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(数学)执信等四校2009-2010学年高一下学期期末联考试题


执信等四校 2009—2010 学年高一下学期期末联考 数学试题
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分为 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 个小题. 每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求 1. 已知全集 U = {1, 2,3, 4,5} ,集合 A = {3,4}, B = {2,3,5} ,那么集合 A ? ? CU B ? 等于 (★) A. {1, 2,3, 4,5} C. {1,3, 4} 2.下列函数中,最小正周期为 ? 的是(★) A. y ? tan x B. y ? si n x C. y ? tan (★)
2

B. {3, 4} D. {2,3,4,5}

x 2

D. y ? si n

x 2

3.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 A.

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a b

C. a ? b

D. a ? 2b
2

4.函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? 5 ? 4

5 ? ) 的图象的一条对称轴方程是(★) 2
B. x ?

?
8

C. x ? ?

?
4

D. x ? ? ? 2

5.圆锥的底面半径是 3,高是 4,则它的侧面积是(★) A. 30? B. 15? C. 12? D.

15? 2

6.已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , ? 3) ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k =(★) A.1 B.-1 C.0 D.2

7.数列 ?an ? 满足 an ? 5( ) 小项,则 p ? q =(★ ) A.3

2 5

2n?2

2 ? 4( ) n ?1 , (n ? N ? ) , a p 和 aq 分别为数列中的最大项和最 若 5
C.5 D.6

B.4

8. f ? x ? ? 3ax ? 12 ? 3a 在 ??1,1? 上存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? 0 ? x0 ? ?1? ,则 a 的取值范围是 A

? ??,2?

B

? 2,???

C

? ??, ?2?

D

? ?2, ???

1

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分.务必在答题卡上的相应题目的 答题区域内作答. 9.若 x ?

?
6

是方程 2cos( x ? ? ) ? 3 的解,其中 ? ? (0, 2? ) ,则 ? =



.

?3x , x ? 1, 10. 已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ★ . ?? x, x ? 1,
11.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰 和上底均为 1 等腰梯形(如图) ,则平面图形的实际面积为 ★ . 12.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则?AB ?? 13.已知等差数列: ?6, ?5 , ? .的前 n 项和为 Sn ,使 Sn 最小的 n =
?

★ ★

. .

2 3

14. 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调递减,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ★ .

1 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 15(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2cos x sin x ? sin 4 x . (1)求 f ( x) 的递减区间; (2)当 x ?[0, ] 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的集合.

?

2

16(本小题满分 12 分)过点 P (1, ?1) 有一条直线 l,它夹在两条直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 与

l2 : x ? y ? 3 ? 0 之间的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程.

17(本小题满分 14 分)如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个垂直于地面的平面内, 已知飞机的高度为海拔 10 千米,速度为 180 千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为 30? , 经过 2 分钟后又看到山顶的俯角为 75? ,求山顶的海拔高度.

18(本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长 都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD;
2

(Ⅱ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. 19(本小题满分 14 分)函数 f ?x? ? ?a ? 1?x 2 ? bx ? b ? 1 ,其中 a ? 1 ,若存在实数 x0 , 使得 f ?x0 ? ? x0 成立,则称 x0 为 f ?x ? 的不动点. (1)当 a ? ?1 , b ? 3 时,求 f ?x ? 的不动点; (2)若对于任何实数 b ,函数 f ?x ? 恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若函数 f ?x ? 的图像上 A、B 两点的横坐标是函数 f ?x ? 的不动点, 且直线 y ? kx ?

?1 ? a ?2 ? 1

1

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

20(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 1 , 设 bn ? an?1 ? 2an . (Ⅰ)证明数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 cn ?
?

1 (n ? N ? ) ,设 Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? ?? cncn?1 , 若 log 2 bn ? 3

对一切 n ? N 不等式 4mTn ? (n ? 2)cn 恒成立,求实数 m 的取值范围.

参考答案
一、选择题 C、A、C、D,B、B、A、B. 二、填空题: 9、 12、

5? 3 2 95 5

10、 13、 18, 19

log3 2

11、 14、

2? 2
2 1 ( ??, ? ) ? ( ? , ??) 3 3

三、解答题: 15、 (本小题满分 12 分)
2 2 解: (1) f ( x) ? cos x ? sin x ? sin 2x ? sin 2 x ? cos 2 x ?

2 sin(2 x ? ) ……(4 分) 4

?

3



?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

3? ? 2 k? 得 2

5? ?? ? f ( x) 的递减去间为 ? ? k? , ? k? ? , k ? Z …………………………(8 分) 8 ?8 ?
(2)由 x ? [0, 当x?

?
2

]得

?
4

? 2x ?

?
4

?

5? , 4

?
2

时 f ( x)min ? ?1, x 的集合: ? ? ………………………………………(12 分)

?? ? ?2?

