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【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练一 第2讲 不等式与线性规划 理


第2讲
考情解读

不等式与线性规划

1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的

解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直 接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以 选择、填空题的形式呈现,属中档题.

1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax +bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根,最 后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形? ②变形?
2 2

f x >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g x f x ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g x

(3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,a
f(x)

>a

g(x)

?f(x)>g(x); ?f(x)<g(x).

②当 0<a<1 时,a

f(x)

>a

g(x)

(4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 2.五个重要不等式 (1)|a|≥0,a ≥0(a∈R). (2)a +b ≥2ab(a、b∈R). (3)
2 2 2

a+b
2

≥ ab(a>0,b>0).

(4)ab≤( (5)

a+b
2 2

) (a,b∈R). ≥ ≥ ab≥ 2ab (a>0,b>0). a+b

2

a2+b2 a+b
2

3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何
-1-

意义确定最优解;③求出目标函数的最大值或者最小值. 4.两个常用结论 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是?
2

?a>0, ? ? ?Δ <0. ? ?a<0, ?Δ <0. ?

(2)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是?

2

热点一 一元二次不等式的解法 例1
? 1? x (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x> ?,则 f(10 )>0 2? ?

的解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} (2)已知函数 f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则 f(2-x)>0 的解集 为( ) B.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<4}
x

A.{x|x>2 或 x<-2} C.{x|x<0 或 x>4}

思维启迪 (1)利用换元思想,设 10 =t,先解 f(t)>0.(2)利用 f(x)是偶函数求 b,再解 f(2 -x)>0. 答案 (1)D (2)C 1 x 1 解析 (1)由已知条件 0<10 < ,解得 x<lg =-lg 2. 2 2 (2)由题意可知 f(-x)=f(x). 即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0 恒成立, 故 2a-b=0,即 b=2a,则 f(x)=a(x-2)(x+2). 又函数在(0,+∞)单调递增,所以 a>0.

f(2-x)>0 即 ax(x-4)>0,解得 x<0 或 x>4.
故选 C. 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识,也是高考的热点,“三个二次”

的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法.

-2-

x-1 (1)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1
1 A.(- ,1] 2 1 B.[- ,1] 2 1 C.(-∞,- )∪[1,+∞) 2 1 D.(-∞,- ]∪[1,+∞) 2

)

(2)已知 p:? x0∈R,mx0+1≤0,q:? x∈R,x +mx+1>0.若 p∧q 为真命题,则实数 m 的取 值范围是( ) B.[-2,0) D.[0,2]

2

2

A.(-∞,-2) C.(-2,0) 答案 (1)A (2)C

1 解析 (1)原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0 或 x-1=0,即- <x<1 或 x=1, 2 1 所以不等式的解集为(- ,1],选 A. 2 (2)p∧q 为真命题,等价于 p,q 均为真命题.命题 p 为真时,m<0;命题 q 为真时,Δ =m - 4<0,解得-2<m<2.故 p∧q 为真时,-2<m<0. 热点二 基本不等式的应用 例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明: 在考虑行车安全的情况下, 某路段车流量 F(单位时间
2

内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/ 秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 76 000v . v2+18v+20l

①如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时; ②如果限定车型,l=5,则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时.

xy 2 1 2 2 2 (2)(2013·山东)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 取得最大值时, + - z x y z
的最大值为( )

9 A.0 B.1 C. D.3 4 思维启迪 (1)把所给 l 值代入,分子分母同除以 v,构造基本不等式的形式求最值;(2)关键 是寻找 取得最大值时的条件. 答案 (1)①1 900 ②100 (2)B

xy z

-3-

解析 (1)①当 l=6.05 时,F= = 76 000 ≤ 121 v+ +18 2

76 000v v +18v+121
2

v

76 000 76 000 = =1 900. 22+18 121 v· +18

v

当且仅当 v=11 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 1 900 辆/时. ②当 l=5 时,F= 76 000v 76 000 = ≤ v2+18v+100 100 v+ +18 2 v 76 000 76 000 = =2 000. 20+18 100 v· +18

v

当且仅当 v=10 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 2 000 辆/时.比①中的最大车流量增 加 100 辆/时. (2)由已知得 z=x -3xy+4y ,(*) 则 =
2 2

xy xy 1 = ≤1,当且仅当 x=2y 时取等号,把 x=2y 代入(*)式,得 z= z x2-3xy+4y2 x 4y + -3 y x
2

2y , 2 1 2 1 1 1 ?1 ?2 所以 + - = + - 2=-? -1? +1≤1,

x y z y y y

?y

?

