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华师附中2013届高三5月综合测试(文数)


华师附中 2013 届高三 5 月综合测试 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i ? 2i ? 3i 所对应的点落在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
2 3

D.第四象限

2. 已知全集 U ? R , A ? {x ? 1 ? x ?2}, B ? {x x ? 0} ,则 CU ( A ? B) ? A. {x 0 ? x ?2} B. {x x ? 0} C. {x x ? ?1 } D. {x x ? ?1 }

3.公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a 2 a12 ? 16 ,则 log2 a9 ? A.4 B.5 C.6 D.7

4.在 ?ABC 中, 已知向量 AB ? (cos180 , cos720 ) , AC ? (2 cos630 ,2 cos270 ) , 则 cos ?BAC 的值为 A. 0

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

5.一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的主 视图为

A.

B.

C.

D.

6.命题 p : 若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1 是 a ? b ? 1 的充分而不必要条件;命题 q : 函数 y ? 域是 (??,?1] ? [3,??) ,则 A.“p 或 q”为假 B. “p 且 q”为真 C. p 真 q 假
1

x ? 1 ? 2 的定义

D. p 假 q 真

7.若 ?

?x ? y ? 0
2 2 ?x ? y ? 1

,则 2 x ? y 的取值范围是 2 2 , ] 2 2 2 , 5 ] 2

A.[ 8

2 , 5 ] 2

B. [-

C. [-

D. [- 5 , 5 ] )

在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上与直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 距离最小的点的坐标是( A. ( , ) C. (? , )

8 6 8 6 B. ( ,? ) 5 5 5 5 9.函数 y ? x ? cos x 的大致图象是
y y

8 6 5 5
y

D. (? ,? ) ( y )

8 5

6 5

O? 2

x

O? 2

x

O? 2

x

O? 2

x

A. B. C. D. 10.已知命题“ ?x ? R , x ? a ? x ? 1 ? 2 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 C. (??,?3) ? (1,??) D. (??,?3] ? [1,??) 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 开始 2 2 11. 双曲线 9 x ? 16 y ? 1 的焦距是___________. A. (?3,1) B. [?3,1] 12.已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5

.

s=0,n=1 否 n≤2012 是 s=s+sin n? 3 输出 s

13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出的结果是 .

n=n+1

结束

2

(二)选做题(请考生在以下两个小题中任选一题做答) 14.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,则它的圆心到直线 l : ?

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

( t 为参数)的距离等于

.

P
15.如图,已知 P 是⊙O 外一点, PD 为⊙O 的切线, D 为切点, 割线 PEF 经过圆心 O ,若 PF ? 12 , PD ? 4 3 ,则⊙O 的半径长 为 .

E
第15题图 第15题图

O
F

D

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)当 x ? [ ?6,? ] 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最 小值及相应的 x 的值.

?
2

) 的图象的一部分如下图所示.

2 3

17. (本小题满分 12 分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引 起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行了问 卷调查得到了如下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知在不患心肺疾病的 5 位男性中,有 3 位又患胃病.现在从不患心肺疾病的 5 位男性中,任意选 出 3 位进行其他方面的排查,求恰好有一位患胃病的概率. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

不患心肺疾病 5

合计

10 50

3 . 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式 K ?
2

n(ad ? bc)2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
3

18. (本小题满分 14 分)已知 a2 , a5 是方程 x ? 12x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?an ? 是公差为正数的等差数列,数
2

列 ?bn ? 的前 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ?

1 bn ( n ? N * ) 。 2

(I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)记 cn ? an bn ,求数列 ?cn ? 的前 项和 S n ;

19. (本小题满分 14 分)如图, AA 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线, BC 是底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA 、 1 1

CB1 的中点.
(I)证明: DE //平面 ABC ; (II)若 BB1 ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? A1 BC 的体积的最大值.

