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江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 填空题(画川高中)


1. ?ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则

??? ? ??? ? CA ? CB =
答案:3



分析:数形结合法,由 2OA ? AB ? AC ? 0 得 Rt ?ABC ,由 | OA |?| AB | 得∠ABC=

? 3

2.在区间 [? π , π] 内随机取两个数分别记为 a , b ,则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? π2 有零点的 概率为 答案: 1 ? .

? 4
2

分析:若使函数有零点,必须 ? ? ? 2a? ? 4 ?b2 ? π2 ≥ 0 , 即 a 2 ? b2 ≥ π2 .关键是:建立新坐标轴系,有如图所示 当 a , b 满足函数有零点时,坐标位于正方形内圆外的部分.

?

?

3.已知点 P(2,t)在不等式组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表示的平面区域内,则点 P(2,t)到直线 ?x ? y ? 3 ? 0


3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值与最小值的和为
答案:4

分析:作出图形,想一下用什么办法直接求和?(能否用中位线?什么时候可用?)

4、已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 ,点 P( x0 , y0 ) 是直线 l: 3x ? 2 y ? 4 ? 0 上的动点,若在圆 C 上总 存在不同的两点 A,B 使得 OA ? OB ? OP ,则 x0 的取值范围是 ▲ 答案: ? 0, ? , 解析:因 OAPB 是棱形,故 AB 垂直平分 OP,则当 x A ? x B ? 当 x0 ? .

? 24 ? ? 13 ?

4 2 时, k AB 不存在,这时 x 0 ? 3 3

x 4 ?x y ? 时, k AB ? ? 0 ,且直线 AB 过点 ? 0 , 0 ? , 3 y0 ? 2 2?
2

2 x 2 ? y0 2 2 直线 AB 方程为 2x0 x ? 2 y0 y ? x0 ? y0 ? 0 ,圆心到直线 AB 的距离 d ? 0 ? 1,

2 2 2 即 x0 ? y0 ? 4 ,且 3x0 ? 2 y0 ? 4 ? 0 ,化为 13x0 ? 24x0 ? 0 ,

4 24 ? 3 13

5.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c , c ? 0 ,则
2 2 2

b 的取值范围为 a ? 2c





答案: [?

3 3 , ] 3 3

b ?0 a b ( )2 ? ( )2 ? 1 解析: 三元化为二元: 分子分母同除 c , 得:c , 易得斜率表达, 条件知道: a c c ?2 c
可以用几何意义解决了。

6.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 交于 A, B 两点,O 为坐标原点,若圆上一点 C 满足 OC ? 答案: 10 解读:方法 1: (平面向量数量积入手)

????

? 3 ??? ? 5 ??? OA ? OB ,则 r ? 4 4



.

??? ? 2 ? 5 ??? ? 3 ??? ? ?2 25 ??? ?2 ? 3 ??? ? 9 ??? ?2 5 ??? OC ? ? OA ? OB ? ? OA ? 2 ? OA ? OB ? OB , 4 4 4 16 ?4 ? 16 25 2 15 2 9 3 2 r + r cos ?AOB ? r 2 ,整理化简得:cos ?AOB ? ? ,过点 O 作 AB 的 即:r ? 16 8 16 5 3 1 2 2 垂线交 AB 于 D ,则 cos ?AOB ? 2 cos ?AOD ? 1 ? ? ,得 cos ?AOD ? ,又圆心到 5 5 2 1 OD 2 2 2 2 ? 2, 直线的距离为 OD ? 所以 cos ?AOD ? ? 2 ? 2 , 所以 r ? 10 ,r ? 10 . 5 r r 2 ???? 5 ??? ? 3 ??? ? 方法 2: (平面向量坐标化入手)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x, y ? ,由 OC ? OA ? OB 得 4 4 5 3 5 3 x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , 4 4 4 4
则 x2 ? y 2 ? ? 5 x1 ? 3 x2 ? ? ? 5 y1 ? 3 y2 ? ? 25 x12 ? 25 y12 ? 15 x1 y1 ? 25 x22 ? 25 y22 ? 15 x2 y2 ? ? ? ? 4 ? ?4 4 ? 16 16 8 16 16 8 ?4
2 2

1 5 , y联 立 直 线 y ? ? x ? 2 与 圆 1 x 1 y? 2 ? x2 8 r ? 10 . x2 ? y 2 ? ( r2 r ? 0的方程,由韦达定理可解得: ) ???? 5 ??? ? 3 ??? ? 1 ???? 5 ??? ? 3 ??? ? 方法 3: (平面向量共线定理入手)由 OC ? OA ? OB 得 OC ? OA ? OB ,设 OC 与 4 4 2 8 8 AB 交于点 M ,则 A、 M、 B 三点共线。由 ?AMO 与 ?BMO 互补结合余弦定理可求得 4 2 AB = r ,过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ,根据圆心到直线的距离为 OD ? ? 2, 5 2
由 题 意 得 , r ?
2

2 5 2 2 52 r ? r ? 1 6 1 6

?

? 2 ? 得? r? ? ? 5 ?

2

? 2?

2

? r 2 ,解得 r 2 ? 10 , r ? 10 .

7、设数列 ?an ? 满足 a 2 ?

1 * ,且对任意的 n ? N ,满足 an?2 ? an ? 3n , an?4 ? an ? 10? 3n 8

则 a 2014 ? ______________.

3 2014 ?1 8 由 a n ? 2 ? a n ? 3n 得 a n ? 2 ? 3 n ? a n ,
答案:

所以 an?4 ? 3n?2 ? an?2 ? 3n?2 ? 3n ? an ,即 an?4 ? 10? 3n ? an ; 由 an?4 ? an ? 10? 3 得 an?4 ? an ? 10? 3n ;
n

?

?

所以可以得到 an ? 10? 3n ? an?4 ? 10? 3n ? an 即 an?4 ? 10? 3n ? an

?? 1 ? x ?? ? ,0 ? x ? 2 8、已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?? 2 ? 若关 ?log x.x ? 2 ? 16
于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? a ? f ( x) ? b ? 0 (a、b ? R) 有且只有 7 个不同实数根,则(理)实数 a 的 取值范围是 . 答案: - 2 < a < -

5 4

由题意,f(x)在(-∞,-2]和[0,2]上是减函数,在[-2,0]和[2,+∞)上是增函数,∴x=0 时,

1 ,|x|≥16 时,f(x)≥1, 4 ∴关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? a ? f ( x) ? b ? 0 (a、b ? R) 有且只有 7 个不同实数根,
函数取极大值 1,x=±2 时,取极小值 设 t=f (x) , 则方程 t2+at+b=0 必有两个根 t1, t2, 其中 t1=1, t2∈ (

1 , 1) , 4

所以 - 2 < a < -

5 4。


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