2 1 2 所以当 y=1 时, + - 的最大值为 1.

x y z

思维升华

在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本

不等式中“正”(即条件要求中字母为正数 ) 、“定”(不等式的另一边必须为定值 ) 、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. (1)若点 A(m,n)在第一象限,且在直线 + =1 上,则 mn 的最大值为________. 3 4 (2)已知关于 x 的不等式 2x+ 3 A.1 B. 2 5 C.2 D. 2 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为( x-a )

x y

答案 (1)3 (2)B 解析 (1)因为点 A(m,n)在第一象限,且在直线 + =1 上,所以 m,n>0,且 + =1. 3 4 3 4 + 3 4 2 m n 1 3 m n 1 所以 · ≤( ) (当且仅当 = = ,即 m= ,n=2 时,取等号).所以 · ≤ ,即 mn≤3, 3 4 2 3 4 2 2 3 4 4

x y

m n

m n

m n

所以 mn 的最大值为 3. (2)2x+ 2 2 =2(x-a)+ +2a x-a x-a

-4-

≥2·

x-a

2

x-a

+2a=4+2a,

3 由题意可知 4+2a≥7,得 a≥ , 2 3 即实数 a 的最小值为 ,故选 B. 2 热点三 简单的线性规划问题 例3 (2013·湖北)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A、B 两种车辆

的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总 数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 B.36 000 元 D.38 400 元 )

思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题. 答案 C 解析 设租 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆时租金为 z 元,

则 z=1 600x+2 400y,

x+y≤21 ? ?y-x≤7 x、y 满足? 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x、y∈N

画出可行域如图 2 z 直线 y=- x+ 过点 A(5,12)时纵截距最小, 3 2 400 所以 zmin=5×1 600+2 400×12=36 800, 故租金最少为 36 800 元. 思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是确定目标 函数中的字母系数的取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所 表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题,要准确地设出变 量,确定可行域和目标函数.

x>0 ? ? 错误!未找到引用源。 (1)已知实数 x,y 满足约束条件?4x+3y≤4 ? ?y≥0
小值是( A.-2 C.-1 ) B.2 D.1

,则 w=

y+ 1 的最 x

-5-

x+y-2≥0, ? ? (2)设 z=kx+y, 其中实数 x, y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0,
答案 (1)D (2)2 解析 (1)画出可行域,如图所示.

若 z 的最大值为 12, 则 k=________.

错误!未找到引用源。

y+1 w= 表示可行域内的点(x,y)与定点 P(0,-1)连线的斜率,观察图形可知 PA 的斜率最小 x
为 -1-0 =1,故选 D. 0-1

(2)首先画出可行域如下图所示,可知当 x=y=4 时,z 取最大值 12,∴12=4k+4,∴k=2. 错误!未找到引用源。

1.几类不等式的解法 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根,也是相应的二次函数图象与 x 轴交 点的横坐标,即二次函数的零点;分式不等式可转化为整式不等式(组)来解;以函数为背景 的不等式可利用函数的单调性进行转化. 2.基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能, 常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问 题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切 入点,并创造基本不等式的应用背景,如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧,改变 原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、 三相等”的条件,三个条件缺一不可. 3.线性规划问题的基本步骤 (1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域,注意平面区域的边界与不等式中的不等号的 对应; (2)平移——画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l,平行移动直线,让其与平面区域有公共 点,根据目标函数的几何意义确定最优解,注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意 义; (3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标,代入目标函数,求出最值.

-6-

真题感悟 1.(2014·山东)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 x +1 y +1
2

x

y

)

B.ln(x +1)>ln(y +1) D.x >y
3 3

2

2

C.sin x>sin y 答案 D

1 x y 解析 因为 0<a<1,a <a ,所以 x>y.采用赋值法判断,A 中,当 x=1,y=0 时, <1,A 不成 2 立.B 中,当 x=0,y=-1 时,ln 1<ln 2,B 不成立.C 中,当 x=0,y=-π 时,sin x =sin y=0,C 不成立.D 中,因为函数 y=x 在 R 上是增函数,故选 D.
3

y≤x, ? ? 2. (2014·广东)若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1,
别为 m 和 n,则 m-n 等于( A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 解析 画出可行域,如图阴影部分所示. 由 z=2x+y,得 y=-2x+z. 由?
? ?y=x, ?y=-1, ?

