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2014-2015学年高二理科第二学期期中数学试卷


兰州市第二十八中学 2014-2015 学年 高二(理科)第二学期期中数学试卷
时间:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 1.已知 f(x)=(x+a)2,且 f′(2)=-3,则 a 的值为( A.-1 B.-2 C.1 ) D.2 )

2.函数 y=sinx(cosx+

1)的导数是( A.y′=cos2x-cosx C.y′=cos2x+cosx

B.y′=cos2x+sinx D.y′=cos2x+cosx )

π π 3 3 3.曲线 y=3sin(2x-3)在点(3, 2 )处的切线的斜率为( A.1 B.2 C.3 D.6

?n+3??n+4? 4.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n 2 ∈N*)时,第一步验证 n=1 时,左边应取的项是( A.1 B.1+2 C.1+2+3 )

D.1+2+3+4

π 5.若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x=2处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 的值为( A.-2
2

) C.1 ,则?e f(x)dx 等于(
?0

B.-1

D.2 )

?x ,x∈[0,1] 6.设 f(x)=?1 ?x,x∈?1,e]

4 A.3

5 B.4

6 C.5

7 D.6

7.如图所示,图中曲线方程为 y=x2-1,用定积分表示围成封闭 图形(阴影部分)的面积是( A.|?2(x2-1)dx|
?0

)

B.?2(x2-1)dx
?0 ?0

C.?2|x2-1|dx D.?1(x2-1)dx-?2(x2-1)dx
?0 ?1

1 1 1 1 8. 已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明 1-2+3-4+?+ = n-1 1 1 1 2( + +?+2n)时,若已假设 n=k(k≥2 为偶数)真,则还需利 n+2 n+4 用归纳假设再证( ) B.n=k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立

A.n=k+1 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立

9.已知函数 f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t 的最小值是( A.0 B.10 C.18 ) D.20

10.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下 结论一定正确的是( ) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点

A.?x∈R,f(x)≤f(x0) C.-x0 是-f(x)的极小值点

1 1 1 11.用数学归纳法证明 1+2+3+?+ n <n(n∈N,且 n>1), 2 -1

第二步证明从“k 到 k+1”,左端增加的项数是( A.



1 2 -1
k+1 K

B.

1 1 1 +……+ K+1 k+ K 2 2 +1 2 -1 1 1 1 +……+ K+1 k+ K 2 2 +1 2 +1

C.

1 1 1 + K +……+ K+1 2 +1 2 +2 2 -1
5 12.复数 的共轭复数是( 1+2i A.1-2i B.1+2i

D.

) 5 10 D.-3+ 3 i

5 10 C.-3- 3 i

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1 1 13.若 f(n)=1+2+3+?+ (n∈N*),则当 n=2 时,f(n)是 2n+1 ________ . 14.如果函数 f(x)=x3-6bx+3b 在区间(0,1)内存在与 x 轴平行的 切线,则实数 b 的取值范围是________. 15.已知 a≤4x3+4x2+1 对任意 x∈[-1,1]都成立,则实数 a 的 取值范围是________. 16. 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为 f′(x), f′(0)>0, f?1? 若?x∈R,恒有 f(x)≥0,则 的最小值是________. f′?0? 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写结果不得分,共 70 分) 17. (10 分)已知 z1=(x+y)+(x2-xy-2y)i, z2=(2x-y)-(y-xy)i, 问 x,y 取什么实数值时, (1)z1,z2 都是实数; (2)z1,z2 互为共轭复数

18. (12 分)用数学归纳法证明等式 ?n+3??n+4? 1+2+3+?+(n+3)= (n∈N*) 2 2 19.(12 分)已知函数 f(x)=ln(2x+a)+x2,且 f′(0)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)求曲线 f(x)在 x=-1 处的切线方程. 1 20. (12 分)已知函数 f(x)=3x3+ax+b(a,b∈R)在 x=2 处取得 4 极小值-3. (1)求函数 f(x)的增区间; 10 (2)若 f(x)≤m2+m+ 3 对 x∈[-4,3]恒成立, 求实数 m 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 22. (12 分)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数 f(x)的极值.


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