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2.6对数与对数函数 教师讲义


湖州名思教育一对一个性化辅导

名思教育辅导讲义
学员姓名 年 课 题 级 高一 辅导科目 授课教师 对数与对数函数 数学

授课时间

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容 1. 对数的概念 一般地,对于指数式 ab=N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN,即 b=logaN(a>0,且 a≠1).其中, 数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数” . 2. 对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有下列性质 (1)N>0; (2)loga1=0; (3)logaa=1. 3. 对数的运算法则 (1)loga(MN)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaM =α logaM (α ∈R). 4.两个重要公式 (1)对数恒等式: a
log a N
α

=__N__

logaN (2)换底公式:logbN= . logab 5.对数函数的图象与性质 a>1 名思教育教务处 0<a<1

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图 象 (1)定义域:(0,+∞) 性 质 (2)值域:R (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4)当 x>1 时,y>0;当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 6. 反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. (5)当 x>1 时, y<0; 当 0<x<1 时, y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2(log3x)=log3(log2y)=0,则 x+y=5. (2)2log510+log50.25=5. (3)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=2. (4)log2x2=2log2x. (5)当 x>1 时,logax>0. (6)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b. 2. (2013·课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 解析 a=log36=1+log32=1+ 1 , log23 B.b>c>a D.a>b>c ( √ ( × ( √ ( × ( × ( × ( ) ) ) ) ) ) )

1 b=log510=1+log52=1+ , log25 1 c=log714=1+log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 3. (2013·浙江)已知 x,y 为正实数,则 A.2lg x B.2lg(x C.2lg x
+lg

(

)

y

=2lg x+2lg y

+y)

=2lg x·2lg y
y

·lg

=2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x·2lg y 名思教育教务处

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答案 D 解析 2lg x·2lg y=2lg x =2lg(xy) 故选 D.
. +lg

y

4. 函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 答案 1 (- ,+∞) 2

1 解析 函数 f(x)的定义域为(- ,+∞), 2 令 t=2x+1(t>0). 因为 y=log5t 在 t∈(0,+∞)上为增函数, 1 t=2x+1 在(- ,+∞)上为增函数, 2 1 所以函数 y=log5(2x+1)的单调增区间是(- ,+∞). 2 1? 5 . 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0 ,+∞ ) 上为增函数, f? ?3? = 0,则不等式 f( log 1 x )>0 的解集为
8

________________. 1 0, ?∪(2,+∞) 答案 ? ? 2? 解析 ∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴它的图象关于 y 轴对称. ∵f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0]上为减函数, 1? ? 1? 由 f? ?3?=0,得 f?-3?=0. 1 1 ∴f( log 1 x )>0? log 1 x <- 或 log 1 x > 3 3
8 8 8

1 ?x>2 或 0<x< , 2 1? ∴x∈? ?0,2?∪(2,+∞).

题型一 对数式的运算 例1 (1)若 x=log43,则(2x-2 x)2 等于


(

)

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9 5 10 4 A. B. C. D. 4 4 3 3
? ?log2x,x>0, 1 (2)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f(log3 )的值是 2 ?3 +1,x≤0, ?

(

)

7 A.5 B.3 C.-1 D. 2 思维启迪 (1)利用对数的定义将 x=log43 化成 4x=3; (2)利用分段函数的意义先求 f(1),再求 f(f(1)); 1 f(log3 )可利用对数恒等式进行计算. 2 答案 解析 2 x=


(1)D (2)A (1)由 x=log43,得 4x=3,即 2x= 3, 3 2 32 4 - ,所以(2x-2 x)2=( )= . 3 3 3

(2)因为 f(1)=log21=0,所以 f(f(1))=f(0)=2.
1 ? log 3 1 1 2 ?1 因为 log3 <0,所以 f(log3 )= 3 2 2

=3

log3 2

+1=2+1=3.

1 所以 f(f(1))+f(log3 )=2+3=5. 2 思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式 子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式. 1 ? ? 2 x,x≥4, 已知函数 f(x)=? 则 f(2+log23)的值为________. ?f x+1 ,x<4, ? 答案 1 24

1 3? log23 解析 因为 2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23),而 3+log23>4,所以 f(3+log23)=( ) 2 1 1 log 3 1 1 1 = ×( ) 2 = × = . 8 2 8 3 24 题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是 ( )

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(2)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b=f( log 1 3 ),c=
2

f(0.2

-0.6

),则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象; (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小,利用函数的单调性或中间值可达到目的. 答案 解析 (1)C (2)B (1)函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、B;

