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山东省莱芜市莱芜一中2013高三4月模拟数学(理)试题 Word版含答案


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莱芜一中 2013 年 4 月高三教学质量调研考试

数学(理)试题
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 4 页.训练时间 120 分钟,满 分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分

,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知

m ? 1 ? ni ,其中 m, n ? R,i 为虚数 单位,则 m ? ni ? 1? i A、 1 ? 2i B、 2 ? i C、 1 ? 2i D、 2 ? i
( D、2652 ( ) )





2、 如果执行右边的程序框图, 那么输出的 S 等于 A、2550 B、2500 C、2450

? 下列四个命题中, 3、 若有直线 m 、 和平面 ? 、 , 正确的是 n
A、若 m // ? , n // ? ,则 m // n B、若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 则 ? // ? C、若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D、若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ?

4.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2
A. (2, ??) C. ? 0,1? ? (2, ??)

? , B ? ?y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=(

) .

B. ? 0,1? ? (2, ??) D. ? 0,1? ? [2, ??) ) A.1
2

5.下列命题正确的个数 (

B.2

C.3 D.4

2 (1) 命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3 x0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3 x ”;

(2)函数 f ( x) ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件;
2 2

(3) x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立 ? ( x 2 ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立 . (4) .“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ”。 6. 已 知 各 项 为 正 数 的 等 差 数 列 ?an ? 的 前 20 项 和 为 100 , 那 么 a7 ? a14 的 最 大 值 为 ( ) A.25 B.50 C.100 D.不存在

?

?

? ?

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 7、在 ?ABC 中,“ sin A (2sin C ? sin A) ? cos A (2cos C ? cos A) ”是 “角 A、B、C 成等差数列”的 A、充分非必要条件 C、必要非充分条件 ( B、充要条件 D、既不充分也不必要条件 )

?y ? x ?x ? 2 y ? 4 ? y 满足 ? 8、已知实数 x 、 则 r 的最小值为( ? y ? ?2 ?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 (r ? 0) ? 4 5 2 2 A、1 B、 2 C、 D、 3 3
9、设 a 、b ? R , a ? b, x, y ? (0, ??) ,则
?



a b a 2 b2 (a ? b)2 ,当且仅当 ? 时取等号, ? ? x y x y x? y
2 9 ? x 1? 2 x
D、16 )

利 用 以 上 结 论 , 可 以 得 到 函 数 f ( x)? ( ) A、169

(? x

1 ( 0 ,的 ) ) 小 值 为 最 2

B、121

C、25

10.设函数 f ( x) ? 2x ,则如图所示的函数图象( A. y ? f (| x |) B. y ? ? | f ( x) | C. y ? ? f (? | x |) D. y ? f (? | x |) 11、函数 y ? 于

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1
( )

A、2 B、3 C、4 D、6 12、在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别为 A(-1,0) , B(1,0) ,平面内两点 G、M 同时满足下列条件: (1) GA ? GB ? GC ? O (2)

??? ??? ??? ? ? ?

??

???? ??? ? ? ???? ???? ???? ? | MA |?| MB |?| MC | (3) GM / / AB 则 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程为(
x2 ? y2 ? 1 A、 3
C、 x ?
2



(y ? 0 )

x2 ? y2 ? 1 B、 3
D、 x ?
2

(y ? 0 )

y2 ?1 3

(y ? 0 )

y2 ?1 3

(y ? 0 )

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 26 分。

a x2 y 2 13.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,直线:x= a b c

2

与两条渐近线交于

P, Q 两点,如果 ?PQF 是等边三角形,则双曲线的离心率 e 的值为------------.
14.设函数 f ( x) ?

( x ? 2)

n

,其中 n ? 6

?

?

2 0

cos xdx ,则 f (x) 展开式中 x 的系数为-----.

4

15.三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O ,球 O 的直径是 AD ,且 ?ABC 、 ?BCD 都是边长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A ? BCD 的体积是----------. 16 、 设 集 合 S ? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,? , 集 合 A ? a1, a 2, a 3 , A ? S , a1 , a2 , a3 满 足 8, 9 ?

?

?

a1 ? a2 ? a3且 a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的集合 A 的个数为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos( x ? (Ⅰ 求 f ( x ) 的值域; )

-------------.