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? kx ,其中 k ? R ;
x

(Ⅰ )若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
2 (Ⅲ )求证:当 k ? ln 2 ? 1 且 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3kx ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A 、 4 B ,点 P 在椭圆 C 上且异于点 A 、 B ,直线 AP 、 BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M 、 N ; (I)设直线 AP 、 BP 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; y (II)求线段 MN 长的最小值; (III) 当点 P 运动时, MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的 以 A
21. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 C : 结论.
O P B N M x

4

参考答案
1—10.答案:C 11. 5 6 12. C 7 25 A C 13. 3 B D 14. 2 2 C A B 15.4 C

T 2? ? ? 16. 解:(1)由图像知 A=2, =4 ? T=8= ,∴ = ,得 f(x)=2sin( x+? ). ? 4 2 4 ? 由对应点得当 x=1 时,

?
4

× ?= 1+

?
2

??=

?
4

.∴ f(x)=2sin(

?
4

x+

?
4

);

(2)y=2 sin(

?
4

x+

?
4

)+2 sin[

?
4

(x+2)+

?
4 x,

]=2 sin(

?
4

x+

?
4

)+2cos(

?
4

x+

?
4

)

=2 2 sin(

?
4

x+

?
2

)=2 2 cos

?
4

2 3? ? ? ∵ ? [-6,- ],∴ x ? [- x ,- ] , 3 4 2 6 ∴ 当

?
4

x=-

?
6

2 ? ,即 x=- 时,y 的最大值为 6 ;当 x=-?,即 x=-4 时,y 的最小值-2 2 . 3 4

17. (Ⅰ )解:列联表补充如下 患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 不患心肺疾病 5 15 20
2

合计 25 25 50

(Ⅱ )解:因为 K 2 =

n(ad-bc) ,所以 K 2≈8.333 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)

又 P(k 2≥7.789) = 0.005 = 0.5%. 那么,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. (Ⅲ )解: 记所选 5 人中没有患胃病的 2 人为 A1,A2, 患胃病的 3 人为 B1,B2, B3,则所有基本事件为: (A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3), (A1,B1,B2), (A1, B1,B3), (A1,B2,B3), (A2,B1,B2), (A2, B1,B3), (A2,B2,B3),(B1,B2,B3), 共有 10 种. 设从所选 5 人任意选出 3 位进行其他方面的排查,其中恰好有一位患胃病的的事件为 M,则事件 M 所包含的 的基本事件有 3 个:(A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3) 根据古典概型概率计算公式,得 P ( M ) ?

3 10

a5-a2 18. 解:(I)由 a2+a5=12,a2·5=27.且 d>0 得 a2=3,a5=9.∴ d= a =2 ,a1=1,∴ 3

an=2n-1

5

1 2 1 1 在 Tn=1- bn 中,令 n=1 得 b1= ,当 n≥2 时,Tn=1- bn ,Tn-1=1- bn-1, 2 3 2 2 1 1 bn 1 2 1 - 2 两式相减得 bn= bn-1- bn,∴ = (n≥2) ∴ bn= ( )n 1= n . 2 2 3 3 3 bn-1 3 2 4n-2 (II) Cn=(2n-1)·n = n , 3 3 2n-1 2n-3 2n-1 1 3 5 Sn 1 3 ∴ Sn=2( + 2 + 3 +…+ n ), =2( 2 + 3 +…+ n + n+1 ), 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2× (1- n-1 ) 9 3 2n-1 2n-1 1 )- n+1 ]=2[ + - n+1 ] 3 3 1 3 1- 3



2 1 1 1 1 S =2[ +2( 2 + 3 +…+ n 3 N 3 3 3 3

2n-1 4 1 1 1 4n+4 2n+2 =2( + - n - n+1 )= - n+1 ,∴ Sn=2- n . 3 3 3 3 3 3 3 19. (I)证明:连结 EO,OA.∵ E, O 分别为 B1C, BC 的中点,∴ EO//BB1.

1 又 DA//BB1,且 DA=EO= BB1.∴ 四边形 AOED 是平行四边形, 2 即 DE//OA, DE ? 平面 ABC. ∴ // 平面 ABC.. DE (II)解:设 AB ? x, AC ? y ,则三棱锥 A ? A1 BC 的体积

V ? V A1 ? ABC ?