又函数 y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除 D.选 C. (2) log 1 3 =-log23=-log49,
2

b=f( log 1 3 )=f(-log49)=f(log49),
2
3 1? ? 5 5 5 =? ?5? = 125> 32=2>log49,
-0.6

log47<log49,0.2

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 且在(-∞,0]上是增函数, 故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减的, ∴f(0.2
-0.6

)<f( log 1 3 )<f(log47),即 c<b<a.
2

思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小,解不等式等; (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系,充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想. 1?-0.8 (1)已知 a=21.2,b=? ?2? ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c B.c<a<b D.b<c<a 名思教育教务处 )

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(2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 a=________,b=________. 答案 解析 (1)A (2)2 2 1?-0.8 0.8 1.2 (1)b=? ?2? =2 <2 =a,

c=2log52=log522<log55=1<20.8=b, 故 c<b<a. (2)f(x)的图象过两点(-1,0)和(0,1). 则 f(-1)=loga(-1+b)=0 且 f(0)=loga(0+b)=1,
? ? ?b-1=1 ?b=2 ∴? ,即? . ?b=a ?a=2 ? ?

题型三 对数函数的应用 例3 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值; 如果不存在,请说明理由. 思维启迪 f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题,分离参数 a 来解决;探究 a 是否存在,可从单调性入手. 解 (1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax,

则 t(x)=3-ax 为减函数, x∈[0,2]时,t(x)最小值为 3-2a, 当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2 3? 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪? ?1,2?. (2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)为减函数, ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),
? ?3-2a>0 ∴? ?loga 3-a ?

=1

?a<2 ,即? 3 ?a=2

3



故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 思维升华 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); 名思教育教务处

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(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 (3)求 f(x)在区间[ ,2]上的值域. 2 解 (1)由 4x-1>0,解得 x>0,

因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1<x2,则 0<4x1-1<4x2-1, 因此 log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(0,+∞)上递增. 1 (3)f(x)在区间[ ,2]上递增, 2 1 又 f( )=0,f(2)=log415, 2 1 因此 f(x)在[ ,2]上的值域为[0,log415]. 2

利用函数性质比较幂、对数的大小 典例:(15 分)(1)设 a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.b<a<c (2)已知 a= 5 A.a>b>c C.a>c>b
log 2 3.4

)

B.a<b<c D.a<c<b ,b= 5
log 2 3.6

1 log 0.3 ,c=( ) 3 ,则( 5 B.b>a>c D.c>a>b

)

(3)已知函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,a=(20.2)·f(20.2),b=(log
π

3)·f(logπ 3),c=(log39)·f(log39),则 a,b,c 的大小关系是( B.c>a>b D.a>c>b

)

A.b>a>c C.c>b>a

思维启迪 (1)利用幂函数 y=x0.5 和对数函数 y=log0.3x 的单调性,结合中间值比较 a,b,c 的大小;

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10 (2)化成同底的指数式,只需比较 log23.4、log43.6、-log30.3=log3 的大小即可,可以利用中间值或数形结合 3 进行比较; (3)先判断函数φ(x)=xf(x)的单调性,再根据 20.2,logπ3,log39 的大小关系求解. 解析 (1)根据幂函数 y=x0.5 的单调性,可得 0.30.5<0.50.5<10.5=1,即 b<a<1;

根据对数函数 y=log0.3x 的单调性,可得 log0.30.2>log0.30.3=1,即 c>1. 所以 b<a<c.
log3 1 log 0.3 ? log 0.3 (2)c=( ) 3 =5 3 =5 3 . 5 10

方法一 在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x,y=log4x 的图象,如 图所示. 由图象知: 10 log23.4>log3 >log43.6. 3 方法二 ∵log3 10 10 >log33=1,且 <3.4, 3 3

10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3 由于 y=5x 为增函数,∴ 5 即5
log 2 3.4 log 2 3.4

>5

log3

10 3

>5log43.6.

1 log 0.3 log 3.6 >( ) 3 > 5 2 ,故 a>c>b. 5

(3)因为函数 y=f(x)关于 y 轴对称,所以函数 y=xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),且当 x∈(-∞,0)时, [xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,则函数 y=xf(x)在(-∞,0)上单调递减; 因为 y=xf(x)为奇函数,所以当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调递减. 因为 1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2, 所以 0<logπ3<20.2<log39, 所以 b>a>c,选 A. 答案 (1)C (2)C (3)A

温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法. 名思教育教务处

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(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造 幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,多选 0 或 1.

五、教师评定:

1、 学生上次作业评价:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

2、 学生本次上课情况评价: ○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

教师签字:

教研主任签字:________

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