2 x ? ) ? 2 cos 2 , x ? R . 3 2

(Ⅱ 记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 f ( B) ? 1 , b ? 1 , c ? 3 , ) 求 a 的值. 18.(本小题满分 12 分)如图, ?ABC 中, ?B ? 90? , AB ? 2, BC ? 1, D、 两点分别在线段 E

AD AE ? ? ?, ? ? (0,1) 。现将 ?ABC 沿 DE 折成直二面角 A ? DE ? B 。 AB AC 1 (1)求证:当 ? ? 时, 面ADC ? 面ABE ; (2)当 ? ? (0,1) 时,二面角 E ? AC ? D 的大 2
AB、AC上,满足
小能否等于 A

?
4

?若能,求出 ? 的值;若不能,请说明理由。 A

D

E

E D B C

B

C

19.(本小题满分 12 分)现有 4 个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参 加者选择. 为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项 目联欢, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢, 掷出点数大于 2 的人去参加乙项目联欢. (Ⅰ )求这 4 人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率; (Ⅱ )求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (Ⅲ )用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记 ? ?| X ? Y | , 求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 ( n 为正整数)

(Ⅰ bn ? 2n an ,求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; )令 (Ⅱ Cn ? )令

n ?1 5n an , Tn ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ,求 Tn 并比较 Tn 与 的大小。 n 2n ? 1

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 在圆 x2+y2=1 上. (I)求椭圆 C 的方程;

x2 x y ? ?1 a2 b2 (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都

(II)若斜率为 k 的直线过点 M(2,0),且与椭圆 C 相交于 A,B 两点.试探讨 k 为何值时,三 角形 OAB 为 直角三角形. 22. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x . x

(1)若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? (3)求证: ? (n ? 1)!? ? ( n ? 1)e
2

1 3

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
n ? 2? 2 n ?1

. n ? N ? , e 为自然对数的底数) (

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莱芜一中 2013 年 4 月高三教学质量调研考试

数学(理)试题答案
一、选择题:BADCBABBCCCC

2 16. 83 12 2 2 17.解: (I) f ( x) ? cos x cos ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 3 3 1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2 1 3 ? cos x ? sin x ? 1 2 2 5? ? sin(x ? ) ?1 6 因此 f (x) 的值域为 [0,2] 5? 5? ) ? 1 ? 1 ,即 sin( B ? ) ? 0, (II)由 f ( B) ? 1得 sin( B ? 6 6 ? 又因 0 ? B ? ? ,故 B ? 。 6 2 解法一:由余弦定理 b ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, 得a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2。
二、填空题:13. 2 14. 60 15. 解法二:由正弦定理 当C ?

?

3 2 2 ? ? 当 C ? ? 时, A ? , 又B ? ,从而 a ? b ? 1 。 3 6 6
故 a 的值为 1 或 2。 18 、 1 ) 解 : (

时, A ?

?

b c 3 ? 2? ? 得 sin C ? ,C ? 或 sin B sin C 2 3 3
,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ;

AD AE ? ? ? ? DE / / BC ? DE ? AD, DE ? BD , ??ADB 为 二 面 角 AB AC

2 ? AD ? 面BCD, 又? BE ? 面BCD,? AD ? BE
又当 ? ?

A ? DE ? B 平面角, ?ADB ?

?



(2 分) (4 分)

??EBD ? ?DCB,? BE ? DC

2 1 BD BC 1 , DE ? , BC ? 1,即 ? ,??BDE ? ?DBC 时, BD ? 2 2 DE BD 2
(6 分) A z

? BE ? 面ADC , 又BE ? 面ABE,?面ABE ? 面ADC
(2)如图建系,则 A(0,0, 2? ) , C ( 2 ? 2? ,1,0)

??? ? ??? ? E (0, ? ,0) , AE ? (0, ?, ? 2? ), CE ? ( 2? ? 2, ? ? 1,0)
设面 AEC 法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

?? ?

E D xB y C

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?? ??? ? ? ? ?n1 ? AE ? 0 ? y1 ? 2 z1 ?? ? ? ?? ,取 n1 ? (1, ? 2, ?1) ? ? ? ?? ??? ?n1 ? CE ? 0 ? y1 ? ? 2 x1 ? ?
设面 ADC 法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

(9 分)

?? ?

?? ??? ? ? ? ?n2 ? DA ? 0 ?? ? ? ? 2? z 2 ? 0 ?? ,取 n2 ? (1, 2? ? 2,0) ? ? ?? ???? ?n2 ? DC ? 0 ?( 2 ? 2? ) x2 ? y2 ? 0 ? ?

(11 分)

?? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ??
所以当 ? ?

3 ? 2? 2 1 ? 2(? ? 1)2

?

3 2 ,解得 ? ? 2 4
(12 分)

3 ? 时,二面角 E ? AC ? D 的大小等于 4 4

1 18 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为 ,去参加乙 3 2 项目联欢的概率为 .设“这 4 个人中恰有人去参加甲项目联欢”为事件 Ai , 3 2 i 1 (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i . 3 3

( Ⅰ) 这 4 个 人 中 恰 好 有 2 人 去 参 加 甲 项 目 联 欢 的 概 率
2 8 2 1 --------4 分 P( A2 ) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27

(Ⅱ )设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为 事件 B , B ? A3 ? A4 ,
2 1 3 1 4 1 故 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? . 3 3 3 9

∴这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为
1 .-------8 分 9

( III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

P(? ? 0) ? P ( A2 ) ?

