当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年上海市宝山区高三(上)期末数学模拟试卷


2014-2015 学年上海市宝山区高三(上)期末数学 模拟试卷 试题解析
一.(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,要求直接填写结果,每题填对 3 分,否则一律得 0 分. 1. (3 分)函数 y=3tanx 的周期是 π . 考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Atan(ωx+φ)的周期等于 T= 解

答: 解:函数 y=3tanx 的周期为 ,可得结论.

=π,故答案为:π. ,属于基础题.

点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Atan(ωx+φ)的周期等于 T= 2. (3 分)计算 = 2 .

考点: 二阶矩阵. 专题: 计算题;矩阵和变换. 分析: 利用行列式的运算得, 解答: 解: =2×3﹣1×4=2.

=2×3﹣1×4=2,故答案为:2.

点评: 本题考查了矩阵的运算,属于基础题. 3. (3 分) (2014?嘉定区三模) = .

考点: 极限及其运算. 专题: 导数的概念及应用;等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的求和公式可得 1+2+3+…+n= 解答: 解: ,然后即可求出其极限值.

= = ( + )= ,故答案为:

点评: 本题主要考察极限及其运算.解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧! 10 8 4. (3 分)二项式(x+1) 展开式中,x 的系数为 45 . 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 10 8 分析: 根据二项式(x+1) 展开式的通项公式,求出 x 的系数是什么. 10 解答: 解:∵ 二项式(x+1) 展开式中,

通项为 Tr+1= 令 10﹣r=8, 解得 r=2, ∴ = =

?x

10﹣r

?1 =

r

?x

10﹣r



=45; 即 x 的系数是 45.故答案为:45.

8

点评: 本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应根据二项式展开式的通项公式进行计算,是基础题. 5. (3 分)设矩阵 A= ,B= ,若 BA= ,则 x= 2 .

考点: 矩阵与向量乘法的意义. 专题: 计算题;矩阵和变换. 分析: 由题意,根据矩阵运算求解. 解答: 解:∵ A= ,B= ,BA= ,

∴ 4×2﹣2x=4; 解得,x=2; 故答案为:2. 点评: 本题考查了矩阵的运算,属于基础题. 6. (3 分)现有 6 位同学排成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有 240 种. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 利用捆绑法,把甲乙二人捆绑在一起,看作一个复合元素,再和其他 4 人进行全排,问题得以解决 解答: 解:先把甲乙二人捆绑在一起,看作一个复合元素,再和其他 4 人进行全排,故有 故答案为:240 点评: 本题主要考查了排列问题的中的相邻问题,利用捆绑法是关键,属于基础题 7. (3 分)若 cos(π+α)=﹣ , π<α<2π,则 sinα= ﹣ 考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式可知 cosα= ,又 π<α<2π,利用同角三角函数间的关系式(平方关系)即可求得 sinα 的值. 解答: 解:∵ cos(π+α)=﹣cosα=﹣ , ∴ cosα= , 又 π<α<2π, ∴ sinα=﹣ 故答案为:﹣ . =﹣ . . =240 种,

点评: 本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用,属于中档题. 8. (3 分) (2008?天津)若一个球的体积为 ,则它的表面积为 12π .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 有球的体积,就可以利用公式得到半径,再求解其面积即可. 解答: 解:由 得 ,所以 S=4πR =12π.
2

点评: 本题考查学生对公式的利用,是基础题. 9. (3 分)函数 y=sin(2x+φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ 的值是 考点: 专题: 分析: 解答: .

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 计算题. 根据函数 y=sin(2x+φ)的图象特征,若它是偶函数,只需要 x=0 时,函数能取得最值. 解:函数 y=sin(2x+?)是 R 上的偶函数,就是 x=0 时函数取得最值, 所以 f(0)=±1 即 sin? =±1 所以 ?=kπ+ (k∈Z) , ,符合 0≤φ≤π

当且仅当取 k=0 时,得 φ= 故答案为:

点评: 本题考查了正弦型函数的奇偶性,正弦函数的最值,是基础题. 10. (3 分)正四棱锥 P﹣ABCD 的所有棱长均相等,E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等 于 .

