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高中数学必修4期中考试卷


高中数学必修 4 期中考试卷
一、选择题: 1、 sin 480 ? 的值是( A.
1 2


1 2

B.-

C.
? ? ) 得(

3 2

D.-

3 2

2、化简 cos 2 (

?
4

? ? ) - sin 2 (

?
4

) C. cos 2? D.- cos 2? )

A. sin 2?

B.- sin 2?

3、如果角 ? 的终边经过点(-
1 2

1 3 , ) ,那么 tan ? 的值是( 2 2

A.

B.-

3 2

C. 3

D. -

3 3

1 ? 4、函数 f(x)= 2 sin( x ? ) 的周期、振幅、初相分别是( ) 2 4 ? ? A. ? ,2, B.4 ? ,-2,- 4 4 ? ? C.4 ? ,2, D.2 ? ,2, 4 8

5、对于非零向量 a、b,下列命题中错误 的是( .. A.a·b=b·a C.a ? b ?a·b=(a·b)2 B.a2= a


2

D.a∥b ? a 在 b 上的投影为 a )

6、已知 a=(5,-2),b=(-4,-3), c=(x,y),若 a-2b+3c=0,则 c 等于( 8 4 4 13 8 13 13 A.(1, ) B.( , ) C.( , ) D.(- ,- ) 3 3 3 3 8 3 3

7、在平行四边形 ABCD 中,OA ? a ,OB ? b ,OC ? c ,OD ? d ,则下列运算正确的是( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0

C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ? 8、函数 y=1-2 cos x 的最小值、最大值分别是( ) 2 A.-1,3 9、已知 sin ? ? B.-1,1 C.0,3 D.0,1 )
3 4 , cos ? ? ? ,那么角 2 ? 的终边所在的象限是( 5 5

A.第一象限 10、已知 tan ? ?

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

1 2 , tan(? ? ? ) ? ? ,那么 tan(? ? 2? ) 的值是( 2 5

A.-

3 4

B.-

1 12

C.-

9 8

D. )

9 8

11、若 AP ? A.
1 4

1 PB , AB ? ? BP ,则实数 ? 的值是( 3 3 4 B. C. 4 3

D.-

4 3

12、 已知 ?ABC 的三个顶点 A、 B、 C 及平面内一点 P, 若 PA ? PB ? PC ? AB , 则点 P 与 ?ABC 的位置关系是( A.P 在 AC 边上 C.P 在 ?ABC 外部 二、填空题: 13、在学习平面向量的线性运算中,多处使用了类比的方法,是类比了 3 14、观察以下三个等式: sin 2 15? ? cos 2 45? ? sin 15? cos 45? ? , 4 3 sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos 50? ? 4 3 sin 2 40? ? cos 2 70? ? sin 40? cos 70? ? 4 试写出一个与以上各式具有共同特点的等式: 15、函数 y ? sin(3 x ? . 平移 个单位,然后 . ) B.P 在 AB 边上或其延长线上 D.P 在 ?ABC 内部

?
5

) 的图象可以先由 y ? sin x 的图象向

把所得图象上各点的横坐标

为原来的

倍(纵坐标不变)而得到. .

16、 已知向量 OA =(k, 12),OB =(4, 5),OC ? (-k, 10), 且 A、 B、 C 三点共线, 则 k= 三、解答题: 17、已知锐角 ? 、 ? 满足 cos? ?
2 5 10 , sin ? ? ,求 ? + ? 的值. 5 10

18、已知函数 y ? cos 2 x cos

?
5

? 2 sin x cos x sin

6? ?1. 5

⑴求函数的递减区间; ⑵求函数的最小值及此时 x 的集合.

19、若 e1 、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量, a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 , ⑴求 a · b 的值; ⑵求 a 、 b 的夹角.

20、已知向量 a =(6,-8),求与 a 平行的单位向量 e .

21、在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a. 在 BC 上取一点 P,使 AB+BP=PD,求 ?APD 的 正切值.

22、已知 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [0, ] ,求: 2 2 2 2 2 3 ⑴a· ⑵若 f ( x) ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值为- ,求实数 ? 的值. b 及 a?b ; 2

莆田一中 2006~2007 学年下学期期中考参考答案 高一数学(必修 4) 一、选择题: (每小题 3 分,共 36 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A 9 D 10 B 11 D 12 A
3 (等) 4

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13、实数运算 的相关性质(等) .... 15、左、
1 ? ;缩短、 3 5

14、 sin 2 50? ? cos 2 80? ? sin 50? cos 80? ? 16、-
2 3

三、解答题: (共 48 分+40 分) 17、(10 分)解:∵ ? 、 ? 为锐角,且 cos? ? ∴ sin ? ?
5 3 10 , cos ? ? 5 10 2 2

2 5 10 , sin ? ? 5 10
(4 分) (8 分)

∴ cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ∵ 0 ? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ?

