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高考文科数学一轮复习专题6:函数的奇偶性和周期性


专题 6:函数的奇偶性与周期性
【考试要求】
1、结合具体函数,了解函数奇偶性的定义。 2、会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性。 3、了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、会应用简单函数的周期性。

【知识要点】
1、函数的奇偶性 如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 像关于 对称。 ,那么函数 f ( x) 是奇函数。奇函数图 ,那么函数 f ( x) 是偶函数。偶函数图

如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 像关于 对称。

思考:如果 f ( x) 是奇函数,一定有 f (0) ? 0 么? 感悟:不能说明奇函数 f ( x) 一定要 f (0) ? 0 ,因为在 x ? 0 这个点不一定有定义。

2、周期性 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f ( x ? T ) ? ,那么就称 y ? f ( x) 为周期函数, T 为这个函数的周期。 如果周期函数 f ( x) 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个正数就叫做 f ( x) 的最小正周期。

思考:周期函数 f ( x) 的周期和最小正周期有什么联系? 感悟:设最小正周期为 T0 ,周期为 T ,则有关系 T ? nT0 (n ? Z , n ? 0)

【考点精练】
考点一:函数的奇偶性 1、下列函数是偶函数的是( A、 y ? sin x B、 y ? x
3

) C、 y ? e
x

D、 y ? ln

x2 ? 1

2、若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则
x x

?x

?x

A、 f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C、 f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数

B、 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 D、 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数

3、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) ,则 f (?1) ?
x



4、讨论下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x ( x ? 1) ;
2

(2) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x ; 1? x

?? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 (3) f ( x ) ? ? 2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
4 ? x2 (4) f ( x) ? x ?3 ?3

规律总结: 1、利用定义判断奇偶性的方法: (1) 首先求函数的定义域, 只有定义域关于原点对称才能继续讨论奇偶性, 否则这个函数非奇非偶; (2)在定义域关于原点对称的前提下,计算 f (? x) ,看 f (? x) ? f ( x) 还是 f (? x) ? ? f ( x) 或者两 者都不是,如果 f (? x) ? f ( x) ,那么是偶函数;如果 f (? x) ? ? f ( x) ,那么是奇函数; 2、如果已知函数奇偶性以及一半区间的函数解析式,应利用 f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 的关系 来求另一半函数的解析式。

考点二:函数的周期性 1、若 f ( x) 是周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1 , f (2) ? 2 ,则 f (3) ? f (4) 等于( A、 ?1 B、1 C、 ?2 D、2



2、已知 f ( x) 在 R 上为奇函数,并满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (2013) ?
2

( ) A、 ?2

B、2

C、 ?18

D、18

3、已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,并满足 f ( x ? 2) ? ?

1 ,当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ,则 f ( x)

f (6.5) ?



4、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 2] 上是增函数,则( A、 f (?25) ? f (11) ? f (80) C、 f (11) ? f (80) ? f (?25) B、 f (80) ? f (11) ? f (?25) D、 f (?25) ? f (80) ? f (11)



规律总结: 求函数周期的方法: (1)三角函数周期:化成 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 形式,则最小正周期为 T ?

2?

?

(2)递推法:若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ,则 f ( x ? 2a) ? f [( x ? a) ? a] ? ? f ( x ? a) ? f ( x) ,因此周期

T ? 2a ;
(3)换元法:若 f ( x ? a) ? f ( x ? a) ,令 x ? a ? t ,则 x ? t ? a ,因此 f (t ) ? f (t ? 2a) ,即周期 是 2a ;

考点三:函数性质的综合应用 1、下列函数中,既是偶函数,又在 (0, ??) 上单调递减的是( A、 y ? x ? cos x
2



B、 y ? ? x

C、 y ? lg 2

x

D、 y ?

2 x

2、 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, 6) 内解的个数最 小值是( ) A、7 B、6

C、5

D、4

3、已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是( A、 ( , )

1 3



1 2 3 3

B、 [ , )

1 2 3 3

C、 ( , )

1 2 2 3

D、 [ , )

1 2 2 3

4 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 其 图 像 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 对 任 意 x1 , x2 ? [0, ] , 都 有

1 2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 f (1) ? a ? 0
(1)求 f ( ) 和 f ( ) ; (2)证明: f ( x) 是周期函数。

1 2

1 4

规律总结: 1、因为奇函数的图像关于原点对称,所以在区间 (a, b) 和区间 (?b, ?a) 上的单调性相同;而偶函数由 于关于 y 轴对称,所以在区间 (a, b) 和区间 (?b, ?a) 上的单调性相反; 2、对于抽象函数不等式,往往通过函数的奇偶性将其转化为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的形式,再利用函数的单 调性脱去函数符号“ f ”进行求解。

【考题预测】
1、下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是( A、 y ? x ? 1 B、 y ? ? x
3

) D、 y ? x x

C、 y ?

1 x

2、设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] ,则

f ( x) 在区间 [?10,10] 上的值域为



3、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数又是周期函数, T 是它的一个正周期,若将方程 f ( x) ? 0 在区间

[?T , T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 的最小可能值为(
A、0 B、1 C、2 D、3



【巩固练习】
1、若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a 扽与( A、 ?2 B、 ?1 C、1 D、2 )

2、满足 f (? ? x) ? ? f ( x) ,且为奇函数的 f ( x) 可能为( A、 cos 2x B、 sin x C、 sin



x 2

D、 cos x

3、已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是( ① y ? f ( x ) ;② y ? f (? x) ;③ y ? xf ( x) ;④ y ? f ( x) ? x A、①③ B、②③ C、①④ D、②④



4、设 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的周期函数,如图是该函数在区间 (?2,1] 上的 图像,则 f (2012) ? f (2013) 等于( A、3 B、2 C、1 D、0 )

5、 设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像向右平移 将 所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于( A、 )

? 个长度单位后, 3

1 3

B、3

C、6

D、9

6、已知函数 f ( x) ? x ? (m ? 2) x ? 3 是偶函数,则 m ?
2



7、已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,若 f (a) ? ?2 ,则实数 a ?



8 、 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) 且 在 区 间 [ 0, 2 ]上 是 增 函 数 , 若 方 程 , 在区间 [?8,8] 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? f ( x) ? m( m? 0) 。

9 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 恒 有 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) 当 x ? [ 0, 2 ) , , 时
2 f ( x) ? 2 x? x

(1)求证: f ( x) 是周期函数; (2)当 x ? [2, 4] 时,求 f ( x) 的解析式; (3)计算 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2013)

【参考答案】
考点精练: 考点一:1、D 考点二:1、A 考点三:1、B 2、B 2、A 2、A 3、 ?3 3、 ?0.5 3、A 4、 (1)偶; (2)非奇非偶; (3)奇; (4)奇 4、D 4、 (1) f ( ) ? a 2 , f ( ) ? a 4 ; (2)证明略

1 2

1

1 4

1

考题预测: 1、D 2、 [?15,11] 3、D

巩固练习: 1、C 2、B

3、D

4、B

5、C
2

6、 ?2

7、 ?1

8、 ?8

9、 (1)周期是 4,证明略; (2) f ( x) ? x ? 6 x ? 8 ; (3)1


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