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勤奋塑造成功

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落叶 2011-4-15

天才是百分之九十九的勤奋加百分之一的灵感 雨中行走淋雨量问题
摘要: 摘要: 在给定的降雨条件下,计算被雨水所淋湿的程度,可以用其间被淋在身上的 雨水量的大小来刻划,而与此有关的主要因素有:降雨的大小、风(降雨)的方

向、路程的远近和行走的速度。 关键词: 关键词: 淋雨量 跑步速度 雨向 降雨量

问题重述:
工作下班时你发现外面下雨了,随身没有雨具附近也没有。现在需要考虑的 是如何使自己所受的雨量最小, 快跑是否合理呢?现在我们建立数学模型来讨论 这个问题。

问题分析
在不同条件下设计一个在雨中行走的策略(调整行走速度) ,使得你被雨水 淋湿的程度最低。所谓被雨水淋湿的程度,可以用其间被淋在身上的雨水量的大 小来刻划,而与此有关的主要因素有:降雨的大小、风(降雨)的方向、路程的 远近和行走的速度等。

模型假设
1.风速及风向始终保持不变; 2.行走速度恒定; 3.降雨的速度和降雨强度保持不变; 4.把人的身体看成是一个呈长方体形状的物体(理想化) 。 5.淋在身上的雨水被完全吸收(极端化) 。 6.不考虑降雨的角度的影响,也就是说在行走的过程中身体的上方及前后 左右都将淋到雨水。 7.设定变量和参数 雨中行走的距离(单位:米) D; : 雨中行走的速度(单位:米/秒) v; : 人体的高度、宽度、厚度(单位:米) h,w, d : 被淋雨水总量(单位:升) C; : 降雨强度(单位:厘米/小时) I; : 身体被雨淋的面积(单位:米 2) S; : 雨中行走时间(单位:秒) t=D/v. :

其中,降雨强度是单位时间内平面上降雨的厚度,用以刻划降雨的大小。 在本问题中,D,d,w,h 从而 S 是问题的参数;v,t,I 是问题中的变量。C 是 因变量,而 v 是决策变量。模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。

模型的建立与求解
按上面的分析与假设,容易知道:在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时 间、被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。考虑到量纲一致性,并注意到 I、v、D 为常数,我们有 C(v)=t S(米 )

=

(米



= 模型表明,被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比,因此在雨中 最优行走策略是尽可能的快跑。 模型检验 假设:D=1000 米,h=1.5 米,w=0.50 米,d=0.20 米,I=2 厘米/小时,最大 行走速度为 v=6 米/秒, 由此可得, 你身上被淋的雨水的总量为 C=2.041 (升) (一 立方米=1000 升) 。 仔细分析,这是一个荒谬的结果。在 2 厘米/小时强度的降雨中只跑了 167 秒,身上却被淋了 2 升的雨水,这是不可思议的。因此,用上述模型描述雨中行 走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。 按照建模的程序,我们需回到对问题所作的假设,进一步考察这些假设的合 理性。不难发现“不考虑降雨的角度的影响”的假设 6 把问题过于简单化了。为 此,我们来考虑降雨角度的影响(即取消假设 6) 。 模型修改 假设雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角为θ。 这时仅仅用降雨强 度已经不能确切地描述降雨的情况了。降雨强度受降雨速度的影响,但并不完全 决定于降雨的速度,还决定于雨滴下落的密度,显然降雨速度越大、降雨密度越 大,降雨强度也越大。降雨速度设为 r(米/秒) ,降雨密度用降雨强度系数(在 一定时刻,在单位空间内由雨滴所占据的空间的比例数)来表示,记为 p。于是 我们有 I=pr,显然应有 p≤1,当 p=1 时意味着倾盆大雨。 情形 1 :即迎着降雨方向行走,由经验可以知道,这时被淋湿

的部分仅仅是人的顶部和前方。淋在身上的雨水将由这两部分组成。 模型的建立与求解 首先考虑顶部被淋的雨水。顶部的面积是 wd,雨滴下落速度的垂直分量为 。不难得到,在时间 内顶部被淋的雨水总量是:

再考虑前面被淋的雨水。前方被淋的面积是 wh,雨滴下落速度的水平分量 (相对于你而言)为 。因此,前方被淋的雨水的总量为:

。 由上述分析,被淋的雨水总量为

显然, 在降雨方向给定情况下, 此时的最优行走策略是在雨中尽可能的快跑。 模型检验 仍使用模型 I 中所使用的参数值,并假设降雨速度为 r=4 米/秒,容易计算 得降雨强度系数为 p=1.39×10-6。因此,

。 显然有

情形 2

:在这种情形下,雨滴将从后面向你身上落下。令

,则 首先考虑

。 的情形,即行走的速度慢于雨滴下落的水平速度,此时

雨将淋在你的背上。与情形 I 类似可以得到身体顶部被淋的雨水总量为 , 淋在背上的雨水总量为

于是,淋在全身的雨水的总量为

显然,被淋雨水总量仍是速度 v 的单调减少函数,而此时

,故当

时,被淋雨水总量最少,即 。 这意味着你刚好跟着雨滴向前走,所以只有身体顶部淋到雨;如果行走速度 小于 ,则雨水将落在背上,从而使被淋的雨水总量增加。被淋雨

总量决定于降雨的密度、 身体的宽度和厚度及降雨角度。 如果雨以

的角

度落下,你应该以 C=0.24 升。 当

的速度在雨中行走,被淋的雨水总量为

时,在雨中的行走速度快于雨滴下落的水平速度,这时你将不

断地追赶雨滴,雨水将淋湿你的前胸。此时,全身被淋的雨水总量为

。 综合上面的分析,得到的结论是: 1.如果雨是迎着你前进的方向落下,这时的最优行走策略是以尽可能大的 速度向前跑。 2.如果雨是从你的背后落下,这时你应该控制在雨中行的。走的速度,使 得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

模型的评价:
优点: 1、 在正确、 清楚地分析了题意地基础上, 建立了合理、 科学的淋雨量计算型, 2、建立的规划模型能与实际紧密联系,结合实际情况对问题进行求解,使得 模型具有很好的通用性和推广性; 3、对模型中涉及到的众多影响因素进行了量化分析,使得论文有说服力 缺点: 缺点: 1、规划模型的约束条件有点简单; 2、没有考虑 3、没有很好地把握论文的重心,让人感觉论文有点散。

参考文献
1、 姜启源,谢金星,数学模型,高等教育出版社,1987 年 4 月。 2、 吕林根 许子道,解析几何,高等教育出版社,1960 年 9 月。 3、 曾建军 李世航 王永国 叶仁玉 夏慧异,MATLAB 语言与数学建模,安徽 大学出版社,2005 年 10 月。


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