且 z=2x+y 的最大值和最小值分

)

得?

? ?x=-1, ?y=-1, ?

∴A(-1,-1). 由?
?x+y=1, ? ?y=-1, ?

得?

?x=2, ? ?y=-1, ?

∴B(2,-1). 当直线 y=-2x+z 经过点 A 时, zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线 y=-2x+z 经过点 B 时,

zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6.
押题精练 1.为了迎接 2014 年 3 月 8 日的到来,某商场举行了促销活动,经测算某产品的销售量 P 万 件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P=3- 2 ,已知生产该产品还需投入成本 x+1

20 (10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+ )万元/万件.则促销费用投入

P

万元时,厂家的利润最大?( A.1 C.2

) B.1.5 D.3
-7-

答案 A 解析 2×( 2 设该产品的利润为 y 万元,由题意知,该产品售价为 2×( 10+2P )×P - 10 - 2P - x = 16 - 4 10+2P

P
4

)万元,所以 y= + x + 1)≤17 -

P
4 x+1

x+ 1

- x(x>0) , 所 以 y = 17 - (

x+1

x+

=13(当且仅当

4 =x+1,即 x=1 时取等号),所以促销费用投入 1 万 x+1

元时,厂家的利润最大,故选 A.

? 3x-y≤0, 2. 若点 P(x, y)满足线性约束条件?x- 3y+2≥0, ?y≥0,
的最大值为________. 答案 6

→ → 点 A(3, 3), O 为坐标原点, 则OA·OP

→ → → → 解析 由题意,知OA=(3, 3),设OP=(x,y),则OA·OP=3x+ 3y. 令 z=3x+ 3y, 如图画出不等式组所表示的可行域,

可知当直线 y=- 3x+

3 z 经过点 B 时,z 取得最大值. 3

由?

? 3x-y=0, ?x- 3y+2=0,

解得?

?x=1, ?y= 3,

即 B(1, 3),故 z 的最大值为 3×1+ 3× 3=6.

→ → 即OA·OP的最大值为 6.

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1.(2014·四川)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > C. > )

a b c d a b d c

B. < D. <

a b c d a b d c

-8-

答案 D 解析 令 a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则 =-1, =-1, 所以 A,B 错误;

a c

b d

a 3 b 2 =- , =- , d 2 c 3
所以 < , 所以 C 错误.故选 D. 2.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是( A.lg x>x >2
1
1 2
x

a b d c

)

B.2 >lg x>x 2
1

x

C.x 2 >2 >lg x D.2 >x >lg x 答案 D
1
x

x

1 2

解析 分别画出函数 y=2 ,y=x 2 ,y=lg x 的图象,如下图,由图象可知,在 x∈(0,1)时,
1

x

有 2 >x 2 >lg x, 故选 D. 错误!未找到引用源。 3.(2013·重庆)关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a 等于( A. C. 5 2 15 4 ) B. D. 7 2 15 2
2 2

x

答案 A 解析 由 x -2ax-8a <0,得(x+2a)(x-4a)<0,因 a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a), 5 即 x2=4a,x1=-2a,由 x2-x1=15,得 4a-(-2a)=15,解得 a= . 2 4.(2014·重庆)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 B.7+2 3 )
2 2

-9-

C.6+4 3 答案 D

D.7+4 3

解析

? ab>0, 由题意得?ab≥0, ?3a+4b>0,

所以?

? ?a>0, ?b>0. ?

又 log4(3a+4b)=log2 ab, 所以 log4(3a+4b)=log4ab, 4 3 所以 3a+4b=ab,故 + =1.

a b

4 3 3a 4b 所以 a+b=(a+b)( + )=7+ +

a b

b

a

≥7+2

3a 4b · =7+4 3,

b

a

3a 4b 当且仅当 = 时取等号.故选 D.

b

a

x+y-5≤0 ? ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0 ? ?x-1≥0
A.9 C.7 答案 B B.8 D.6

,则 z=x+2y-1 的最大值为(

)

x+y-5≤0 ? ? 解析 约束条件?x-2y+1≤0 ? ?x-1≥0

所表示的区域如图,

由图可知,当目标函数过 A(1,4)时取得最大值,故 z=x+2y-1 的最大值为 1+2×4-1=8. 二、填空题 6.已知 f(x)是 R 上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两点,则不等式|f(1+ln x)|<1 的解集是________. 1 2 答案 ( ,e ) e 解析 ∵|f(1+ln x)|<1,
- 10 -

∴-1<f(1+ln x)<1, ∴f(3)<f(1+ln x)<f(0), 又∵f(x)在 R 上为减函数, ∴0<1+ln x<3,∴-1<ln x<2, 1 2 ∴ <x<e . e

x-y≤0, ? ? 7.若 x,y 满足条件?x+y≥0, ? ?y≤a,
答案 1

且 z=2x+3y 的最大值是 5,则实数 a 的值为________.