8 27 17 , 81

P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?

40 , 81

P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ?

?
P

0
8 27

2
40 81

4
17 81

所以 ? 的分布列是

E? ?

148 .------------------------------------------------------------------------------12 81

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1 1 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 a ? S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 1 2 2 20. 解: (I)在 中,令 n=1,可得 1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 ? 2 2 当 n ? 2 时, , 1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 2 .

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .

又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是

?

bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?
cn ?

n 2n .

(II)由(I)得

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n n 2 ,所以
① ②

由① 得 -②

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2 5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1) 5n Tn与 n 2n ? 1 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小 于是确定


2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1:(1)当 n=3 时,由上述验算显示成立。 (2)假设 n ? k ? 1 时 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立
n 综合(1)(2)可知,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.

证法 2:当 n ? 3 时,

综上所述,当 n ? 1, 2时

Tn ?

5n 5n Tn ? 2n ? 1 ,当 n ? 3 时 2n ? 1

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 20.解: )? b ? c ? 1 ? a ? b ? c ? 2 (Ⅰ
2 2 2

所以椭圆方程为

(Ⅱ )由已知直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? 2) 由 ? x2

x2 ? y 2 ? 1………4 分 2

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? 2 ? y ?1 ?
2

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

得: k ?

1 2 2 ,即 k ? (? , ) 2 2 2

-------6 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

(1)若 O 为直角顶点,则 OA ? OB ? 0 ,即 有x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

??? ??? ? ?

? y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ,所以上式可整理得,
8k 2 ? 2 4k 2 5 2 2 ? ? 0 ,解,得 k ? ? ,满足 k ? (? , ) -------8 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 5 2 2 1 (2)若 A或B 为直角顶点,不妨设以 A 为直角顶点, kOA ? ? ,则 A 满足: k

? 2k 2 1 x? 2 ? ? ? ?y ? ? x k ? 1 ,代入椭圆方程,整理得, k 4 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ,解得 ? k ? ? y ? ? 2k ? y ? k ( x ? 2) ? ? k 2 ?1 ?
解得, k ? ?

2 ? 1 ,满足 k ? (?

2 2 , ) -------10 分 2 2

?k ??

5 或k ? ? 5

2 ? 1 时,三角形 OAB 为直角三角形. -------13 分

1 ? x ? ?1 ? ln x ? ?1 ln x ' 21(1)函数 f ( x) 定义域为 ? 0, ?? ? , f ? x ? ? x ?? 2 , 2 x x ' ' ' 由 f ? x ? ? 0 ? x ? 1 ,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ,
则 f ( x) 在 ? 0,1? 上单增,在 ?1, ?? ? 上单减,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值。

?a ? 0 2 ? ?2 ? 由题意得 ? 1 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ? ,1? ………3 分 3 ?3 ? ?a ? 1 ? a ? 3 ? ? x ? 1??1 ? ln x ? . k 1 ? ln x k ? ? ?k? (2) 当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? x ?1 x x ?1 x ? x ? 1??1 ? ln x ? , x ? 1 ,由题意, k ? g ( x) 在 1, ?? 恒成立。 令 g ( x) ? ? ? ? ? x

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?? x ? 1??1 ? ln x ? ? ? x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? ? x ' x ? ln x ? g ( x) ? ? ? x2 x2 1 令 h ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,则 h ' ? x ? ? 1 ? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号。 x 所以 h ? x ? ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0
' '

x ? ln x h ? x ? 则 ? 2 ? 0 , g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,g ? x ?min ? g ?1? ? 2 x2 x 所以 k ? 2 ,即实数 k 的取值范围为 ? ??, 2? ………………………7 分
因此 g ( x) ?
'

(3)由(2)知,当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 2x 2 2 即 …………………8 分 ? ? ln x ? ?1 ? 1? ? 1? , x x ?1 x ?1 x ?1 x 2 1 ? ?1 ? ? 1? 2? ? 令 x ? k ? k ? 1? , k ? N ,则有 ln ? k ? k ? 1? ? ? 1 ? ?. ? ? k ? k ? 1? ? k k ?1 ?
分 别 令

k ? 1, 2,3,? , n



n? N?





? 1? ln ?1? 2? ? 1? 2? 1? ? ? 2?



?1 1? ln ? 2 ? 3? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2 3? 1 ? ?1 ,? , ln ? n ? n ? 1? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 将这 n 个不等式左右两边分别相加,则得 ? ? ? n n ?1? 1 ? 2 ? ln ?1? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n?2? ? ? n ?1 ? n ?1 ?
故 1? 2 ? 3 ? ? ? n
2 2 2 2

? n ? 1? ? e
n ? 2? 2 n ?1

n ? 2?

2 n ?1



从而 ? (n ? 1)!? ? ( n ? 1)e

. n ? N ? ----------------------------------------13 分


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