
120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则
' '

A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

(2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1

r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.

2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

cos ? ?

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos ? ?| cos a, b |
r r | a ?b | r ? = r | a |?| b |
o

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o

b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a,
128.直线 AB 与平面所成角

r r

? ? arc sin

AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m |

129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面

? 成的角分别是 ?1 、 ?2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则
sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? .
130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ?2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? .
131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

? ? arc cos

m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |

132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin? 2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .
135.点 Q 到直线 l 距离

h?
b= PQ ).

1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 |a|

136.异面直线间的距离

d?

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 |n|

l1 , l2 间的距离).
137.点 B 到平面 ? 的距离

d?

| AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). |n|

138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 2mn cos? .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两
' 点 E、F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ).
'

139.三个向量和的平方公式

(a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a

2

2

2

? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a
140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 ?1、? 2、?3 ,则有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

2

2

2

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

141. 面积射影定理

S?

S' . cos?
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和 面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式)

V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).
(1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ?

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则 其体积 V ?

4 ? R3 , 3
2

其表面积 S ? 4? R . 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
149.分类计数原理(加法原理)

N ? m1 ? m2 ?

? mn .

150.分步计数原理(乘法原理)

N ? m1 ? m2 ?
151.排列数公式

? mn .

m = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = An

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 . 152.排列恒等式
m m?1 (1) An ; ? (n ? m ?1) An

(2) An ?
m

n m An ?1 ; n?m

m m?1 (3) An ? nAn ?1 ;

(4) nAn ? An?1 ? An ;
n n

n?1

(5) An?1 ? An ? mAn .
m m

m?1

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? 153.组合数公式

? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 .

m = Cn

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1 ? 2 ? ? ? m m ! ? ( n ? m ) ! Am

154.组合数的两个性质
m n?m (1) C n = Cn ; m m?1 m (2) C n + Cn = Cn ?1 . 0 注:规定 Cn ? 1.

155.组合恒等式

n ? m ? 1 m ?1 Cn ; m n m m Cn (2) Cn ? ?1 ; n?m n m?1 m (3) Cn ? Cn ?1 ; m
(1) Cn ?
m

(4)

?C
r ?0

n

r n

=2 ;

n

r r ?1 (5) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 . 0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n . 1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2n?1 . r 0 r ?1 1 0r r r (9) Cm Cn ? Cm Cn ? ? ? Cm Cn ? Cm ?n . 0 2 1 2 2 2 n 2 n (10) (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n.

156.排列数与组合数的关系
m m . An ?m ! ? Cn

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想)
m 1 m ?1 m 1 m ?1 ? An ?1 An ?1 (着眼位置) ? A n ?1 ? A m ?1 A n ?1 (着眼元素)种.
m?1

m ?1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
k m? k ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An?k 种. n ? k ?1 k ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题

常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一
h k 组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种.

(3)两组元素各相同的插空

m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n Am n ?1 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 n ? Cm ?1 种排法. An

n (4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 Cm ?n .

158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N ? C mn ? C mn ?n ? C mn ?2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

(m n)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn (m n)! ? n ? Cmn ? 2 n ... ? C2 n ? Cn . N? ? m! m!(n!)m

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +

+n m ) 个物体分给 m 个人,物件

必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则
nm n1 n2 其分配方法数共有 N ? C p ? Cp Cn ? m!? ? n1 ... m

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +

+n m ) 个物体分给 m 个人,

物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、?个相等,则其分配方法数有 N ?
nm n1 n2 Cp ? Cp Cn ? m! ? n1 ... m

a!b!c!...

?

p !m ! . n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...)

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +

+n m ) 个物体分为任意的 n1 ,

n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数
有N ?

p! . n1!n2!...nm!

(6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +

+n m ) 个物体分为任意的 n1 ,

n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等,
则其分配方法数有 N ?

p! . n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
个物体分给甲、 乙、 丙, ?? +nm )

(7) (限定分组有归属问题)将相异的 p( p ? n1 +n2 +

等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,?时,则无论 n1 ,

n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nm n1 n2 N ? Cp ? Cp Cn ? ? n1 ... m

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

f (n) ? n ![

1 1 1 ? ? ? 2! 3! 4!

? (?1) n

1 ]. n!

推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm ( n ? 1)!? Cm ( n ? 2)!? Cm ( n ? 3)!? Cm ( n ? 4)!

?

p ? (?1) p Cm ( n ? p )!?

m ? (?1) m Cm ( n ? m)!

? n![1 ?

1 2 3 4 Cm Cm Cm Cm ? ? ? ? 1 2 2 4 An An An An

? (?1) p

p Cm ? Anp

? (?1)m

m Cm ]. m An

160.不定方程 x1 +x2 + (1)方程 x1 +x2 + (2) 方程 x1 +x2 + (3) 方程 x1 +x2 +

+xn ? m 的解的个数

n?1 个. +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 Cm ?1 1 个. +xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 Cnn?? m?1

+xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )

n?1 的非负整数解有 Cm 个. ?1 ? ( n?2)( k ?1)

(4) 方程 x1 +x2 +

+xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )
2 n ?1 ? (?1) n ? 2 C nn?? C m?1?( n?2 ) k 个. 2

n ?1 1 n ?1 2 n ?1 的正整数解有 C n?m?1 ? C n?2 C m?n?k ?2 ? C n?2 C m?n?2 k ?3 ?

161.二项式定理
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

二项展开式的通项公式
r n ?r r 1, 2?,n) . Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

162.等可能性事件的概率

P ( A) ?

m . n

163. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 164. 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n?k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P i ? 0(i ? 1, 2, (2) P 1?P 2 ? 169.数学期望

);

? 1.

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ?
170.数学期望的性质

? xn Pn ?

(1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 E? ? 171.方差

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2

? ? xn ? E? ? ? pn ?
2

172.标准差

?? = D? .
173.方差的性质 (1) D ? a? ? b? ? a D? ;
2

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?

q . p2

174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

175.正态分布密度函数

f ? x? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6
2

177.对于 N (?, ? ) ,取值小于 x 的概率
2

? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ?

P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?
? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi ? x ? xi 2 ? nx 2 ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

179.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;

(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .
x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 (1) lim
n ??

1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n

(2) lim x ? x0 , lim
x ? x0

1 1 ? . x ? x0 x x0

184.两个重要的极限 (1) lim

sin x ? 1; x ?0 x
x

? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x?
185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b;
x ? x0

(2) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b ;
x ? x0

(3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??

(2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??

(3) lim

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n
n ?? n ?? n ??

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数). 187. f ( x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ?( x0 ) ? y?
188.瞬时速度

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? ? s?(t ) ? lim
189.瞬时加速度

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ? t ? 0 ?t ?t

a ? v?(t ) ? lim

?t ? 0

190. f ( x) 在 ( a, b) 的导数

f ?( x) ? y ? ?

dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

191. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (cosx)? ? ? sin x . (4) (sin x)? ? cos x . (5) (ln x )? ?
x

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x
x x x

(6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . 193.导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2
194.复合函数的求导法则
' ' 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ? ? ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有

' ' ' 导数 yu ' ? f ' (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ,或写作 ? yu ? ux

f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 n 1 x ; 1? x ?1? x ; 2 n 1 ?1? x; (2) (1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ; 1? x
(1) 1 ? x ? 1 ? (3) e ? 1 ? x ;
x

(4) ln (1 ? x) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? 200.复数的乘法的运算律

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2

对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).

202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ?

z2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数).

203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?

③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭
2

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 复数根 x ? (b ? 4ac ? 0) . 2a


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