?
4

(注:解为

?
4



? ? ? 18、(12 分)解: y ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 1 ? cos( 2 x ? ) ? 1 (4 分) 5 5 5 ? ? 3? ? x ? k? ? ,k ? z ⑴由 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ,得 k? ? 5 10 5 ? 3? ∴所求递减区间是[ k? ? , k? ? ]( k ? z ) (8 分) 10 5 ? ⑵当 cos( 2 x ? ) =-1 时, ymin ? ?2 5 ? ? ? 3 这时 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? z ,所求集合是 ? x x ? k? ? ? , k ? z ? (12 分) 5 5 ? ? (注:没写区间扣 1 分,区间后没 ( k ? z )扣 1 分,没用集合表示扣 1 分。 )
19、(12 分)解:⑴ a ? b ? (2e1 ? e2 ) ? (?e1 ? 2e2 ) ? ?6e1 ? e1 ? e2 ? 2e2 1 ∵ e1 ? e2 ? 1 ? cos 60? ? 2 1 ∴ a ? b ? ?6 ? ? 2 =-3.5 2 ⑵ cos? ?
2 2

3? 的扣 2 分。 ) 4

(10 分)

(2 分) (4 分) (6 分) (8 分) (10 分) (12 分)

a ?b a?b

?

? 3.5 a?b

∵ a ? (2e1 ? e2 ) 2 ? 7 , b ? (?3e1 ? 2e2 ) 2 ? 7
2? 1 ∴ cos ? ? ? ,∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? 3 2

答(略)

20、(14 分)略。注:少证一个或证错一个扣 3 分。 21、(6 分)解: e ∥ a ,∴ e ? ? a ? (6?,?8?) 由 e ? 36?2 ? 64?2 ? 10 ? ? 1 ,得 ? ? ?
1 10

(2 分) (4 分) (6 分)

3 4 3 4 ∴ e ? ( ,? )或(? , ) 。 (注:少一解扣 2 分) 5 5 5 5 22、(10 分)解:设 BP=x,则 PC=2a-x,设 ?APB ? ? , ?DPC ? ? a a 则 ?APD ? ? ? (? ? ? ) , tan ? ? , tan ? ? x 2a ? x a(2a ? x) ? ax 2a 2 tan?APD ? ? tan( ? ? ?) ? ? ? x(2a ? x) ? a 2 ( x ? a) 2 2 ∵AB+BP=PD,∴a+x= (2a ? x) 2 ? a 2 化简得 x ? a 3 ∴ tan ?APD ? 18

(2 分) (6 分) (8 分) (10 分)

23、(10 分)解:⑴当 ? ? 30? 时,原式= tan 30? ? tan 30? ? tan 90? 不存在, 当 ? ? 15? 时原式= tan 15? tan 45? tan 75? ? 1 当 ? ? 45? 时原式= tan 45? tan 15? tan 105 ? ? ?1 当 ? ? 60? 时原式= tan 60? tan 0? tan 120 ? ? 0
60? ? ? ) tan( 60? ? ? ) ? tan3? ⑵猜想: tan? tan(

(3 分) (5 分)

证明:左边= tan? ?

3 ? tan?

1 ? 3 tan? 1 ? 3 tan?

?

3 ? tan?

?

3 tan? ? tan3 ? 1 ? 3 tan2 ?

右边=

tan2? ? tan? 2 tan? ? tan? (1 ? tan2 ? ) ? ? 左边 1 ? tan2? ? tan? (1 ? tan2 ? ) ? 2 tan2 ?
(10 分)

∴猜想成立。

24、(14 分)解:⑴ a ? b ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x 2 2 2 2 3x x 3x x ? cos , sin ? sin ) ∵ a ? b ? (cos 2 2 2 2

(2 分)

∴ a ? b ? (cos

3x x 3x x ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x 2 2 2 2

= 2 cos x ? 2 cos x (∵ 0 ? x ?

?
2



(6 分)

⑵f(x)= cos2 x ? 4? cos x ? 2 cos2 x ? 4? cos x ? 1 = 2(cosx ? ? ) 2 ? 2?2 ? 1 ? ∵ x ? [0, ] ,∴ cos x ? [0 ,1] 2 (8 分)

①当 ? ? [0,1]时,取 cos x ? ? , 3 1 得 f ( x) min ? ?2?2 ? 1 ? ? ,∴ ? ? 2 2 ②当 ? <0 时,取 cos x ? 0,得 f ( x) min ? ?1 (不合)

(10 分)

5 3 ③当 ? >1 时,取 cos x ? 1,得 f ( x) min ? 2 ? 4? ? 1 ? ? , ? ? (不合) 8 2 1 ∴综上所述,实数 ? 的值为 (14 分) 2

(注:没分类讨论扣 4 分。 )


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