1 1 1 ? 2 ? AB ? AC ? xy . 3 2 3
2

又由题, x ? y ? 4 ? 2xy ,得 xy ? 2 ,且等号当 x ? y ?
2

2 时成立;

所以三棱锥 A ? A1 BC 的体积的最大值为

2 。 3

x x 20. 解: )由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e . (Ⅰ

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 ? ?) , , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, . 1)

6

(Ⅱ )由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立. 由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ① k ? (0, 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 当 1] 此时 f ( x ) 在 [0, ?) 上单调递增. ? 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. ② k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 , 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, k ) ln

ln k

(ln k, ?) ?

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

f ( x)

由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ?

, 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e . 综合① ,② 得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .
(Ⅲ )由题, f ( x) ? x 2 ? 3kx ? 1 ,即 e ? kx ? x ? 3kx ? 1 ? e ? x ? 2kx ? 1 ? 0
x 2 x 2

记 g ( x) ? e x ? x 2 ? 2kx ? 1 ,则 g ?( x) ? e x ? 2 x ? 2k ,记 h( x) ? e x ? 2 x ? 2k 则 h?( x) ? e x ? 2 ,得 h?( x) ? 0 ? e x ? 2 ? x ? ln 2 因此, h(x) 在 (??, ln 2) 上递减,在 (ln 2,??) 上递增; 得 h( x) min ? h(ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2k ; 因为, k ? ln 2 ? 1 ,可得 h( x) min ? 2 ? 2 ln 2 ? 2k ? 0 所以, g ?( x) ? 0 ,说明 g (x) 在 R 上递增,因此,当 x ? 0 时有 g ( x) ? g (0) ? 0
2 由上, e ? x ? 2kx ? 1 ? 0 ,因此得 f ( x) ? x ? 3kx ? 1 ;
x 2

21. 解:(1)由题设

x2 + y 2 = 1 可知,点 A(0,1),B(0,-1). 4

7

令 P(x0,y0),则由题设可知 x0≠0. ∴ 直线 AP 的斜率 k1 = y0-1 y0+1 ,PB 的斜率为 k2 = x0 x0 y0-1 y0+1 y02-1 x02 1 + y02 = 1(x0≠0),从而有 k1·2 = k . = = - 4 x0 x0 4 x02

又点 P 在椭圆上,所以

(2) 由题设可以得到直线 AP 的方程为 y-1 = k1(x-0), 直线 PB 的方程为 y-(-1) = k2(x-0).
? y-1 = k1x 由 ? ,解得 ? y = -2 ? y + 1 = k2x ? y = -2

? x = -3 ? k1 ; ? ? y = -2 ? ? ? x = -1 k2 . ? ? y = -2
3 1 ,-2),直线 PB 与直线 l 的交点 M(- ,-2). k1 k2

由 ?

,解得 ?

∴ 直线 AP 与直线 l 的交点 N(-

3 1 1 ∴ MN = | - |,又 k1·2 = - k k1 k2 4 ∴ MN = | 3 3 + 4k1 | = + 4| k1 |≥2 k1 | k1 | 3 · k1 | 4| | k1 | =4 3

等号成立的条件是

3 3 = 4| k1 |,解得 k1 = ± . | k1 | 2 3

故线段 MN 长的最小值是 4

3 1 →→ (3)设点 Q(x,y)是以 MN 为直径的圆上的任意一点,则 QM · QN = 0,故有 (x + )(x + ) + (y + 2)(y + 2) = 0. k1 k2 1 3 又 k1·2 = - ,所以以 MN 为直径的圆的方程为 x 2 + (y + 2) 2-12 + ( -4k1)x = 0 k 4 k1 令 ?
? x=0 ? x + (y + 2) -12 = 0
2 2

?x = 0 ? x=0 ,解得 ? 或 ? . y = -2 + 2 3 ? ? y = -2-2 3

所以,以 MN 为直径的圆恒过定点 (0,-2 + 2 3 )(或点 (0,-2-2 3 )). 注:写出一点的坐标即可得分.

8


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