16、 (本小题满分 12 分) 解:设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,设直线 l 分别与 l1 , l2 交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) k ?1 得 x1 ? , k ?2 ? y ? 2x ? 2

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) k ?2 得 x2 ? ……(5 分) k ?1 ? y ? ?x ? 3

7 k ?1 k ? 2 ? ? 2 ,解得 k ? …………………………(10 分) 2 k ? 2 k ?1 7 9 直线 l 的方程为 y ? x ? ………………………………………(12 分) 2 2
依题意: x1 ? x2 ? 2 得 17、 (本小题满分 14 分) 解:在 ?ABP 中, ?BAP ? 30? , ?APB ? 75? ? 30? ? 45? ,

2 ? 6 . ……(4 分) 60 AB BP 6 BP 根据正弦定理, , , BP ? 3 2 . ………(8 分) ? ? sin ?APB sin ?BAP sin 45? sin30? 3?3 3 BP ? sin 75? ? 3 2 ? sin(45? ? 30?) ? . ……………………………………………(12 2 AB ? 180 ?
分) 所以,山顶 P 的海拔高度为 h ? 10 ?

3 ? 3 3 17 ? 3 3 ? (千米). …………………(14 2 2

分) 18、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .? AO ⊥ BD ……………………………………(3 分)
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为 BC,CC1 的中点,

? B1O ⊥ BD ,
? BD ⊥ 平面 AB1O ,? BD ⊥ AB1
4

在正方形 ABB1 A 中, AB1 ⊥ A1B , 1 而 AB1 ? BD ? D ? AB1 ⊥平面 A BD .……………………………(7 分) 1 (Ⅱ) △A1BD 中, BD ? A1 D ?

5,A1 B ? 2 2, S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 . ?

在正三棱柱中, A 到平面 BCC1B1 的距离为 3 . 1

设点 C 到平面 A BD 的距离为 d . 1 由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得

1 1 S ?BCD ? 3 ? S ?A1BD ? d , 3 3

?d ?

3S△ BCD 2 2 ? .? 点 C 到平面 A BD 的距离为 .…………………(14 分) 1 S△ A1BD 2 2

19、 (本小题满分 14 分)
2 解: (1)当 a ? ?1 , b ? 3 时, f ?x ? ? ?2 x 2 ? 3x ? 4 ,设 x 为不动点,则 x ? x ? 2 ? 0 ,

所以 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,即 f ?x ? 的不动点是 ? 1 ,2。…………………………………(4 分) (2)由 f ?x ? ? x 得, ?a ? 1?x ? ?b ? 1?x ? b ? 1 ? 0 ,
2

由已知此方程有相异的实根,则 ? x ? 0 恒成立,即

?b ? 1?2 ? 4?a ? 1??b ? 1? ? 0 ,化简得 b 2 ? ?2 ? 4a?b ? 5 ? 4a ? 0 …………………(6 分)
对任意的实数 b 恒成立,则 ? b ? 0 ,即 ?2 ? 4a? ? 4?5 ? 4a? ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 1 。…(8
2

分) (3)设 A?x1 , y1 ?、B?x2 , y2 ? ,则 k AB ? 1,所以 k ? ?1 。 记 AB 中 点 M ?x0 , x0 ? , 由 ( 2 ) 知 x0 ? ?

b ?1 , 因 为 点 M ?x0 , x0 ? 在 直 线 2?a ? 1?

y ? kx ?

?1 ? a ?

1

2

?1

上,所以 ?

b ?1 b ?1 1 ? = ,化简得 2?a ? 1? 2?a ? 1? ?1 ? a ?2 ? 1

b?

1

?1 ? a ? ?

1 1? a

?1 ?

3 (当 a ? 0 时,等号成立)………………………………(12 2

5

分) 又 b ? 1 ,所以 1 ? b ?

3 。…………………………………………………………(14 分) 2

20、 (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)由于 Sn?1 ? 4an ? 1 , 当 n ? 2 时, Sn ? 4an?1 ? 1 . ① ? ②得 所以 ① ②

an?1 ? 4an ? 4an?1 .

an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) .…………………………………………………(3 分)

又 bn ? an?1 ? 2an , 所以 bn ? 2bn?1 . 因为 a1 ? 1 ,且 a1 ? a2 ? 4a1 ? 1 , 所以 a2 ? 3a1 ? 1 ? 4 . 所以 b1 ? a2 ? 2a1 ? 2 . 故数列 ?bn ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.…………………………………(7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 2n ,则 cn ?

1 1 ? (n ? N ? ) . log 2 bn ? 3 n ? 1

Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? ?? cncn?1
? 1 1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 6? 7 (n ? 3) ? (n ? 4) 1 1 ? 4 (n ? 4) n .……………………………………………………………………(10 分) n(n ? 4)
mn n?2 ? . n?4 n?3

?

?

由 4mTn ? (n ? 2)cn ,得

6

即m ?

(n ? 4)(n ? 2) . n(n ? 3) n 2 ? 6n ? 8 . n 2 ? 3n

所以 m ?

3n ? 8 3 8 ? 1? ? 2 .……………………………………(12 分) 2 n ? 3n n ? 3 n ? 3n 3 8 ? 2 设 f ( x) ? 1 ? , x ? 1. x ? 3 x ? 3x 15 可知 f ( x ) 在 [1, ??) 为减函数,又 f (1) ? , 4
所以 m ? 1 ? 则当 n ? N 时,有 f (n) ? f (1) . 所以 m ? 故当 m ?
?

15 . 4

15 时, 4mTn ? (n ? 2)cn 恒成立.…………………………………(14 分) 4

7


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