考点: 专题: 分析: 解答:

异面直线及其所成的角. 空间角. 根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论. 解:连结 AC,BD 相交于 O, 则 O 为 AC 的中点, ∵ E 是 PC 的中点, ∴ OE 是△ PAC 的中位线, 则 OE∥ ,

则 OE 与 BE 所成的角即可异面直线 BE 与 PA 所成的角, 设四棱锥的棱长为 1, 则 OE= = ,OB= ,BE= ,

则 cos

=

=



故答案为:

点评: 本题考查异面直线所成的角,作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键,属中档题 2 2 11. (3 分) (2004?福建)直线 x+2y=0 被曲线 x +y ﹣6x﹣2y﹣15=0 所截得的弦长等于 4 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;数形结合. 分析: 根据圆的方程找出圆心坐标和半径,过点 A 作 AC⊥ 弦 BD,可得 C 为 BD 的中点,根据勾股定理求出 BC, 即可求出弦长 BD 的长.

解答: 解:过点 A 作 AC⊥ 弦 BD,垂足为 C,连接 AB,可得 C 为 BD 的中点. 2 2 2 2 由 x +y ﹣6x﹣2y﹣15=0,得(x﹣3) +(y﹣1) =25. 知圆心 A 为(3,1) ,r=5. 由点 A(3,1)到直线 x+2y=0 的距离 AC= 在直角三角形 ABC 中,AB=5,AC= 根据勾股定理可得 BC= = , =2 , = .

则弦长 BD=2BC=4 . 故答案为:4 点评: 本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力,灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值, 会利用数形结合的数学思想解决数学问题,是一道综合题.

12. (3 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+?) , (A>0,ω>0,0≤?≤π)的部分图象如图所示,则 y=f(x)的解析式是 f(x)= 2sin(2x+ ) .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先,根据所给函数的部分图象,得到振幅 A=2,然后,根据周期得到 ω 的值,再将图象上的一个点代人, 从而确定其解析式. 解答: 解:根据图象,得 A=2, 又∵ T= ∴ T=π, ∴ ω=2, 将点(﹣ ,0)代人,得 = ,

2sin(2x+? )=0, ∵ 0≤?≤π, ∴ ? = , ) , )

∴ f(x)=2sin(2x+ 故答案为:2sin(2x+

点评: 本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识,属于中档题.解题关键是熟悉所给函 数的部分图象进行分析和求解. 二.选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生 必须把正确结论的代码写在题后的括号内,选对得 3 分,否则一律得 0 分. 13. (3 分)已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第几象限( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 由题意,推导出 ,确定 α 的象限,然后取得结果.

解答: 解:∵ P(tanα,cosα)在第三象限,





由 tanα<0,得 α 在第二、四象限, 由 cosα<0,得 α 在第二、三象限 ∴ α 在第二象限. 故选 B 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力,是基础题. a 14. (3 分)已知函数 y=x +b,x∈(0,+∞)是增函数,则( ) A. a>0,b 是任意实数 B. a<0,b 是任意实数 C. b>0,a 是任意实数 D. b<0,a 是任意实数 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由幂函数的性质可知,a>0,b 是任意实数. 解答: 解:∵ 函数 y=x +b,x∈(0,+∞)是增函数, ∴ a>0,b 是任意实数, 故选 A. 点评: 本题考查了幂函数的单调性的判断,属于基础题. 15. (3 分)在△ ABC 中,若 b=2asinB,则这个三角形中角 A 的值是( A. 30°或 60° B. 45°或 60° C. 30°或 120° D. 30°或 150° 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中,利用正弦定理解得 sinA= ,从而求得 A 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,若 b=2asinB,则由正弦定理可得 sinB=2sinAsinB, 解得 sinA= , ∴ A=30°或 150°. 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题. 16. (3 分)若 loga3<logb3<0,则( ) A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1 考点: 对数函数的单调区间. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 化 loga3<logb3<0 为 log3b<log3a<0,利用函数的单调性求解. 解答: 解:∵ loga3<logb3<0, ∴ < <0,
a



即 log3b<log3a<0, 故 0<b<a<1, 故选 B. 点评: 本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用,属于基础题. 17. (3 分)双曲线 A. 2 ﹣ =1 的焦点到渐近线的距离为( D. 1 )

B. 2 C.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程,进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离. 解答: 解:双曲线 ﹣ =1 的焦点为(4,0)或(﹣4,0) .

渐近线方程为 y= x 或 y=﹣ x. 由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等, d= =2 .