解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示,则当直线 z=2x+3y 过点 A(a,a)时,z= 2x+3y 取得最大值 5,所以 5=2a+3a,解得 a=1.

1 1 8.若点 A(1,1)在直线 2mx+ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________.

m n

答案

3 + 2 2

解析 ∵点 A(1,1)在直线 2mx+ny-2=0 上, ∴2m+n=2, 1 1 1 1 2m+n 1 2m n ∵ + =( + ) = (2+ + +1) m n m n 2 2 n m 1 ≥ (3+2 2 2m n 3 · )= + 2, n m 2

2m n 当且仅当 = ,即 n= 2m 时取等号,

n

m

1 1 3 ∴ + 的最小值为 + 2. m n 2 三、解答题 9.设集合 A 为函数 y=ln(-x -2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x+ 1 为不等式(ax- )(x+4)≤0 的解集.
2

1

x+1

的值域,集合 C

a

(1)求 A∩B; (2)若 C? ?RA,求 a 的取值范围.

- 11 -

解 (1)由-x -2x+8>0 得-4<x<2, 即 A=(-4,2).

2

y=x+

1 1 =(x+1)+ -1, x+1 x+1

当 x+1>0,即 x>-1 时 y≥2-1=1, 此时 x=0,符合要求; 当 x+1<0,即 x<-1 时,y≤-2-1=-3, 此时 x=-2,符合要求. 所以 B=(-∞,-3]∪[1,+∞), 所以 A∩B=(-4,-3]∪[1,2). 1 1 (2)(ax- )(x+4)=0 有两根 x=-4 或 x= 2.

a

a

1 当 a>0 时,C={x|-4≤x≤ 2},不可能 C? ?RA;

a

1 当 a<0 时,C={x|x≤-4 或 x≥ 2},

a

1 1 2 若 C? ?RA,则 2≥2,∴a ≤ , a 2 ∴- 2 2 ≤a<0.故 a 的取值范围为[- ,0). 2 2

10.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方米,可获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,需场地 100 平方米,可获利润 200 万元.现某单位可使用资金 1 400 万元,场地 900 平方米,问:应作怎样的组合投资,可 使获利最大? 解 设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百吨,利润为 S 百万元, 2x+3y≤14, ? ?2x+y≤9, 则约束条件为? x≥0, ? ?y≥0,

目标函数为 S=3x+2y.作出可行域如图阴影部分所示,

错误!未找到引用源。 作直线 l0:3x+2y=0,将 l0 向上平移时,S=3x+2y 随之增大, 13 5 13 5 当它经过直线 2x+y=9 和 2x+3y=14 的交点( , )时,S 最大,此时,Smax=3× +2× = 4 2 4 2 14.75. 因此,生产 A 产品 325 吨,生产 B 产品 250 吨时, 利润最大为 1 475 万元.
- 12 -

11.某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系式

C = 3 + x , 每 日 的 销 售 额 S( 单 位 : 万 元 ) 与 日 产 量 x 的 函 数 关 系 式 S = k ? ?3x+ +5,0<x<6, x-8 ? ? ?14,x≥6.
(1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3.

k ? ?2x+ +2,0<x<6, x-8 解 (1)由题意可得 L=? ?11-x,x≥6. ?
因为当 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ +2, 2-8 解得 k=18. (2)当 0<x<6 时,L=2x+ 18 18 +2,所以 x-8 18 -x 18 +18=6, 8-x

k

L=2(x-8)+ +18=-[2(8-x)+ ]+18≤-2 x-8 8 -x
当且仅当 2(8-x)= 18 ,即 x=5 时取得等号. 8-x

当 x≥6 时,L=11-x≤5. 所以当 x=5 时 L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大,最大值为 6 万元.

- 13 -


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