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数列综合运用


数列综合运用
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高中数学 通用 数列求解方法与技巧的综合运用 能够运用数列知识点解决问题 熟练掌握数列问题的求解方法 灵活知识点解决问题

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 120

教学过程
一、新课导入
求数列的

前 n 项和要借助于通项公式,即先有通项公式,再在分析数列通项公式的基础上,或分解为基本数列求和, 或转化为基本数列求和.当遇到具体问题时,要注意观察数列的特点和规律,找到适合的方法解题. 本节课将“数列综 合问题”的思想方法进行系统归纳.

二、复习预习
1.等差数列通项、前 n 项和公式及性质. 2.等比数列通项、前 n 项和公式及性质.

三、知识讲解
考点 1 数列通项公式求法
1.累加法:形如 an ? an?1 ? f (n) (n=2、3、4?...) 且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ? 1) 可求,则用累加法求 an .有时若不能直接 用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解. 2.累乘法:形如
an ? f (n) (n=2、3、4??),且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ? 1) 可求,则用累乘法求 an 。有时若不能直接用, an ?1

可变形成这种形式,然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法:原数列{ an }既不等差,也不等比。若把{ an }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列,使之等比, 从而求出 an 。该法适用于递推式形如 an ?1 = ban ? c 或 an ?1 = ban ? f ? n? 或 an ?1 = ban ? cn 其中 b、c 为不相等的常数, f ? n ? 为 一次式。 4.构造等差数列法:数列{ an }既不等差,也不等比,递推关系式形如 an?1 ? ban ? bn?1 ? f (n) ,那么把两边同除以 b n ?1 后, 想法构造一个等差数列,从而间接求出 an .

5.取倒数法:有些关于通项的递推关系式变形后含有 an an ?1 项,直接求相邻两项的关系很困难,但两边同除以 an an ?1 后, 相邻两项的倒数的关系容易求得,从而间接求出 an . 6. 利用公式 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 求通项 : 有些数列给出 { an } 的前 n 项和 Sn 与 an 的关系式 Sn = f (an ) ,利用该式写出

Sn?1 ? f (an?1 ) ,两式做差,再利用 an?1 ? Sn?1 ? Sn 导出 an ?1 与 an 的递推式,从而求出 an .
7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{ an }和{ bn }的通项以方程组的形式给出,要想求出 an 与 bn 必须得重新构造关于 an 和 bn 的方程组,然后解 新方程组求得 an 和 bn .

考点 2 数列求和方法
1.利用常用求和公式求和: (1)等差数列求和公式: S n ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n (2)等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q . ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
2.错位相减法求和: 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、 { bn }分别是等差数列和等比数列. 3.倒序相加法求和: 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以 得到 n 个 (a1 ? an ) .

4.分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并即可. 5.裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使 之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n)

sin 1? (2) ? tan(n ? 1) ? ? tann ? ? ? cosn cos(n ? 1)
(3) a n ?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ? (5) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

6.合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起 先求和,然后再求 Sn. 7.利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

四、例题精析
例1
2 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn (n ≥ 2) .

2Sn ? 1

?1? ⑴ 求证:数列 ? ? 是等差数列; ? Sn ?
⑵ 证明:当 n ≥ 2 时, S1 ? S2 ? S3 ? ... ? Sn ? .
1 2 1 3 1 n 3 2

【规范解答】 (1)当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ?
2 2Sn , Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1 2Sn ? 1

?1? 1 1 ? ? 2 ,从而 ? ? 构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列. Sn Sn?1 ? Sn ?
(2)由(1)可知,
1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? Sn ? 2n ? 1 Sn S1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ) ? 当 n ? 2 时, Sn ? n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n

从而 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 ? ... ? n Sn ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ) ? 2 ? 2n ? 2 . 【总结与反思】本小题主要考查有关于数列的基础知识,其中包括数列基本量的求取,数列前 n 项和的求取,以及利用 放缩法解决数列不等式问题,虽存在着一定的难度,但是与高考考查目标相配合,属于一道中档题,对考生的运算求解 能力,化归与转化能力提出一定要求.

1

1

1

1

1

1 1

1

1

3

1

3

例 2 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a 7 ? ?9, S 9 ? ? ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 设 bn ?
3 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,求证: Tn ? ? . 4 2S n

99 . 2

【规范解答】 (1)设数列 {an } 的公差为 d ,则由已知条件可得: ? ?
?2a1 ? 6d ? ?9

9a1 ? 36d ? ? ? 2 ?

? 99 ,解得 ?

3 ? 2n ? 1 a1 ? ? ; 2 ,于是可求得 a n ? ? 2 ? ?d ? ?1

(2)因为 S n ? ?

n ( n ? 2) 1 1 1 ,故 bn ? ? 1 ?? ( ? ) ,于是 2 n(n ? 2) 2 n n?2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 Tn ? ? [(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ? ? )] ? ? ( ? ? ) 2 2 3 n 3 4 5 n?2 2 2 n ?1 n ? 2

又因为

3 3 1 1 3 ? ,所以 Tn ? ? . ? ? 4 2 n ?1 n ? 2 2

【总结与反思】本小题主要考查有关于数列的基础知识,其中包括数列基本量的求取,以及利用裂项求和等内容,属于 一道中档题,对考生的运算求解能力,化归与转化能力提出一定要求.

例 3 已知二次函数 f ( x) ? 3x2 ? 2 x ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.
(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m. 20 a n a n ?1

【规范解答】
(1)因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn = 3n ? 2n .
2
2 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (3n ? 2n) ? ? ?( ? ? 6n ? 5 .

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3?12 ? 2 ? 6 ?1 ? 5 ,所以 an ? 6n ? 5 ( n ? N ).

?

(2)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn ?

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 = ( 1 - ). ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1 ? ? ? 2

因此,要使

1 1 m 1 m (1 ? )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ? ,即 m ? 10 ,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 2 20 2 20 6n ? 1

【总结与反思】运用裂项法求和,再进行放缩,可以简化解题.

例 4 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ).
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2

【规范解答】
* (1)解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N ),

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) .

??an ?1?

是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.

? an ? 1 ? 2n. 即
(2)证明: 因为

an ? 2n ?1(n ? N * ).

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2

?

a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an ?1 2

?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

?

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2

【总结与反思】此类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列适当拆开,可分等比或常见的数列,然后分别 求和,再将其合并,利用放缩法处理即可.

例5

数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2, a1 ? 2 ,等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? a8 .

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

【规范解答】
(1) an?1 ? an ? 2, a1 ? 2 ,所以数列 {an } 为等差数列, 则 an ? 2 ? (n ?1)2 ? 2n ;

b1 ? a1 ? 2, b4 ? a8 ? 16 ,所以 q3 ?
则 bn ? 2n ; (2) cn ? anbn ? n2n?1 ,

b4 ? 8, q ? 2 , b1

则 Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? n2n?1

2Tn ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? 3 ? 25 ? ?? n2n?2
两式相减得 ?Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? 2n?1 ? n2n?2 . 整理得 Tn ? (n ?1)2n?2 ? 4 .

【总结与反思】满足 cn ? anbn 等差乘以等比的形式,可运用错位相减法求和.

课程小结
1.在直接用公式求和时,要注意公式的应用范围和公式推导过程中蕴含的数学思想. 2.注意观察数列特点和规律,将一般数列求和转化为基本数列求和. 3.方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在本节内容中得到了广泛的应用,尤其是运用化归 的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究,是解答数列综合问题的最基本的思路.


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