故选 A. 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质和点到直线的距离公式.考查了考生对双曲线标准 方程的理解和灵活应用,属基础题. 18. (3 分)用数学归纳法证明等式 1+3+5+…+(2n﹣1)=n (n∈N )的过程中,第二步假设 n=k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到( ) 2 2 A. 1+3+5+…+(2k+1)=k B. 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 2 C. 1+3+5+…+(2k+1)=(k+2) D. 1+3+5+…+(2k+1)=(k+3) 考点: 数学归纳法. 专题: 阅读型. 分析: 首先由题目假设 n=k 时等式成立,代入得到等式 1+3+5+…+(2k﹣1)=k .当 n=k+1 时等式左边=1+3+5++ (2k﹣1)+(2k+1)由已知化简即可得到结果. 解答: 解:因为假设 n=k 时等式成立,即 1+3+5+…+(2k﹣1)=k 2 2 当 n=k+1 时,等式左边=1+3+5+…+(2k﹣1)+(2k+1)=k +(2k+1)=(k+1) . 故选 B. 点评: 此题主要考查数学归纳法的概念问题,涵盖知识点少,属于基础性题目.需要同学们对概念理解记忆. 19. (3 分)设 z=1+i(i 是虚数单位) ,则复数 +z 在复平面上对应的点位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标,则答案可求. 解答: 解:∵ z=1+i, 则复数 +z =
2 2 2 2 2 2 *





∴ 复数 +z 在复平面上对应的点的坐标为(1,1) ,位于第一象限. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的等式表示法及其几何意义,是基础题. 2 2 20. (3 分) (2004?陕西)圆 x +y ﹣4x=0 在点 P(1, )处的切线方程为( ) A. x+ y﹣2=0 B. x+ y﹣4=0 C. x﹣ y+4=0 D. x﹣ y+2=0 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点为圆的切线方程. (1)我们可设出直线的点斜式方程,联立直线和圆的方程,根据一元 二次方程根与图象交点间的关系,得到对应的方程有且只有一个实根,即△ =0,求出 k 值后,进而求出直

线方程. (2)由于点在圆上,我们也可以切线的性质定理,即此时切线与过切点的半径垂直,进行求出切 线的方程. 解答: 解:法一: 2 2 x +y ﹣4x=0 2 2 y=kx﹣k+ ?x ﹣4x+(kx﹣k+ ) =0. 该二次方程应有两相等实根,即△ =0,解得 k= ∴ y﹣ 即 x﹣ 法二: = (x﹣1) , y+2=0.
2 2



∵ 点(1, )在圆 x +y ﹣4x=0 上, ∴ 点 P 为切点,从而圆心与 P 的连线应与切线垂直. 又∵ 圆心为(2,0) ,∴ 解得 k= , ?k=﹣1.

∴ 切线方程为 x﹣ y+2=0. 故选 D 点评: 求过一定点的圆的切线方程,首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为切点,若点 P(x0,y0) 2 2 2 2 在圆(x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0)上,则 过点 P 的切线方程为(x﹣a) (x0﹣a)+(y﹣b) (y0﹣b)=r (r>0) ;若在圆外,切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率 只有一个,应找出过这一点与 x 轴垂直的另一条切线. 21. (3 分)“tanx=﹣1”是“x=﹣ +2kπ(k∈Z)”的( ) C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 简易逻辑. 分析: 得出 tan(=﹣ ﹣ +2kπ)=﹣1,“x=﹣

+2kπ”是“tanx=﹣1”成立的充分条件;举反例 tan

=﹣1,推出“x=

+2kπ(k∈Z)”是“tanx=﹣1”成立的不必要条件. +2kπ)=tan (﹣ )=﹣1,所以充分;但反之不成立,如 tan =﹣1.

解答: 解:tan(﹣

故选:B 点评: 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断.充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概 念之一,要理解好其中的概念. 22. (3 分) (2013?福建)在四边形 ABCD 中, A. B. C. 5 D. 10 =(1,2) , =(﹣4,2) ,则该四边形的面积为( )

考点: 向量在几何中的应用;三角形的面积公式;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 通过向量的数量积判断四边形的形状,然后求解四边形的面积即可. 解答: 解:因为在四边形 ABCD 中, , , =0,

所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直,又 , 该四边形的面积: = =5.



故选 C. 点评: 本题考查向量在几何中的应用,向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键,考查分析问题解决问题的 能力. 23. (3 分) (2006?天津)函数 A. C. B. D. 的反函数是( )

考点: 反函数. 分析: 本题需要解决两个问题:一是如何解出 x, 二是如何获取反函数的定义域,求解 x 时,要注意 x<0 的条件,因为涉及 2 个解. 解答: 解:由 解得 又∵ 原函数的值域是:y>2 ∴ 原函数的反函数是 , ,

故选 D. 点评: 该题的求解有 2 个难点,一是解出 x 有两个,要根据 x<0 确定负值的一个, 二是反函数的定义域要用原函数的值域确定,不是根据反函数的解析式去求. 2 24. (3 分)曲线 y =|x|+1 的部分图象是( )

A. 考点: 专题: 分析: 解答:

B.

C.

D.

曲线与方程. 函数的性质及应用. 分类讨论,去掉绝对值,化简函数的解析式,可得它的图象特征,结合所给的选项,得出结论. 2 解:当 x≥0 时,y =x+1 表示以(﹣1,0)为顶点的开口向右的抛物线. 2 当 x<0 时,y =﹣(x﹣1)表示以(1,0)为顶点的开口向左的抛物线, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的图象特征,属于基础题. 三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

25. (8 分)解不等式组: 考点: 专题: 分析: 解答:



其他不等式的解法. 不等式的解法及应用. 根据不等式的解法即可得到结论. 解:由|x﹣1|<3 解得﹣2<x<4, 由 >1 得 ﹣1= >0,

解得 3<x<5, 所以,不等式解集为(3,4) . 点评: 本题主要考查不等式组的求解,比较基础. 26. (8 分) 如图, 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长 AB=2, 若异面直线 A1A 与 B1C 所成角的大小为 arctan , 求正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知得 AA1∥ BB1,从而 tan∠ CB1B= = ,进而 BB1=4,由此能求出正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的体

积. 解答: 解:∵ 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长 AB=2, 异面直线 A1A 与 B1C 所成角的大小为 arctan , ∴ AA1∥ BB1, ∴ ∠ CB1B 为 AA1、B1C 所成的角, 且 tan∠ CB1B= = ,…(4 分)

∵ BC=AB=2, ∴ BB1=4,…(6 分) 2 ∴ 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积 V=Sh=2 ×4=16.…(8 分)

点评: 本题考查正四棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 2 27. (10 分)已知点 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的动点,直线 PF 交抛物线 C 于 A,B 两点,若 点 P 的纵坐标为 m(m≠0) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (Ⅰ )求直线 PF 的方程; (Ⅱ )求△ DAB 的面积 S 范围; (Ⅲ )设 , ,求证 λ+μ 为定值.

考点: 直线的一般式方程;抛物线的应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )由题知点 P,F 的坐标分别为(﹣1,m) , (1,0) ,求出斜率用点斜式写出直线方程. (Ⅱ )设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,用弦长公式求出线段 AB 的长,再由点到直线的距 离公式求点 D 到直线 AB 的距离,用三角形面积公式表示出面积关于参数 m 的表达式,再根据 m 的取值 范围求出面积的范围. (Ⅲ ) , ,变化为坐标表示式,从中求出参数 λ,μ 用两点 A,B 的坐标表示的表达式,

即可证明出两者之和为定值. 解答: 解: (Ⅰ )由题知点 P,F 的坐标分别为(﹣1,m) , (1,0) , 于是直线 PF 的斜率为 所以直线 PF 的方程为 , ,即为 mx+2y﹣m=0. (3 分)

(Ⅱ )设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 由 得 m x ﹣(2m +16)x+m =0,
2 2 2 2

所以

,x1x2=1.

于是



点 D 到直线 mx+2y﹣m=0 的距离



所以 因为 m∈R 且 m≠0,于是 S>4, 所以△ DAB 的面积 S 范围是(4,+∞) . (9 分) (Ⅲ )由(Ⅱ )及 =μ(x2+1,y2﹣m) , 于是 , (x2≠±1) . ,



,得(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2) , (﹣1﹣x1,m﹣y1)

所以



所以 λ+μ 为定值 0. (14 分) 点评: 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义,涉及知识 较多,综合性较强. 28. (10 分)已知函数 f(x)= (1)写出函数 y=f(x)的奇偶性; (2)当 x>0 时,是否存实数 a,使 v=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,若存在,求 α 的取值范围;若 不存在,说明理由. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=0 时,f(x)= 是奇函数; 当 a≠0 时,函数 f(x)= (x∈R) ,是非奇非偶函数. (x∈R) .

(2)若 y=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,则 最值. 解答: 解: (1)因为 y=f(x)的定义域为 R,所以: 当 a=0 时,f(x)= 当 a≠0 时,函数 f(x)= (2)当 x>0 时, 若 y=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,则 化简得 a< +x 恒成立, 是奇函数; (x∈R) .是非奇非偶函数.

< ,化简得 a< +x 恒成立,在求函数的

< ,

因为 x>0,∴ 即 ,

所以,当 a<4 时,y=f(x)的图象都在函数 g(x)= 图象的下方. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,同时考查函数恒成立的问题,主要进行函数式子的恒等转化. 29. (12 分)已知抛物线 x =4y,过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1,又过点 P1 作斜率为 的 直线交抛物线于点 P2,再过 P2 作斜率为 的直线交抛物线于点 P3,﹣2<x<4,如此继续.一般地,过点 3<x<5 作斜率为 的直线交抛物线于点 Pn+1,设点 Pn(xn,yn) .
2

(1)求 x3﹣x1 的值; (2)令 bn=x2n+1﹣x2n﹣1,求证:数列{bn}是等比数列; (3)记 P 奇(x 奇,y 奇)为点列 P1,P3,…,P2n﹣1,…的极限点,求点 P 奇的坐标.

考点: 数列与解析几何的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出直线方程,联立抛物线方程,求出交点,即可得到; (2)设出两点点 Pn(xn, 的定义,即可得证; (3)运用累加法,求得 x2n+1= + 解答: (1)解:直线 OP1 的方程为 y=x, 由 解得 P1(4,4) , ,再由数列极限的概念,即可得到点 P 奇的坐标. ) .Pn+1(xn+1, ) ,由直线的斜率公式,再由条件,运用等比数列

直线 P2P1 的方程为 y﹣4= (x﹣4) ,即 y= x+2,



得 P2(﹣2,1) ,

直线 P2P3 的方程为 y﹣1= (x+2) ,即 y= x+ ,



解得,P3(3, ) ,

所以 x3﹣x1=3﹣4=﹣1. (2)证明:因为设点 Pn(xn, 由抛物线的方程和斜率公式得到, , 所以 xn+xn﹣1= ,两式相减得 xn+1﹣xn﹣1=﹣ , , ) .Pn+1(xn+1, ) ,

用 2n 代换 n 得 bn=x2n+1﹣x2n﹣1=﹣ 由(1)知,当 n=1 时,上式成立,

所以{bn}是等比数列,通项公式为 bn=﹣ (3)解:由 , 以上各式相加得 x2n+1= + 所以 x 奇= ,
2

; , ,…,

得,

,y 奇= x 奇 = ) .



即点 P 奇的坐标为( ,

点评: 本题考查联立直线方程和抛物线方程求交点,考查等比数列的定义和通项公式的求法,考查累加法求数列 通项,及数列极限的运算,属于中档题. 四、附加题(本大题满分 30 分)本大题共有 3 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 30. (8 分)有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为 1:2,问怎样利用木料, 才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计) .

专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出窗框的高为 3x,宽为 .推出窗框的面积,利用二次函数的最值,求解即可.

解答: 解:如图设 x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=6﹣7x, ∴ 窗框的高为 3x,宽为 即窗框的面积 y=3x?
2

.…(2 分) =﹣7x +6x. ( 0<x< ) …(5 分)
2

配方:y=﹣7(x﹣ ) + ( 0<x<2 ) …(7 分) ∴ 当 x= 米时,即上框架高为 米、下框架为 米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最大.…(8 分)

点评: 本题考查二次函数的解析式的应用,考查分析问题解决问题的能力. 31. (10 分) (2008?辽宁)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 4,设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 ⊥ ?此时 , 的距离之和等于

的值是多少?.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (Ⅰ )设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是椭圆.从而写出其方程即可;

(Ⅱ )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足

,将直线的方程代入椭圆的方程,消去 y 得到

关于 x 的一元二次方程,再结合根与系数的关系及向量垂直的条件,求出 k 值即可,最后通牒利用弦长 公式即可求得此时 解答: 解: (Ⅰ )设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 , 为焦点, 的值,从而解决问题.

故曲线 C 的方程为

. (4 分)

(Ⅱ )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足
2 2

消去 y 并整理得(k +4)x +2kx﹣3=0, 故
2

. (6 分) ,即 x1x2+y1y2=0.而 y1y2=k x1x2+k(x1+x2)+1,

于是



所以

时,x1x2+y1y2=0,故

. (8 分)



时, .
2 2

, ,

而(x2﹣x1) =(x2+x1) ﹣4x1x2=



所以

. (12 分)

点评: 本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析 几何知识解决问题的能力. 设数列{an}的首项 a1 为常数,且 an+1=3 ﹣2an(n∈N ) . (1)证明:{an﹣ }是等比数列;
n +

(2)若 a1= ,{an}中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由. (3)若{an}是递增数列,求 a1 的取值范围. 考点: 等比关系的确定;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据等比数列的定义,结合条件,即可得证; (2)由(1)求出数列{an}的通项公式,再由等差数列的性质,得到方程,求出 n,即可判断; (3)运用数列{an}的通项公式,作差,再由 n 为偶数和奇数,通过数列的单调性,即可得到范围.

解答: (1)证明:因为

=

=﹣2,

所以数列{an﹣ (2)解:{an﹣ 通项公式为 an=

}是等比数列; }是公比为﹣2,首项为 a1﹣ = +(a1﹣ ) (﹣2)
n﹣1

的等比数列.

=

+

若{an}中存在连续三项成等差数列,则必有 2an+1=an+an+2, 即 解得 n=4,即 a4,a5,a6 成等差数列. (3)解:如果 an+1>an 成立, 即 化简得 当 n 为偶数时 因为 , 是递减数列, > +(a1﹣ ) (﹣2) ,
n﹣1

对任意自然数均成立.

所以 p(n)max=p(2)=0,即 a1>0; 当 n 为奇数时, 因为 , 是递增数列,

所以 q(n)min=q(1)=1,即 a1<1; 故 a1 的取值范围为(0,1) . 点评: 本题考查数列的通项公式及等比数列的证明,考查等差数列的性质和已知数列的单调性,求参数的范围, 考查运算能力,属于中档题和易错题.


相关文章:
2014-2015学年上海市宝山区高三(上)期末数学模拟试卷[1]
2014-2015学年上海市宝山区高三(上)期末数学模拟试卷[1]_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014-2015学年上海市宝山区高三(上)期末...
上海市宝山区2015-2016学年度第一学期期末教学质量监测高三数学试卷
上海市宝山区2015-2016学年度第一学期期末教学质量监测高三数学试卷_数学_高中...? R ,则P点一定在??((A) ?ABC 内部 (C)AB边所在直线上 )(B)AC边...
上海市宝山区2015届高三上学期期末模拟数学试题含解析
2014-2015 学年上海市宝山区高三(上) 期末数学模拟试卷 试题解析一.(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,要求直接填写结果,每题填对 3 分,否则一律得 0...
上海市宝山区2014届高三数学上学期期末考试试题(上海宝山一模)沪教版
上海市宝山区2014高三数学上学期期末考试试题(上海宝山一模)沪教版_数学_高中教育_教育专区。宝山区 2013 学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试本试卷共有...
2015年上海市宝山区高三数学一模试卷(2014,12)
2015年上海市宝山区高三数学一模试卷(2014,12)_数学_高中教育_教育专区。2015年...FunshineMaths 峰行数学宝山2014 学年高三年级第一学期期末 数学学科质量监测...
2015学年上海市宝山区一模数学试卷解析答案
2015学年上海市宝山区一模数学试卷解析答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 学年上海市宝山区高三(上)期末数学一.(本大题满分 36 分)本大题共有 12 ...
2015年上海市宝山区高三数学一模试卷(2014_12)
2015年上海市宝山区高三数学一模试卷(2014_12)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。宝山区 2014 学年高三年级第一学期期末 数学学科质量监测试卷(2014.12) 一、填...
2015年宝山区高三第二次模拟数学试卷 2015.04
2015年宝山区高三第二次模拟数学试卷 2015.04_数学_高中教育_教育专区。宝山区 2014 学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量检测试卷 2015.04 (满分 150 分,...
上海市宝山区2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷
上海市宝山区2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。...? ? ? x? . 2 6. 利用数学归纳法证明 “1 ? a ? a ? 立时,等号...
更多相关标签:
高三数学期末试卷 | 高三旅游地理期末试卷 | 高三化学期末试卷 | 高三期末试卷 | 天津高三期末化学试卷 | 上海市宝山区 | 上海市宝山区邮编 | 上海市宝山区 丰水宝 |